高中待定系数法求函数
待定系数法undetermined
coefficients
一种求未知数的方法。一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等时同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。例如，将已知多项式分解因式，可以设某些因式的系数为未知数，利用恒等的条件，求出这些未知数。求经过某些点的圆锥曲线方程也可以用待定系数法。从更广泛的意义上说，待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。求函数的表达式，把一个有理分式分解成几个简单分式的和，求微分方程的级数形式的解等，都可用这种方法。
【又】一种常用的数学方法。对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。广泛应用于多项式的因式分解，求函数的解析式和曲线的方程等。
[用待定系数法因式分解]
待定系数法是初中数学的一个重要方法。用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。在初中竞赛中经常出现。
待定系数法
有一年全国高考题副题有一道题是这样的：分解因式xx－2xy＋yy＋2x－2y－3。
分析
待定系数法是初中数学的一个重要方法，我们用这个方法来解这道题：先看多项式中的二次项xx－2xy＋yy，可以分解成（x－y）?（x－y）
。因此，如果多项式能分解成两个关于x、y的一次因式的乘积，那么这两个因式必定是（x－y＋m）（x－y＋n）的形式，其中m、n为待定系数，只要能求出m和n的值，多项式便能分解。
解
设xx－2xy＋yy＋2x－2y－3＝(x－y＋m)(x－y＋n)＝xx－2xy＋yy＋(m＋n)x＋(－m－n)y＋mn
两个多项式恒等，它们的对应项的系数就对应相等。
∴
解之，得
m＝－1
n＝3
∴xx－2xy＋yy＋2x－2y－3＝(x－y－1)(x－y＋3)
通过本例可知，用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
该题最简捷的方法是分组，利用整体思维法（把x－y看成一个整体进行思考）分解因式。
解
原式＝?(xx－2xy＋yy)
＋(2x－2y)－3
＝(x－y)(x－y)＋2(x－y)－3
＝(x－y－1)(x－y＋3)
用
待定系数法
确定
一次函数
y=kx+b的
解析式
的一般步骤是：
一代：将从已知条件中得到的x、y的对应值代入y=kx+b中，建立关于k、b的
二元一次方程组
；
二解：解关于k、b的二元一次方程组；
三代：将所求出的k、b的值代入y=kx+b中；
四答：得出一次函数的解析式。
下面举例谈谈用待定系数法求一次
函数解析式
的常见类型，供同学们参考。
一、已知一个一次函数的两组对应值，求函数的解析式
已知一次函数的两组对应值求一次函数的解析式，只需按照上面所说的四个步骤进行求解即可。
例1.
已知一个一次函数的图象经过（-2，-3），（1，3）两点，求这个一次函数的解析式。
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b，则根据题意得：
解这个二元一次方程组，得
故这个一次函数的解析式为
变式训练：已知一次函数的图象经过（2，5）和（-1，-1）两点，求这个一次函数的解析式。
提示：解法同例1，一次函数的解析式为
总结：一次函数的图象经过某两点，实际上就是告诉了我们这个一次函数的两组对应值。
二、已知两个一次函数的图象相交，求函数的解析式
例2.
已知直线l1与l2相交于点P，l1的解析式为，点P的横坐标为-1，且l2交y轴于点A（0，1），求直线l2的解析式。
解：由l1的解析式和P点（在l1上）的横坐标可求出P点的
纵坐标
。将x=-1代入中，得，故P点坐标为（-1，5）.
由
题设
可知，直线l2经过P（-1，5）、A（0，1）两点。故不妨设直线l2的解析式为，将、A（0，1）的坐标分别代入，列方程组解得，故直线l2的解析式为。
变式训练：已知直线l与直线交点的横坐标为2，直线l与直线交点的纵坐标为，求直线l的解析式。
提示：将代入中，得y=5；将y代入中，得。故直线l经过点（2，5），（）。仿例2得直线l的解析式为。
总结：解例2的关键是求点P的坐标。因为点P是直线l1与l2的交点，故点P也在直线l1上。将点P的横坐标代入直线l1的解析式中可得点P的纵坐标，由此将问题转化为例1的形式。
三、已知两个一次函数的图象
互相平行
，求函数的解析式
例3.
已知关于x的一次函数y=kx+b的图象平行于直线，且其图象经过点（3，0），求此一次函数的解析式。
解：因为一次函数的图象平行于直线
所以
所求一次函数为
将点（3，0）的坐标代入中得，得b=9
一次函数的解析式为
变式训练：将一次函数的图象平移，使它经过点（，1），求平移后的图象的解析式。
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