什么样子的矩阵是对称矩阵？
只有对称矩阵，反对称矩阵和正交矩阵满足矩阵的转置乘以矩阵，等于矩阵乘以矩阵的转置。
如果矩阵不是方阵：转置矩阵与原矩阵的乘积是一个方阵，阶数为原矩阵Amxn的列数n；原矩阵与转置矩阵的乘积是一个方阵，阶数为原矩阵的行数m。这两个矩阵不是同型矩阵，不相等。
如果矩阵是方阵：
（1）对称矩阵（转置矩阵＝原矩阵）的转置矩阵与原矩阵的乘法满足交换律。
（2）反对称矩阵（转置矩阵＝原矩阵的负矩阵）的转置矩阵与原矩阵的乘法满足交换律。
（3）正交矩阵（逆矩阵＝转置矩阵）的转置矩阵与原矩阵的乘法满足交换律。
将矩阵的行列互换得到的新矩阵称为转置矩阵，转置矩阵的行列式不变。
对称矩阵（Symmetric Matrices）是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。在线性代数中，对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等。
1、对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。
2、A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。
3、对角矩阵都是对称矩阵。
4、两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
若矩阵的转置后的矩阵与该矩阵相等，则该矩阵是对称阵。
注：①对称阵是n阶方阵，即对称矩阵的行数与列数相等；
②对称阵的性质：方阵的元素a(ij)=a(ji)。
举个例子：
是对称阵，因为该矩阵的转置也等于该矩阵（矩阵的转置就是将每行的元素抄写成为每列的元素），且a(12)=a(21)，a(13)=a(31)，a(23)=a(32)；
比如：
的转置为：
。
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