幂级数展开 几个常用幂级数展开式
\u5e38\u7528\u7684\u5168\u9762\u7684\u5e42\u7ea7\u6570\u5c55\u5f00\u516c\u5f0f\u5e38\u7528\u7684\u5168\u9762\u7684\u5e42\u7ea7\u6570\u5c55\u5f00\u516c\u5f0f\uff1af(x)=1/(2+x-x\u7684\u5e73\u65b9)
\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3
={1/(x+1)+1/[2(1-x/2)]}/3
\u5c55\u5f00\u6210x\u7684\u5e42\u7ea7\u6570
=(n=0\u5230\u221e)\u2211[(-x)^n+
(x/2)^n/2]
\u6536\u655b\u57df-1<x<1
\u7edd\u5bf9\u6536\u655b\u7ea7\u6570\uff1a
\u4e00\u4e2a\u7edd\u5bf9\u6536\u655b\u7ea7\u6570\u7684\u6b63\u6570\u9879\u4e0e\u8d1f\u6570\u9879\u6240\u7ec4\u6210\u7684\u7ea7\u6570\u90fd\u662f\u6536\u655b\u7684\u3002\u4e00\u4e2a\u6761\u4ef6\u6536\u655b\u7ea7\u6570\u7684\u6b63\u6570\u9879\u4e0e\u8d1f\u6570\u9879\u6240\u7ec4\u6210\u7684\u7ea7\u6570\u90fd\u662f\u53d1\u6563\u7684\u3002
\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u7ed9\u5b9a\u7684\u6b63\u6570tol\uff0c\u53ef\u4ee5\u627e\u5230\u5408\u9002\u7684\u533a\u95f4(\u8b6c\u5982\u5750\u6807\u7edd\u5bf9\u503c\u5145\u5206\u5c0f)\uff0c\u4f7f\u5f97\u8fd9\u4e2a\u533a\u95f4\u5185\u4efb\u610f\u4e09\u4e2a\u70b9\u7ec4\u6210\u7684\u4e09\u89d2\u5f62\u9762\u79ef\u90fd\u5c0f\u4e8etol\u3002
\u5e38\u7528\u7684\u5e42\u7ea7\u6570\u5c55\u5f00\u5f0f\u5f52\u7eb3\u5982\u4e0b\u56fe\uff1a
\u6269\u5c55\u8d44\u6599
\u5e42\u7ea7\u6570\uff0c\u662f\u6570\u5b66\u5206\u6790\u5f53\u4e2d\u91cd\u8981\u6982\u5ff5\u4e4b\u4e00\uff0c\u662f\u6307\u5728\u7ea7\u6570\u7684\u6bcf\u4e00\u9879\u5747\u4e3a\u4e0e\u7ea7\u6570\u9879\u5e8f\u53f7n\u76f8\u5bf9\u5e94\u7684\u4ee5\u5e38\u6570\u500d\u7684\uff08x-a\uff09\u7684n\u6b21\u65b9\uff08n\u662f\u4ece0\u5f00\u59cb\u8ba1\u6570\u7684\u6574\u6570\uff0ca\u4e3a\u5e38\u6570\uff09\u3002\u5e42\u7ea7\u6570\u662f\u6570\u5b66\u5206\u6790\u4e2d\u7684\u91cd\u8981\u6982\u5ff5\uff0c\u88ab\u4f5c\u4e3a\u57fa\u7840\u5185\u5bb9\u5e94\u7528\u5230\u4e86\u5b9e\u53d8\u51fd\u6570\u3001\u590d\u53d8\u51fd\u6570\u7b49\u4f17\u591a\u9886\u57df\u5f53\u4e2d\u3002
