在证明极限存在与否的问题中，极限的唯一性能不能直接使用，不加以证明 用反证法证明极限的唯一性时，为什么取ε=(b-a)/2
\u4e3a\u4ec0\u4e48\u5f88\u591a\u4eba\u90fd\u8ba4\u4e3a\u51fa\u56fd\u4e00\u5b9a\u662f\u56e0\u4e3a\u6210\u7ee9\u4e0d\u597d\u8fd9\u4e2a\u56fd\u5185\u4e0d\u5bb9\u6613\u8003\u672c\u79d1\uff0c\u8fd8\u4e0d\u5982\u53bb\u56fd\u5916\u8bfb\u5462
\u56fd\u5916\u62ff\u56de\u6765\u7684\u6bd5\u4e1a\u8bc1\u4e66\u4e5f\u662f\u8ba4\u53ef\u7684\uff0c\u800c\u4e14\u6bd4\u56fd\u5185\u672c\u79d1\u6bd5\u4e1a\u7684
\u4eab\u53d7\u7684\u5f85\u9047\u4e5f\u591a\uff0c\u4e5f\u6ca1\u6709\u89c4\u5b9a\u6210\u7ee9\u5dee\u5c31\u4e0d\u80fd\u53bb\u7559\u5b66
\u6bcf\u4e2a\u4eba\u7684\u60f3\u6cd5\u90fd\u662f\u4e0d\u4e00\u6837\u7684\uff0c\u4e5f\u8bb8\u53bb\u5230\u56fd\u5916\u5b66\u4e60\u4e0d\u4e00\u6837\u7684\u77e5\u8bc6\u6587\u5316
\u5177\u4f53\u539f\u56e0\u5982\u4e0b\uff1a
\u8bc1\u660e\u5982\u4e0b\uff1a
\u5047\u8bbe\u5b58\u5728a\uff0cb\u4e24\u4e2a\u6570\u90fd\u662f\u51fd\u6570f(x)\u5f53x\u2192x\u3002\u7684\u6781\u9650\uff0c\u4e14a<b\uff0c\u6839\u636e\u6781\u9650\u7684\u67ef\u897f\u5b9a\u4e49\uff0c\u6709\u5982\u4e0b\u7ed3\u8bba\uff1a
\u4efb\u610f\u7ed9\u5b9a\u03b5>0\uff08\u8981\u6ce8\u610f\uff0c\u8fd9\u4e2a\u03b5\u662f\u5bf9a\uff0cb\u90fd\u6210\u7acb\uff09\u3002
\u603b\u5b58\u5728\u4e00\u4e2a\u03b41>0\uff0c\u5f530<\u4e28x-x\u3002\u4e28<\u03b41\u65f6\uff0c\u4f7f\u5f97\u4e28f\uff08x\uff09-a\u4e28<\u03b5\u6210\u7acb\u3002
\u603b\u5b58\u5728\u4e00\u4e2a\u03b42>0\uff0c\u5f530<\u4e28x-x\u3002\u4e28<\u03b42\u65f6\uff0c\u4f7f\u5f97\u4e28f\uff08x\uff09-b\u4e28<\u03b5\u6210\u7acb\u3002
\u4e0a\u9762\u7684\u4e0d\u7b49\u5f0f\u53ef\u4ee5\u7b49\u4ef7\u53d8\u6362\u4e3aa-\u03b5<f\uff08x\uff09<a+\u03b5\u2460\u548cb-\u03b5<f\uff08x\uff09<b+\u03b5\u2461\u3002
\u4ee4\u03b4=min{\u03b41\uff0c\u03b42}\uff0c\u5f530<\u4e28x-x\u3002\u4e28<\u03b4\u65f6\u3002\u2460\uff0c\u2461\u4e24\u4e2a\u4e0d\u7b49\u5f0f\u540c\u65f6\u6210\u7acb\u3002
\u56e0\u4e3a\u2460\uff0c\u2461\u4e24\u4e2a\u4e0d\u7b49\u5f0f\u540c\u65f6\u6210\u7acb\uff0c\u6240\u4ee5\u2460\u5f0f\u53f3\u7aef\u5fc5\u5b9a\u5927\u4e8e\u6216\u7b49\u4e8e\u2461\u5f0f\u5de6\u7aef\u3002
