二阶常系数线性微分方程怎么解
较常用的几个：
1、Ay''+By'+Cy=e^mx
特解 y=C(x)e^mx
2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx
特解 y=msinx+nsinx
3、Ay''+By'+Cy= mx+n
特解 y=ax
二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。
若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。
扩展资料：
通解=非齐次方程特解+齐次方程通解
对二阶常系数线性非齐次微分方程形式ay''+by'+cy=p(x)
的特解y*具有形式
y*=
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特征根、是单特征根或二重特征根（上文有提），依次取0,1或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而得特解y*。
多项式法：
设常系数线性微分方程y''+py'+qy =pm
(x)e^(λx)，其中p，q，λ是常数，pm(x)是x的m次多项式，令y=ze^(λz) ，则方程可化为：
F″(λ)/2!z″+F′(λ)/1!z′+F(λ)z=pm(x) ，这里F(λ)=λ^2+pλ+q为方程对应齐次方程的特征多项式。
升阶法：
设y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，当f(x)为多项式时，设f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an，此时，方程两边同时对x求导n次，得
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an……
y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)!
y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n!
令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由y^(n+1)与y^n通过倒数第二个方程可得y^(n-1)，依次升阶，一直推到方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，可得到方程的一个特解y(x)。
绛旓細鍏朵腑伪 = -(b/2a) ,尾 = (鈭-鈻) / 2a .銆 (娉: a,b涓虹壒寰佹柟绋嬮」绯绘暟 ,鈻充负p^2 - 4q)浜屻浜岄樁甯哥郴鏁闈為綈娆绾挎ф柟绋 鍏朵竴鑸舰寮弝'' +p y' + qy = f(x) 鍗砯(x) 鈮0 璇ユ柟绋嬬殑閫氳В涓簓 = Y(x) + y* (Y(x) 涓衡憽寮,鍗抽綈娆℃柟绋嬬殑閫氳В;y*涓 鈶犲紡鐨勭壒瑙)绗竴...
绛旓細1銆丄y''+By'+Cy=e^mx 鐗硅В y=C(x)e^mx 2銆丄y''+By'+Cy=a sinx + bcosx 鐗硅В y=msinx+nsinx 3銆丄y''+By'+Cy= mx+n 鐗硅В y=ax 閫氳В 1銆涓涓笉鐩哥瓑鐨勫疄鏍癸細y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)2銆佷袱鏍圭浉绛夌殑瀹炴牴锛歽=(C1+C2x)e^(r1x)3銆佷竴瀵瑰叡杞鏍癸細r1=伪+i尾,r...
绛旓細1銆丄y''+By'+Cy=e^mx 鐗硅В y=C(x)e^mx 2銆丄y''+By'+Cy=a sinx + bcosx 鐗硅В y=msinx+nsinx 3銆丄y''+By'+Cy= mx+n 鐗硅В y=ax 浜岄樁甯哥郴鏁扮嚎鎬у井鍒嗘柟绋鏄舰濡倅''+py'+qy=f(x)鐨勫井鍒嗘柟绋嬶紝鍏朵腑p锛宷鏄疄甯告暟銆傝嚜鐢遍」f(x)涓哄畾涔夊湪鍖洪棿I涓婄殑杩炵画鍑芥暟锛屽嵆y''+...
绛旓細1銆佷簩闃跺父绯绘暟绾挎у井鍒嗘柟绋 鏍囧噯褰㈠紡锛 y鈥+py鈥+qy=f(x)褰 f(x)=0锛屽嵆 y鈥+py鈥+qy=0涓轰簩闃跺父绯绘暟榻愭绾挎у井鍒嗘柟绋 褰 f(x)鈮0锛屽嵆 y鈥+py鈥+qy=f(x)涓轰簩闃跺父绯绘暟闈為綈娆＄嚎鎬у井鍒嗘柟绋 2銆佺壒寰佹柟绋嬶細涓鍏冧簩娆℃柟绋 r2+pr+q=0 寰垎鏂圭▼锛 y鈥+py鈥+qy=0 鐗瑰緛鏂圭▼锛 r2+pr+...
绛旓細鏂规硶锛1.浜岄樁甯哥郴鏁伴綈娆＄嚎鎬у井鍒嗘柟绋嬭В娉 涓鑸舰寮:y鈥+py鈥+qy=0,鐗瑰緛鏂圭▼r2+pr+q=0 鐗瑰緛鏂圭▼r2+pr+q=0鐨勪袱鏍逛负r1,r2 寰垎鏂圭▼y鈥+py鈥+qy=0鐨勯氳В 涓や釜涓嶇浉绛夌殑瀹炴牴r1,r2 y=C1er1x+C2er2x 涓や釜鐩哥瓑鐨勫疄鏍箁1=r2 y=(C1+C2x)er1x 涓瀵瑰叡杞鏍箁1=伪+i尾,r2=伪-i尾 ...
