秩小于向量维数的向量组一定线性相关吗？
是的，向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关。因为以a,b,c,d列向量组成的矩阵是3行4列的，秩至多是3＜4＝向量个数，所以向量组线性相关。判除了用定义之外，用秩判断线性相关时，就是看秩是不是小于向量个数，小于就线性相关，等于就线性无关。理由如下。因为用定义判断的话，就是看齐次线性方程组(a1,a2,...,an)x=0是不是有非零解，这就归结于系数矩阵(a1,a2,...,an)的秩与n的关系，n就是向量个数。
绛旓細鍒濈瓑琛屽彉鎹㈡硶銆佽鍒楀紡娉曘佹柦瀵嗙壒姝ｄ氦鍖栨硶绛夈1銆佸垵绛夎鍙樻崲娉曪細灏嗗悜閲忔寜鍒楁瀯閫犵煩闃礎锛屽A杩涜鍒濈瓑琛屽彉鎹紝灏咥鍖栦负琛屾鐭╅樀銆傛鐭╅樀闈為浂琛屾暟灏辨槸涓哄悜閲忕粍鐨勭З銆鍚戦噺缁勭З灏忎簬鍚戦噺缁鎵鍚悜閲忎釜鏁帮紝鍚戦噺缁勭嚎鎬鐩稿叧锛涚浉鍙嶅悜閲忕粍绾挎ф棤鍏炽2銆佽鍒楀紡娉曪細鍚戦噺缁存暟绛変簬鍚戦噺涓暟锛屽彲灏嗚繖浜涘悜閲忔瀯鎴愪竴涓鍒楀紡...
绛旓細鍚戦噺涓暟>鐭╅樀鐨绉锛屽垯绾挎鐩稿叧 鍚戦噺缁存暟>=鐭╅樀鐨勭З鎭掓垚绔 褰撳悜閲忎釜鏁>鍚戦噺缁存暟锛岄偅涔堝悜閲忎釜鏁>鍚戦噺缁存暟>=鐭╅樀鐨勭З婊¤冻鏉′欢1锛屽洜姝ょ嚎鎬х浉鍏炽傚苟涓嶈寰楁湁浠涔堥棶棰
绛旓細浣犺繖閲岀殑缁存暟搴旇鎸囩殑鏄殑锛屽嵆鍚戦噺浣滀负涓涓猼uple鐨勯暱搴︺傚彧鑰冭檻鐨勬儏鍐碉紝鍥犳瑕佽瘉鏄鐨勭淮搴(鏈澶х嚎鎬ф棤鍏鍚戦噺缁鐨勫ぇ灏)灏辨槸n銆傛樉鐒讹紝鎴戜滑宸茬粡鏈変竴涓爣鍑嗗熀搴曘傚洜姝や换鎰忎釜鐭㈤噺閮藉彲鐢ㄦ爣鍑嗗熀搴曞敮涓绾挎ц〃绀恒傚亣璁捐繖涓煝閲鏄嚎鎬鏃犲叧鐨勶紝鍗充笉瀛樺湪涓嶅叏涓洪浂鐨勪娇寰椼
绛旓細鍚戦噺鐨勭淮鏁鍜岀З鏃犲叧锛岀淮鏁颁箣鍜屽悜閲忔湰韬湁鍏筹紝浣嗘槸绉╂绘槸灏忎簬绛変簬缁存暟銆绉╂槸鍚戦噺缁鐨勬渶澶绾挎鏃犲叧缁勭殑瀹归噺锛岀淮鏄叾姣忎釜鍚戦噺鐨勫垎閲忎釜鏁般備緥濡傚悜閲忕粍A锛濓經锛坸1,x2,x3锛墊x1锛漻2锛漻,x3锛漼.x,y鈭圧锝濄傚垯A鐨勭З锛2 锛孾锝涳紙1,1,0锛,锛0,0,1锛夛綕鏄畠鐨勪竴涓渶澶х嚎鎬ф棤鍏崇粍]銆侫鐨缁存暟鏄3...
绛旓細鍒ゆ柇鍚戦噺缁勭嚎鎬鐩稿叧鎬х殑鏂规硶:鍐欐垚鐭╅樀褰㈠紡,鐒跺悗閫氳繃琛屽彉鎹,鍖栦负琛屾渶绠褰,寰楀埌鐭╅樀鐨勭З锛涘緱鍑虹煩闃电殑绉,鐢ㄦ潵鍜屽悜閲忎釜鏁版瘮杈冿紱鍥犱负鍚戦噺缁勭粍鎴愮殑鐭╅樀鐨绉╁皬浜庡悜閲涓暟,鎵浠ュ緱鍑恒傚湪绾挎т唬鏁伴噷锛岀煝閲忕┖闂寸殑涓缁勫厓绱犱腑锛岃嫢娌℃湁鐭㈤噺鍙敤鏈夐檺涓叾浠栫煝閲鐨勭嚎鎬缁勫悎鎵琛ㄧず锛屽垯绉颁负绾挎ф棤鍏虫垨绾挎х嫭绔(linearly...