\u5e42\u7ea7\u6570\u89e3\u6cd5\u662f\u6c42\u89e3\u5e38\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u7684\u4e00\u79cd\u65b9\u6cd5\uff0c\u7279\u522b\u662f\u5f53\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u4e0d\u80fd\u7528\u521d\u7b49\u51fd\u6570\u6216\u6216\u5176\u79ef\u5206\u5f0f\u8868\u8fbe\u65f6\uff0c\u5c31\u8981\u5bfb\u6c42\u5176\u4ed6\u6c42\u89e3\u65b9\u6cd5\uff0c\u5c24\u5176\u662f\u8fd1\u4f3c\u6c42\u89e3\u65b9\u6cd5\uff0c\u5e42\u7ea7\u6570\u89e3\u6cd5\u5c31\u662f\u5e38\u7528\u7684\u8fd1\u4f3c\u6c42\u89e3\u65b9\u6cd5\u3002\u7528\u5e42\u7ea7\u6570\u89e3\u6cd5\u548c\u5e7f\u4e49\u5e42\u7ea7\u6570\u89e3\u6cd5\u53ef\u4ee5\u89e3\u51fa\u8bb8\u591a\u6570\u5b66\u7269\u7406\u4e2d\u91cd\u8981\u7684\u5e38\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\uff0c\u4f8b\u5982: \u8d1d\u585e\u5c14\u65b9\u7a0b\u3001\u52d2\u8ba9\u5fb7\u65b9\u7a0b\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1\u5e42\u7ea7\u6570\u89e3\u6cd5
无穷级数的幂级数的展开式。
绛旓細f(x)=f(x0)+f`(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2/2!+鈹堚攬+f(n)(x0)*(x-x0)^n/n锛屾牴鎹湪x=0澶勭殑骞傜骇鏁板睍寮寮忎负1/(1-x)=1+x+x^2+鈹堚攬+x^n (-1锛夈傚嚱鏁扮洿鎺ュ睍寮鎴愭嘲鍕掔骇鏁帮紝鎸囩殑鏄畻鏌愪竴鐐圭殑鎵鏈夐樁瀵兼暟锛屼粠鑰屽緱鍒版嘲鍕掓瀬鏁帮紝浣嗚繖骞舵病鏈夊畬锛岃繕瑕佽瘉鏄庝笂闈㈤偅涓畾鐞嗕腑鐨...
绛旓細濡傚浘鎵绀猴細
绛旓細鐩存帴鐢ㄥ叕寮忥細In(1+x)=鈭(-1)^(n-1)*x^n/n濂楀叆鍗冲彲锛屽叿浣撴柟娉曞涓嬶細骞傜骇鏁鏄暟瀛﹀垎鏋愪腑鐨勯噸瑕佹蹇碉紝琚綔涓哄熀纭鍐呭搴旂敤鍒颁簡瀹炲彉鍑芥暟銆佸鍙樺嚱鏁扮瓑浼楀棰嗗煙褰撲腑銆傚父鐢ㄧ殑骞傜骇鏁 e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+鈥︹+x^n/n!+鈥︹1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+鈥︹+x^n+鈥︹1/(1+x)...
绛旓細杩欎釜缁撹鍩轰簬骞傜骇鏁扮殑鏀舵暃鎬у拰閫愰」姹傚鐨勬ц川銆傚鏋滀竴涓嚱鏁板彲浠ヨ〃绀轰负骞傜骇鏁板睍寮寮忥紝閭ｄ箞瀹冨湪灞曞紑寮忔墍娑电洊鐨勫尯闂村唴搴旇鏄繛缁殑锛屽苟涓斿湪璇ュ尯闂村唴骞傜骇鏁版敹鏁涖傚湪杩欎釜鍖洪棿鍐咃紝濡傛灉鏈夊彟澶栦竴涓笉鍚岀殑骞傜骇鏁板睍寮寮忎笌鍘熷嚱鏁扮浉绛夛紝閭ｄ箞鏍规嵁閫愰」姹傚鐨勬ц川锛岃繖涓や釜骞傜骇鏁板湪灞曞紑寮忕殑鏀舵暃鍖洪棿鍐呯殑姣忎竴椤归兘搴旇鐩哥瓑...