绛旓細浜岄樁寰垎鏂圭▼瑙ｆ硶鎬荤粨锛氬彲浠ラ氳繃閫傚綋鐨勫彉閲忎唬鎹紝鎶婁簩闃跺井鍒嗘柟绋嬪寲鎴愪竴闃跺井鍒嗘柟绋嬫潵姹傝В銆傚叿鏈夎繖绉嶆ц川鐨勫井鍒嗘柟绋嬬О涓哄彲闄嶉樁鐨勫井鍒嗘柟绋嬶紝鐩稿簲鐨勬眰瑙ｆ柟娉曠О涓洪檷闃舵硶銆傚椤瑰紡娉曪細璁甯哥郴鏁扮嚎鎬у井鍒嗘柟绋y''+py'+qy =pm锛(x)e^(位x)锛屽叾涓璸锛宷锛屛绘槸甯告暟锛宲m(x)鏄痻鐨刴娆″椤瑰紡锛屼护y=ze^(位z) ...
绛旓細浜岄樁甯哥郴鏁扮嚎鎬у井鍒嗘柟绋鏄舰濡倅''+py'+qy=f(x)鐨勫井鍒嗘柟绋嬶紝鍏朵腑p锛宷鏄疄甯告暟銆傝嚜鐢遍」f(x)涓哄畾涔夊湪鍖洪棿I涓婄殑杩炵画鍑芥暟锛屽嵆y''+py'+qy=0鏃讹紝绉颁负浜岄樁甯哥郴鏁伴綈娆＄嚎鎬у井鍒嗘柟绋嬨傛爣鍑嗗舰寮 y鈥+py鈥+qy=0 鐗瑰緛鏂圭▼ r^2+pr+q=0 閫氳В 1銆佷袱涓笉鐩哥瓑鐨勫疄鏍癸細y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)2...
绛旓細浜岄樁甯哥郴鏁板井鍒嗘柟绋鐨勯氳В濡備笅锛氶樁甯哥郴鏁伴綈娆绾挎у井鍒⽅绋嬮氳В鐨瑙ｆ硶:涓⾯鍙渶瑕佽В鍑哄井鍒⽅绋嬬殑鐗硅В鍗筹細瀵瑰簲寰垎⽅绋:ay鈥+by鈥+cy=f(x)鍙冲紡f(x)銆傛湁涓ょ褰㈠紡:(x)=e位xPm(x)鍨嬫鏃跺井鍒⽅绋嬪搴旂殑鐗硅В涓:y∗=xkRm(x)e位x鍏朵腑:寰楀埌杩欎釜涓嶅畬鍏ㄧ殑...
绛旓細y=erx,灏嗘寚鏁版柟绋嬩唬鍏ュ嵆鍙緱鍒皉2erx+prerx+qerx=0,鍙堝洜涓篹rx姘歌繙涓嶇瓑浜0锛屾墍浠2+pr+q=0锛屽嵆灏嗗師鏂圭▼杞寲涓烘眰瑙ｈ鐗瑰緛鏂圭▼鐨勮В锛岃繖涓壒寰佹柟绋嬬敤姹傛牴鍏紡鍗冲彲姹傝В锛屾眰鍑簉1锛宺2鍚庡啀灏嗕唬鍥炴寚鏁版柟绋嬶紝涓旇繖涓や釜瑙ｇ嚎鎬鏃犲叧锛屾墍浠ラ氳В涓簓=C1er1x+C2er2x.,浠ヤ笂灏辨槸浜岄樁甯哥郴鏁榻愭绾挎у井鍒嗘柟绋鐗瑰緛鏂圭▼...
绛旓細浜岄樁甯哥郴鏁榻愭绾挎у井鍒嗘柟绋嬮氳В濡備笅锛甯哥郴鏁扮嚎鎬у井鍒嗘柟绋锛歽鈥斥-2y鈥+y鈥-2y=0锛屸憼锛屸憼瀵瑰簲鐨勭壒寰佹柟绋嬩负锛毼3-2位2+位-2=0锛屸憽锛屽皢鈶″寲绠寰楋細锛埼2+1锛夛紙位-2锛=0锛屾眰寰楁柟绋嬧憽鐨勭壒寰佹牴鍒嗗埆涓猴細位1=2锛屛2=卤i锛屼簬鏄柟绋嬧憼鐨勫熀鏈В缁勪负锛歟2x锛宑osx锛宻inx锛屼粠鑰屾柟绋嬧憼鐨勯氳В涓猴細y(...