绛旓細璇存槑瀹冪殑绉鍙兘鏄墹n-1锛岃屽垪鍚戦噺鏋勬垚鐨勫悜閲绌洪棿鐨勭淮鏁颁篃鍙兘鏄墹n-1锛屾湁n涓垪鍚戦噺锛屽鏋滅嚎鎬ф棤鍏崇殑璇濓紝瀹冧滑灏辫兘鏋勬垚鍚戦噺绌洪棿鐨勪竴缁勫熀锛岄偅缁存暟灏辨槸n锛岀煕鐩撅紝鎵浠涓瀹氱嚎鎬鐩稿叧銆鍚戦噺缁鐨勭浉鍏虫ц川 锛1锛夊綋鍚戦噺缁勬墍鍚悜閲忕殑涓暟涓鍚戦噺鐨勭淮鏁鐩哥瓑鏃讹紝璇ュ悜閲忕粍鏋勬垚鐨勮鍒楀紡涓嶄负闆剁殑鍏呭垎蹇呰鏉′欢鏄鍚戦噺...
绛旓細灏嗗悜閲忔寜鍒楀悜閲忔瀯閫犵煩闃礎銆傚A瀹炴柦鍒濈瓑琛屽彉鎹, 灏咥鍖栨垚琛屾鐭╅樀銆傛鐭╅樀鐨勯潪闆惰鏁板嵆鍚戦噺缁勭殑绉銆傚鏋滃悜閲忕粍鐨勭З < 鍚戦噺缁勬墍鍚悜閲忕殑涓暟锛屽垯鍚戦噺缁勭嚎鎬鐩稿叧銆傚惁鍒欏悜閲忕粍绾挎ф棤鍏炽2銆侀殣寮忓悜閲忕粍 涓鑸鏄璁惧悜閲忕粍鐨勪竴涓嚎鎬х粍鍚堢瓑浜0銆傝嫢鑳芥帹鍑哄叾缁勫悎绯绘暟鍙兘鍏ㄦ槸0锛屽垯鍚戦噺缁勭嚎鎬ф棤鍏炽傚惁鍒欏悜閲...
绛旓細褰撳悜閲忓厓绱犵殑涓暟澶т簬鍚戦噺缁勭殑涓暟鏃跺氨闇瑕佸垽鏂悜閲忕粍鐭╅樀鐨勭З锛屽綋绉╁皬浜鍏冪礌涓暟鏃讹紝鍚戦噺缁勭嚎鎬鐩稿叧銆傚綋绉╁ぇ浜庣瓑浜庡厓绱犱釜鏁版椂绾挎ф棤鍏炽傚綋鍏冪礌涓暟寰堝鏃剁煩闃电殑绉╅渶瑕佺敤绋嬪簭璁＄畻銆傚嵆浣垮厓绱犱釜鏁板皯鏃朵竴鑸殑鐭╅樀涔熸病浠涔堢畝渚跨殑姹傜З鏂规硶銆傜敤璁＄畻鏈虹紪绋嬫潵姹傛槸鏂逛究鐨勩傚氨鏄鐢ㄩ珮鏂秷鍏冩硶锛岀敤c璇█锛寁b閮鍙互...
绛旓細缁存暟鏄寚绌洪棿涓悜閲忕粍鎴愮殑鏈澶绾挎鏃犲叧缁勩備笅闈㈡垜浠潵鎺㈣涓涓嬬З鍜缁存暟鐨鍏崇郴銆傞鍏堬紝闇瑕佹敞鎰忕殑鏄紝绉╁拰缁存暟鏄笉鍚岀殑姒傚康銆绉╂槸涓涓煩闃电殑灞炴э紝鑰岀淮鏁版槸涓涓鍚戦噺缁鐨勫睘鎬с備絾鏄紝绉╁拰缁存暟涔嬮棿鏈夌潃瀵嗗垏鐨勫叧绯汇傝繖鏄洜涓猴紝涓涓煩闃电殑绉╃瓑浜庡叾鍒楀悜閲忕粍鎴鐨勫悜閲绌洪棿鐨勭淮鏁帮紝涔熺瓑浜庡叾琛屽悜閲忕粍鎴愮殑鍚戦噺...
绛旓細涓暟澶т簬缁存暟)8锛庤鍚戦噺缁勭殑绉╁皬浜瀹冩墍鍚悜閲忕殑涓暟鍚戦噺缁勭嚎鎬х浉鍏9锛巒涓猲缁寸殑鍚戦噺鏋勬垚鐨勮鍒楀紡=0璇鍚戦噺缁勬槸绾挎鐩稿叧鐨10锛庣嚎鎬х浉鍏冲悜閲忕粍涓瘡涓悜閲忔埅鐭箣鍚庤繕鐩稿叧鍒ゆ柇鍚戦噺缁勭嚎鎬ф棤鍏崇殑鏂规硶1锛庣嚎鎬ф棤鍏2锛庣殑瀵瑰簲鍒嗛噺涓嶆垚姣斾緥绾挎ф棤鍏3锛庡悜閲忕粍绾挎ф棤鍏宠缁勪腑浠讳綍涓涓悜閲忛兘涓嶈兘鐢卞叾浣鐨勫悜閲忕嚎鎬琛...
