圆球体积公式的推导过程？ 球的体积公式的推导过程
\u5706\u7403\u4f53\u79ef\u516c\u5f0f\u600e\u4e48\u63a8\u5bfc\u9b4f\u5fb7\u6b66\u8001\u5e08\u867d\u53ea\u6709\u5c0f\u5b66\u6587\u5316\u7a0b\u5ea6\uff0c\u4f46\u5728\u6570\u5b66\u7814\u7a76\u7684\u80cc\u540e\u6709\u7740\u8bb8\u591a\u4e0d\u4e3a\u4eba\u77e5\u7684\u4f20\u5947\u6545\u4e8b\uff0c\u5176\u4e2d\u5728\u4ed6\u8bfb\u5c0f\u5b66\u56db\u3001\u4e94\u5e74\u7ea7\u7814\u53d1\u795e\u5947\u901f\u7b97\u548c\u7834\u89e3\u5706\u5468\u7387\u79d1\u5b66\u672a\u89e3\u4e4b\u8c1c\u5c31\u8db3\u4ee5\u8ba9\u4e16\u4eba\u77a0\u76ee\u7ed3\u820c\u3002\u5728\u4ed613\u5c81\u90a3\u5e74\uff0c\u4e0d\u4ec5\u7814\u53d1\u51fa\u4e58\u6cd5\u901f\u7b97\u901a\u7528\u516c\u5f0f\uff0c\u800c\u4e14\u8fd8\u6839\u636e\u7403\u4f53\u5927\u5c0f\u6bd4\u503c\u6570\u201c\u4e0d\u53d8\u771f\u7406\u201d\u4e3a\u4f9d\u636e\uff0c\u6f14\u7ece\u63a8\u7406\u51fa\u5706\u7403\u4f53\u79ef\u516c\u5f0f\u3001\u5706\u7403\u4f53\u8868\u9762\u79ef\u516c\u5f0f\uff0c\u6700\u7ec8\u653b\u514b\u4e16\u4eba\u6240\u77a9\u76ee\u7684\u79d1\u5b66\u672a\u89e3\u4e4b\u8c1c\u2014\u2014\u5706\u5468\u7387\u3002\u636e\u8d44\u6599\u663e\u793a\u8868\u660e\uff0c\u9b4f\u5fb7\u6b66\u63a8\u7b97\u7684\u5177\u4f53\u65b9\u6cd5\uff0c\u6b65\u9aa4\u5982\u4e0b\uff1a
\u63a8\u7406\u4e00\uff0c\u6c42\u8bc1\u5706\u5468\u957f\u4e0e\u76f4\u5f84\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb\uff0c\u6839\u636e\u5706\u4e0e\u5706\u4e4b\u95f4\u7684\u76f8\u4f3c\u539f\u7406\uff0c\u9996\u5148\u53ef\u4ee5\u786e\u5b9a\u5706\u5468\u957fL\u6bd4\u5706\u76f4\u5f84d\u6240\u5f97\u7684\u5546\u4e3a\u5b9a\u503c\u6570\uff0c\u5373L:d=\u03c0,L=\u03c0d.