绛旓細鍏蜂綋濡傚浘锛氳繖鏄叕姣斾负q=x鐨勭瓑姣绾ф暟姹傚拰鍏紡鐨勫弽杩囨潵搴旂敤锛屽彲浠ョ洿鎺ヤ娇鐢紝娌℃湁蹇呰鍐欏嚭鍏蜂綋杩囩▼锛 濡傛灉涓瀹氳鍐欙紝灏卞啓鍦ㄤ笅闈紝鐣ユ湁鐐归夯鐑︼紝鍏朵腑绗瑕佺敤鍒版敹鏁涚殑绛夋瘮绾ф暟鐨勪綑椤圭骇鏁帮紝浠嶇劧鏄瓑姣旂骇鏁板拰銆傝闆嗗悎A鏄湁鍩烘暟Card锛圓锛夌殑鏈夐檺闆嗭紙鍙暟闆嗭級锛屽垯Card锛2A锛=2(Card(A))銆傚闆嗗悎B={a,b}锛...
绛旓細灞曞紑杩囩▼瑙佷笂鍥俱2.姹傝В骞傜骇鏁锛屾寜鐓у叕寮忓鏋滃浘鐨勬敞鐨勯儴鍒嗐備笅鏍囪n鍙互浠1寮濮嬶紝涔熷彲浠ヤ粠0寮濮嬨備竴鑸」涓嶄竴鏍凤紝浣嗗睍寮鍚庯紝鏄竴鏍风殑銆3.姝ら锛屾眰瑙ｅ箓绾ф暟锛屾寜鐓у叕寮忔潵灞曞紑锛屽睍寮鏃讹紝灏唜-1浠ｆ浛鍏紡涓殑x,灏卞彲浠ユ寜棰樻剰寰楀埌骞傜骇鏁颁簡銆傚叿浣撶殑姹傝В骞傜骇鏁帮紝鎸夌収鍏紡鏉ュ睍寮锛屽睍寮鐨勬楠ゅ強璇存槑瑙佷笂銆
绛旓細g(x) =1/(x+1) => g(1) =1/2 g'(x) =-1/(x+1)^2 => g'(1)/1! =-1/4 g''(x) =2/(x+1)^3 => g''(1)/2! =1/8 ..g^(n)(x) =(-1)^n . n!/(x+1)^(n+1) => g^(n)(1)/n! = (-1/2)^n 1/(x+1) = 1/2 -(1...
绛旓細鍑芥暟娉板嫆灞曞紑涓骞傜骇鏁板睍寮閮芥槸琛ㄧず鍑芥暟鐨勭簿搴﹂棶棰樸傛嘲鍕掑叕寮忔妸鍚庨潰鐨勯儴鍒嗛」鐢ㄩ珮闃舵棤绌峰皬浠ｆ浛浜嗭紝绾ф暟鐨勮瘽涓鐩村垪鍐欎簡鍑烘潵銆傝屽箓绾ф暟鏄嚱鏁伴」绾ф暟锛屾槸鏃犳暟涓箓鍑芥暟涔嬪拰銆傚箓绾ф暟锛屾槸鏁板鍒嗘瀽褰撲腑閲嶈姒傚康涔嬩竴锛屾槸鎸囧湪绾ф暟鐨勬瘡涓椤瑰潎涓轰笌绾ф暟椤瑰簭鍙穘鐩稿搴旂殑浠ュ父鏁板嶇殑锛坸-a锛夌殑n娆℃柟锛坣鏄粠0寮濮嬭鏁扮殑...
绛旓細arcsinx 灞曞紑鎴恱鐨骞傜骇鏁锛屽厛姹傚鏁扮殑骞傜骇鏁帮紝鍐嶉愰」绉垎锛屽緱鍒癮rcsinx鐨勫箓绾ф暟銆傚鍥炬墍绀猴細骞傜骇鏁帮紝鏄暟瀛﹀垎鏋愬綋涓噸瑕佹蹇典箣涓锛屾槸鎸囧湪绾ф暟鐨勬瘡涓椤瑰潎涓轰笌绾ф暟椤瑰簭鍙穘鐩稿搴旂殑浠ュ父鏁板嶇殑锛坸-a锛夌殑n娆℃柟锛坣鏄粠0寮濮嬭鏁扮殑鏁存暟锛宎涓哄父鏁帮級銆傚箓绾ф暟鏄暟瀛﹀垎鏋愪腑鐨勯噸瑕佹蹇碉紝琚綔涓哄熀纭鍐呭搴旂敤鍒颁簡...