\u5373\uff1ab-\u03b5\u2264a+\u03b5\uff0c\u79fb\u9879\u5f97\uff1a(b-a)/2\u2264\u03b5,\u56e0\u4e3a(b-a)/2\u662f\u4e00\u4e2a\u786e\u5b9a\u5927\u5c0f\u7684\u6b63\u6570\uff0c\u6240\u4ee5\u8fd9\u4e2a\u7ed3\u8bba\u4e0e\u6781\u9650\u7684\u5b9a\u4e49\uff1a\u03b5\u53ef\u4ee5\u4efb\u610f\u5c0f\u77db\u76fe\uff0c\u6240\u4ee5\u5047\u8bbe\u4e0d\u6210\u7acb\uff0c\u56e0\u6b64\u4e0d\u5b58\u5728a\uff0cb\u4e24\u4e2a\u6570\u90fd\u662ff\uff08x\uff09\u7684\u6781\u9650\uff0c\u9664\u975ea=b\u77db\u76fe\u624d\u4e0d\u4f1a\u51fa\u73b0\u3002
\u5018\u82e5\u662fx\u8d8b\u4e8e\u65e0\u7a77\u5927\u65f6\u7684\u552f\u4e00\u6027\u8bc1\u660e\u53ef\u4ee5\u53c2\u770b\u9ad8\u6570\u4e66\u6570\u5217\u6781\u9650\u552f\u4e00\u6027\u8bc1\u660e\uff0c\u8bc1\u6cd5\u5b8c\u5168\u4e00\u6837\u3002
\u8bc1\u6bd5\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u53cd\u8bc1\u6cd5\u7684\u903b\u8f91\u539f\u7406\u662f\u9006\u5426\u547d\u9898\u548c\u539f\u547d\u9898\u7684\u771f\u5047\u6027\u76f8\u540c\u3002
\u5b9e\u9645\u7684\u64cd\u4f5c\u8fc7\u7a0b\u8fd8\u7528\u5230\u4e86\u53e6\u4e00\u4e2a\u539f\u7406\uff0c\u5373\uff1a
\u539f\u547d\u9898\u548c\u539f\u547d\u9898\u7684\u5426\u5b9a\u662f\u5bf9\u7acb\u7684\u5b58\u5728\uff1a\u539f\u547d\u9898\u4e3a\u771f\uff0c\u5219\u539f\u547d\u9898\u7684\u5426\u5b9a\u4e3a\u5047\uff1b\u539f\u547d\u9898\u4e3a\u5047\uff0c\u5219\u539f\u547d\u9898\u7684\u5426\u5b9a\u4e3a\u771f\u3002
\u82e5\u539f\u547d\u9898\uff1a
\u4e3a\u771f
\u5148\u5bf9\u539f\u547d\u9898\u7684\u7ed3\u8bba\u8fdb\u884c\u5426\u5b9a\uff0c\u5373\u5199\u51fa\u539f\u547d\u9898\u7684\u5426\u5b9a\uff1ap\u4e14¬q\u3002
\u4ece\u7ed3\u8bba\u7684\u53cd\u9762\u51fa\u53d1\uff0c\u63a8\u51fa\u77db\u76fe\uff0c\u5373\u547d\u9898\uff1ap\u4e14¬q \u4e3a\u5047\uff08\u5373\u5b58\u5728\u77db\u76fe\uff09\u3002
\u4ece\u800c\u8be5\u547d\u9898\u7684\u5426\u5b9a\u4e3a\u771f\u3002
\u518d\u5229\u7528\u539f\u547d\u9898\u548c\u9006\u5426\u547d\u9898\u7684\u771f\u5047\u6027\u4e00\u81f4\uff0c\u5373\u539f\u547d\u9898\uff1ap⇒q\u4e3a\u771f\u3002
\u8bef\u533a\uff1a
\u5426\u547d\u9898\u4e0e\u547d\u9898\u7684\u5426\u5b9a\u662f\u4e24\u4e2a\u4e0d\u540c\u7684\u6982\u5ff5\u3002
\u547d\u9898\u7684\u5426\u5b9a\u53ea\u9488\u5bf9\u539f\u547d\u9898\u7684\u7ed3\u8bba\u8fdb\u884c\u5426\u5b9a\u3002\u800c\u5426\u547d\u9898\u540c\u65f6\u5426\u5b9a\u6761\u4ef6\u548c\u7ed3\u8bba\uff1a
\u539f\u547d\u9898\uff1ap⇒q\uff1b