\u63a8\u7406\u4e8c\uff0c\u6c42\u8bc1\u5706\u9762\u79ef\u4e0e\u5706\u76f4\u5f84\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb\uff0c\u901a\u8fc7\u6570\u5b66\u539f\u7406\u548c\u8bba\u8bc1\uff0c\u53ef\u4ee5\u80af\u5b9a\u5706\u7684\u9762\u79efs\u662f\u7531\u5706\u5468\u4e0a\u7684\u4e00\u70b9\u5230\u5706\u5fc3\u70b9\uff0c\u7531\u65e0\u6570\u4e2a\u5fae\u79ef\u4e09\u89d2\u5f62\u7ec4\u6210\u7684\uff0c\u56e0\u6b64\u5706\u7684\u9762\u79ef\u516c\u5f0f\u5b8c\u5168\u53ef\u4ee5\u8f6c\u5316\u6210\u5fae\u79ef\u4e09\u89d2\u5f62\u8fdb\u884c\u63a8\u7b97\uff0c\u5373\uff1aS=1/4L1d+1/4L2d+1/4Lnd\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u901a\u8fc7\u4ee3\u5165\u3001\u5316\u7b80\u540e\u5f97\uff1aS=1/4d²\u03c0
\u63a8\u7406\u4e09\uff1a\u6c42\u8bc1\u5706\u7403\u4f53\u79ef\u4e0e\u5706\u7403\u5916\u63a5\u5706\u67f1\u4f53\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb\uff0c\u6839\u636e\u5706\u7403\u4f53\u79ef\u4e0e\u5706\u7403\u5916\u63a5\u5706\u67f1\u4f53\u79ef\u5927\u5c0f\u6bd4\u503c\u6570\u4e0d\u53d8\u5b9a\u5f8b\uff0c\u53ef\u4ee5\u786e\u5b9a\u5706\u7403\u4f53\u79efv\u6bd4\u5706\u7403\u5916\u63a5\u5706\u67f1\u4f53v\u6240\u5f97\u7684\u5546\u662f\u4e00\u4e2a\u5b9a\u503c\u6570\uff0c\u5373:v\u7403:v\u67f1=ƒ1\u3002\u5373\uff1av\u7403=ƒ1v\u67f1\u5176\u4e2d\u6bd4\u503c\u6570ƒ1\u5b8c\u5168\u53ef\u4ee5\u901a\u8fc7\u5b9e\u4f53\u6d4b\u8bd5\u7684\u65b9\u6cd5\u5f97\u4ee5\u89e3\u51b3\uff0c\u53d6\u4e00\u4e2a\u9ad8\u4e3ar,\u534a\u5f84\u4e3ar\u7684\u5706\u67f1\u6876\uff0c\u518d\u53d6\u4e00\u4e2a\u534a\u5f84\u4e3ar\u7684\u534a\u7403\u4f53\uff0c\u7136\u540e\u5c06\u534a\u5f84\u4e3ar\u9ad8\u4e3ar\u7684\u5706\u9525\u4f53\u5206\u522b\u88c5\u6ee1\u6c34\uff0c\u5012\u5165\u5706\u67f1\u6876\u4e2d\uff08\u5982\u56fe1\uff09\u6240\u793a\u3002\u4f60\u4f1a\u53d1\u73b0\u5706\u67f1\u6876\u7684\u6c34\u6b63\u597d\u88c5\u6ee1\u3002\u901a\u8fc7\u5b9e\u9a8c\u8bc1\u660eƒ1=2/3\uff0c\u6700\u540e\u901a\u8fc7\u4ee3\u5165\u3001\u79fb\u9879\u3001\u5316\u7b80\u5f97\uff1a\u5706\u7403\u4f53\u79ef\u516c\u5f0f\uff1av\u7403=1/6\u03c0d³.
