高数无穷小与无穷大知识点
1. 无穷小无穷大知识点无穷小无穷大知识点 1.什么是无穷大什么是无穷小
无穷大：在数学方面，无穷大并非特指一个概念，而是与下述的主题相关：极限、阿列夫数、 *** 论中的类、超实数、射影几何、扩展的实数轴以及绝对无限等。无穷大量就是在自变量的某个变化过程中，绝对值无限增大的变量或函数。
精确定义
设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0X），对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M，则称函数f(x)为当x→x0（或x→∞）时的无穷大。
在自变量的同一变化过程中，无穷大与无穷小具有倒数关系，即当x→a时f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小；反之，f(x)为无穷小，且f(x)在a的某一去心邻域内恒不为0时，1/f(x)才为无穷大。
无穷大记作∞，不可与很大的数混为一谈。
分类
无穷大分为正无穷大、负无穷大和无穷大（可正可负），分别记作+∞、-∞以及∞ ，非常广泛的应用于数学当中。
性质
两个无穷大量之和不一定是无穷大；
有界量与无穷大量的乘积不一定是无穷大（如常数0就算是有界函数）；
两个无穷大量之积一定是无穷大。
另外，一个数列不是无穷大量，不代表它就是有界的（如，数列1,1/2,3,1/3，……）。
无穷小量：
无穷小量即以数0为极限的变量。确切地说，当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0（或f(x)=0），则称f(x)为当x→x0（或x→∞）时的无穷小量。例如，f(x)=(x-1)^2是当x→1时的无穷小量，f(n)=1/n是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sin(x)是当x→0时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。
初学者应当注意的是，无穷小量是极限为0的变量而不是数量0，是指自变量在一定变动方式下其极限为数量0，称一个函数是无穷小量，一定要说明自变量的变化趋势。
不能笼统说 0是无穷小量。也不能说无穷小就是 0
无穷小量通常用小写希腊字母表示，如α、β、ε等，有时候也用α（x）、ο（x）[1]等，表示无穷小量是以x为自变量的函数。
注意：
1.无穷小量不是一个很小的数，它是一个变量。
2.零可以作为无穷小量的唯一一个常数。
3.无穷小量与自变量的趋势相关。
2.无穷大与无穷小的关系无穷大是一种什么概念
无穷大的倒数等于无穷小，无穷小的倒数（当其不等于0时，因为此时倒数才有意义，而无穷小量是可能取0的）是无穷大量。
古希腊哲学家亚里士多德（Aristotle，公元前384-322）认为，无穷大可能是存在的，因为一个有 *** 是无限可分的，但是无限是不能达到的。
扩展资料
12世纪，印度出现了一位伟大的数学家布哈zhidao斯克拉（Bhaskara），他版的概念比较接近现代理论化的概念。
将8水平置放成"∞"来表示"无穷大"符号是在英国人沃利斯（John Wallis）的论文《算术的无穷大》（1655年出版）一书中首次提出的。
莫比乌斯带常被认为是无穷大符号“∞”的创意来源，因为如果某个人站在一个巨大的莫比乌斯带的表面上沿着他能看到的“路”一直走下去，他就永远不会停下来。但是这是一个不真实的传闻，因为“∞”的发明比莫比乌斯带还要早。
无限符号的权等式
在数学中，有两个偶尔会用到的无限符号的等式，即：∞=∞+1，∞=∞*1。
某一正数值表示无限大的一种公式，没有具体数字，但是正无穷表示比任何一个数字都大的数值。 符号为+∞，同理负无穷的符号是-∞。
3.无穷大和无穷小
无穷小的定义：极限为零的变量称为无穷小
(1)无穷小是变量，不能与很小的数混淆；
(2)零是可以作为无穷小的唯一的数.
无穷大的定义：绝对值无限增大的变量称为无穷大.
(1)无穷大是变量，不能与很大的数混淆；
(2)无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大.
(3)无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；
定理 在同一过程中，无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
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