\u5426\u547d\u9898\uff1a¬p⇒¬q\uff1b
\u9006\u5426\u547d\u9898\uff1a¬q⇒¬p\uff1b
\u547d\u9898\u7684\u5426\u5b9a\uff1ap\u4e14¬q\u3002
\u539f\u547d\u9898\u4e0e\u5426\u547d\u9898\u7684\u771f\u5047\u6027\u6ca1\u6709\u5fc5\u7136\u8054\u7cfb\uff0c\u4f46\u539f\u547d\u9898\u548c\u539f\u547d\u9898\u7684\u5426\u5b9a\u5374\u662f\u5bf9\u7acb\u7684\u5b58\u5728\uff0c\u4e00\u4e2a\u4e3a\u771f\u53e6\u4e00\u4e2a\u5fc5\u7136\u4e3a\u5047\u3002
\u5df2\u77e5\u67d0\u547d\u9898\uff1a\u82e5A\uff0c\u5219B\uff0c\u5219\u6b64\u547d\u9898\u67094\u79cd\u60c5\u51b5\uff1a
1.\u5f53A\u4e3a\u771f\uff0cB\u4e3a\u771f\uff0c\u5219A⇒B\u4e3a\u771f\uff0c\u5f97¬B⇒¬A\u4e3a\u771f\uff1b
2.\u5f53A\u4e3a\u771f\uff0cB\u4e3a\u5047\uff0c\u5219A⇒B\u4e3a\u5047\uff0c\u5f97¬B⇒¬A\u4e3a\u5047\uff1b
3.\u5f53A\u4e3a\u5047\uff0cB\u4e3a\u771f\uff0c\u5219A⇒B\u4e3a\u771f\uff0c\u5f97¬B⇒¬A\u4e3a\u771f\uff1b
4.\u5f53A\u4e3a\u5047\uff0cB\u4e3a\u5047\uff0c\u5219A⇒B\u4e3a\u771f\uff0c\u5f97¬B⇒¬A\u4e3a\u771f\uff1b
\u2234\u4e00\u4e2a\u547d\u9898\u4e0e\u5176\u9006\u5426\u547d\u9898\u540c\u771f\u5047\u3002
\u5373\u53cd\u8bc1\u6cd5\u662f\u6b63\u786e\u7684\u3002
\u5047\u8bbe¬B\uff0c\u63a8\u51fa¬A\uff0c\u5c31\u8bf4\u660e\u9006\u5426\u547d\u9898\u662f\u771f\u7684,\u90a3\u4e48\u539f\u547d\u9898\u4e5f\u662f\u771f\u7684\u3002
\u4f46\u5b9e\u9645\u63a8\u8bc1\u7684\u8fc7\u7a0b\u4e2d\uff0c\u63a8\u51fa¬A\u662f\u76f8\u5f53\u56f0\u96be\u7684\uff0c\u6240\u4ee5\u5c31\u8f6c\u5316\u4e3a\u4e86\u63a8\u51fa\u4e0e¬A\u76f8\u540c\u6548\u679c\u7684\u5185\u5bb9\u5373\u53ef\u3002\u8fd9\u4e2a\u76f8\u540c\u6548\u679c\u5c31\u662f\u4e0eA\uff08\u5df2\u77e5\u6761\u4ef6\uff09\u77db\u76fe\uff0c\u6216\u662f\u4e0e\u5df2\u77e5\u5b9a\u4e49\u3001\u5b9a\u7406\u3001\u5927\u5bb6\u90fd\u77e5\u9053\u7684\u4e8b\u5b9e\u7b49\u77db\u76fe\u3002
证明：假设数列an收敛于实数A和实数B，其中A≠B，不妨假设A<B。那么对于任给的ε，总存在N>0，使得对于任意的n≥N，总有
|an-A|<ε ，
取ε =(B-A)/2，那么对于任意的n≥N，必有|an-A|<(B-A)/2，即A-(B-A)/2<an<A+(B-A)/2，即(3A-B)/2<an<(A+B)/2，
因此(3A-B)/2-B<an-B<(A+B)/2-B，即3(A-B)/2<an-B<(A-B)/2，
由于A<B，所以A-B<0，因此an-B<(A-B)/2<0对于任意的n≥N成立。
即|an-B|>|A-B|/2对于任意的n≥N成立。
因此存在一个e'=|A-B|/2>0，使得对于任意的N'>0，总会有更大的N''>N且N>N'，使得对于任意的n≥N''，总是不满足|an-B|<e'。
根据数列极限的ε-N定义法，数列an不收敛于B。
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