\u63a8\u7406\u56db\uff1a\u6c42\u8bc1\u5706\u4f53\u79ef\u4e0e\u5706\u7403\u5916\u63a5\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u5173\u7cfb\uff0c\u6839\u636e\u5706\u7403\u4f53\u79ef\u4e0e\u5706\u7403\u5916\u63a5\u6b63\u65b9\u4f53\u79ef\u5927\u5c0f\u6bd4\u503c\u6570\u4e0d\u53d8\u7684\u539f\u7406\uff0c\u6240\u5f97\u7684\u5546\u662f\u4e00\u4e2a\u5b9a\u503c\u6570\uff0c
\u5373:v\u7403:v\u6b63\u65b9\u4f53=ƒ2\uff0c\u5373\uff1av\u7403=ƒ2v\u6b63\u65b9\u4f53\uff0c\u5176\u4e2d\u6bd4\u503c\u6570ƒ2\u4e5f\u540c\u6837\u53ef\u4ee5\u901a\u8fc7\u5b9e\u4f53\u6d4b\u8bd5\u7684\u65b9\u6cd5\u5f97\u5230\u4e00\u4e2a\u51c6\u786e\u7684\u6570\u636e\uff0c\u53d6\u4e00\u4e2a\u76f4\u5f84\u4e3a100mm\u7684\u5706\u7403\u4f53\u5168\u90e8\u4fb5\u5165\u76db\u6ee1\u6c34\u7684\u6876\u4e2d\uff0c\u7136\u540e\u5c06\u6ea2\u51fa\u7684\u6c34\u4e00\u6ef4\u4e0d\u5c11\u5730\u88c5\u597d\u5012\u5165\u523b\u6709\u5c3a\u5bf8\u7684\u676f\u4e2d\uff08\u5982\u56fe2\uff09\u6240\u793a\uff0c\u4f60\u4f1a\u53d1\u73b0\u676f\u4e2d\u6c34\u7684\u4f53\u79ef\u63a5\u8fd1\u7b49\u4e8e523598.7\u7acb\u65b9mm\u3002\u901a\u8fc7\u5b9e\u8df5\u8bc1\u660eƒ2=523598.7/1000000\uff0c\u6700\u540e\u4ee3\u4eba\u5f97\uff1a\u5706\u7403\u4f53\u79ef\u516c\u5f0f\uff1av\u7403=0.5235987d³\u3002\u63a8\u7406\u4e94\uff1a\uff0c\u6c42\u8bc1\u5706\u7403\u4f53\u8868\u9762\u79ef\u4e0e\u5706\u76f4\u5f84\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb\uff0c\u901a\u8fc7\u6570\u5b66\u539f\u7406\u7684\u5206\u6790\u548c\u8bba\u8bc1\uff0c\u5706\u7403\u4f53\u8868\u9762\u79ef\u662f\u7531\u65e0\u6570\u4e2a\u70b9\u7ec4\u6210\u7684\uff0c\u5706\u7403\u4f53\u7684\u4f53\u79ef\u662f\u7531\u5706\u7403\u4f53\u8868\u9762\u79ef\u4e0a\u7684\u4e00\u70b9\u5230\u5706\u5fc3\u70b9\uff0c\u7531\u65e0\u6570\u4e2a\u5fae\u79ef\u5706\u9525\u4f53\u7ec4\u6210\u7684\uff0c\u56e0\u6b64\u5706\u7403\u7684\u8868\u9762\u79ef\u516c\u5f0f\u5b8c\u5168\u53ef\u4ee5\u8f6c\u5316\u6210\u5fae\u79ef\u5706\u9525\u4f53\u8fdb\u884c\u63a8\u7b97\uff0c\u5373\uff1av\u5706\u7403\u4f53=1/6s1d+1/6s2d+1/6snd=1/6sd=1/6\u03c0d³.,\u6700\u540e\u901a\u8fc7\u4ee3\u5165\u3001\u5316\u7b80\u3001\u79fb\u9879\u5f97\uff1a\u5706\u7403\u8868\u9762\u79ef\u516c\u5f0f\uff1as=\u03c0d²
\u63a8\u7406\u516d\uff1a\u4f9d\u636e\u7403\u4f53\u4e4b\u95f4\u7684\u5185\u5728\u8054\u7cfb\u627e\u51fa\u7b49\u91cf\u5173\u7cfb\uff1a1/6\u03c0d³=0.523987d³
