无穷个无穷小的积是无穷小吗 为什么“无穷多个无穷小的乘积不一定是无穷小”？
\u65e0\u9650\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u4e58\u79ef\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u5417\u4e24\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u4e58\u79ef\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\uff0c\u6240\u4ee5\u65e0\u9650\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u4e58\u79ef\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u3002
\u53cd\u4f8b\u5982\u4e0b\uff1a
\u8bbe\u51fd\u6570fn(x)=1 (0\u2264x\u2264n-1)
fn(x)=x^(n-1) (n-1\uff1cx\u2264n, n=1,2,3,\u2026)
fn(x)=1/x (n\u2264x\uff1c+\u221e)
\u5219\u5f53n\u2192+\u221e\u65f6\uff0c\u5bf9\u6bcf\u4e00\u4e2a\u81ea\u7136\u6570n\u90fd\u6709fn(x)\u21920\uff0c\u5373fn(x)\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002\u4f46\u5b83\u4eec\u7684\u79ef\u4e3af(x)=\u220f(1\uff0c\u221e)fn(x)=1\uff0c(0\uff1cx\uff1c+\u221e)
\u5f53x\u2192+\u221e\u65f6\uff0c\u51fd\u6570f(x)\u4e5f\u4e0d\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002\u6240\u4ee5\u65e0\u7a77\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u4e58\u79ef\u4e0d\u4e00\u5b9a\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
1\u3001\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u4e0d\u662f\u4e00\u4e2a\u6570\uff0c\u5b83\u662f\u4e00\u4e2a\u53d8\u91cf\u3002
2\u3001\u96f6\u53ef\u4ee5\u4f5c\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u7684\u552f\u4e00\u4e00\u4e2a\u5e38\u91cf\u3002
3\u3001\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u4e0e\u81ea\u53d8\u91cf\u7684\u8d8b\u52bf\u76f8\u5173\u3002
4\u3001\u6709\u9650\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u4e4b\u548c\u4ecd\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002
5\u3001\u6709\u9650\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u4e4b\u79ef\u4ecd\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002
6\u3001\u6709\u754c\u51fd\u6570\u4e0e\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u4e4b\u79ef\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002
7\u3001\u7279\u522b\u5730\uff0c\u5e38\u6570\u548c\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u7684\u4e58\u79ef\u4e5f\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90:\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf
\u8bc1\u660e\u5982\u4e0b\uff1a
\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u6027\u8d28\u662f\uff1a
1\u3001\u6709\u9650\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u4e4b\u548c\u4ecd\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002
2\u3001\u6709\u9650\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u4e4b\u79ef\u4ecd\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002
3\u3001\u6709\u754c\u51fd\u6570\u4e0e\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u4e4b\u79ef\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002
4\u3001\u7279\u522b\u5730\uff0c\u5e38\u6570\u548c\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u7684\u4e58\u79ef\u4e5f\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002
5\u3001\u6052\u4e0d\u4e3a\u96f6\u7684\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u7684\u5012\u6570\u4e3a\u65e0\u7a77\u5927\uff0c\u65e0\u7a77\u5927\u7684\u5012\u6570\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\u3002
6\u3001\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u4e0d\u662f\u4e00\u4e2a\u6570\uff0c\u5b83\u662f\u4e00\u4e2a\u53d8\u91cf\u3002
7\u3001\u96f6\u53ef\u4ee5\u4f5c\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u7684\u552f\u4e00\u4e00\u4e2a\u5e38\u91cf\u3002
8\u3001\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u4e0e\u81ea\u53d8\u91cf\u7684\u8d8b\u52bf\u76f8\u5173\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u4f7f\u7528\uff1a
\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u66ff\u6362\u662f\u8ba1\u7b97\u672a\u5b9a\u578b\u6781\u9650\u7684\u5e38\u7528\u65b9\u6cd5\uff0c\u53ef\u4ee5\u4f7f\u6c42\u6781\u9650\u95ee\u9898\u5316\u7e41\u4e3a\u7b80\uff0c\u5316\u96be\u4e3a\u6613\u3002\u6c42\u6781\u9650\u65f6\uff0c\u4f7f\u7528\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u6761\u4ef6 \uff1a
1\u3001\u88ab\u4ee3\u6362\u7684\u91cf\uff0c\u5728\u53d6\u6781\u9650\u7684\u65f6\u5019\u6781\u9650\u503c\u4e3a0\uff1b
2\u3001\u88ab\u4ee3\u6362\u7684\u91cf\uff0c\u4f5c\u4e3a\u88ab\u4e58\u6216\u8005\u88ab\u9664\u7684\u5143\u7d20\u65f6\u53ef\u4ee5\u7528\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u4ee3\u6362\uff0c\u4f46\u662f\u4f5c\u4e3a\u52a0\u51cf\u7684\u5143\u7d20\u65f6\u5c31\u4e0d\u53ef\u4ee5\u3002
得到的就是高阶无穷小
那么无穷个无穷小的积
当然还是无穷小
而无穷个无穷小的和
那就不一定了
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绛旓細鏃犻檺涓棤绌峰皬鐨勪箻绉鏈繀鏄棤绌峰皬 杩欎釜寰堝鏉傜殑 瑕佺湅鏃犵┓灏忕殑瓒嬪娍澶у皬
绛旓細x)= =f1(x)*..*f(k-1)(x)*fk(x)*1*1...= =(1/x)*..(1/x)*x^(k-1)*1..*1...= =1 鎵浠(x)鈮1,鍥犳褰搙鈫+鈭炴椂,F(x)涓鏄棤绌峰皬.浣嗗浜庢瘡涓猣n(x),褰搙鈫+鈭炴椂,fn(x)鏄棤绌峰皬.(鏄剧劧Lim{x鈫+鈭瀩fn(x)=0)鎵浠鏃犵┓涓棤绌峰皬鐨勪箻绉涓嶄竴瀹氭槸鏃犵┓灏.