\u6700\u540e\u901a\u8fc7\u79fb\u9879\u3001\u5316\u7b80\u5f97\uff1a\u03c0=3.141592......\u8fd9\u5c31\u662f\u5706\u7403\u7387\u5177\u6709\u79d1\u5b66\u4f9d\u636e\u7684\u6765\u81ea\u65b9\u6cd5\u3002
\u4e0d\u8bba\u600e\u4e48\u63a8\u5bfc\uff0c\u90fd\u9700\u8981\u7528\u5230\u6781\u9650\u7684\u601d\u60f3\uff0c\u53ef\u80fd\u9700\u8981\u5230\u9ad8\u4e8c\u5b66\u6781\u9650\u7684\u65f6\u5019\u80fd\u8bb2\u5230\u3002\u5982\u679c\u4e0d\u7528\u6781\u9650\uff0c\u5219\u9700\u8981\u7528\u5230\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u5fae\u79ef\u5206\u77e5\u8bc6\u3002
1.\u5982\u679c\u5df2\u77e5\u7403\u4f53\u8868\u9762\u79ef\u662fS=4\u03c0R²\uff0c\u90a3\u4e48\u53ef\u4ee5\u8fd9\u6837\u60f3\uff1a\u60f3\u50cf\u7403\u662f\u7531\u65e0\u6570\u591a\u4e2a\u975e\u5e38\u7ec6\u7684\u5706\u9525\u6784\u6210\u7684\uff0c\u7403\u7684\u4f53\u79ef\u5c31\u662f\u6240\u6709\u5706\u9525\u7684\u4f53\u79ef\u4e4b\u548c\uff0c\u5047\u8bbe\u7ec6\u5206\u6210N\u4e2a\u8fd9\u6837\u7684\u9525\u5f62\uff0c\u5f53N\u8d8b\u8fd1\u4e8e\u65e0\u7a77\u5927\u65f6\uff0c\u5982\u679c\u6bcf\u4e2a\u5706\u9525\u5e95\u9762\u9762\u79ef\u4e3aS\uff0c\u90a3\u4e48NS\u5c31\u662f\u7403\u7684\u8868\u9762\u79ef\uff0c\u800c\u9525\u5f62\u7684\u9ad8\u5c31\u8fd1\u4f3c\u662f\u534a\u5f84R\uff0c\u6240\u4ee5\u9525\u5f62\u7684\u4f53\u79ef\u662fSR/3\u3002\u52a0\u8d77\u6765\u540e\uff0c\u6574\u4e2a\u7403\u7684\u4f53\u79ef\u5c31\u662fNSR/3\uff0cNS\u662f\u7403\u7684\u8868\u9762\u79ef\u3002\u6240\u4ee5\u7403\u7684\u4f53\u79ef\u5c31\u7b49\u4e8e\u7403\u8868\u9762\u79ef\u4e58\u4ee5R/3\uff0c\u56e0\u4e3a\u7403\u7684\u8868\u9762\u79ef\u662f4\u03c0R²\uff0c\u6240\u4ee5\u7403\u7684\u4f53\u79ef\u5c31\u662f 4\u03c0R³/3\u3002
2.\u5982\u679c\u4f60\u4e0d\u77e5\u9053\u7403\u4f53\u8868\u9762\u79ef\uff0c\u53ef\u4ee5\u8fd9\u6837\u505a\uff1a\u5047\u8bbe\u628a\u7403\u5206\u5272\u6210\u5f88N\u591a\u4e2a\u534a\u5f84\u4ece\u5c0f\u5230\u5927\u5706\u5f62\u7684\u8584\u7247\uff0c\u5f53N\u8d8b\u8fd1\u65e0\u9650\u5927\u65f6\uff0c\u6bcf\u4e2a\u8584\u7247\u7684\u4f53\u79ef\u52a0\u548c\u5c31\u662f\u4e2a\u534a\u7403\u7684\u4f53\u79ef\u3002\u5047\u8bbe\u7403\u7684\u534a\u5f84\u4e3aR\uff0c\u5148\u770b\u5176\u4e2d\u4e00\u4e2a\u7b2ci\u5c42\u7684\u8584\u7247\uff08\u4ece\u4e0a\u534a\u7403\u5e95\u90e8\u5411\u9876\u90e8\u6570\uff09\uff0c\u5b83\u7684\u5e95\u9762\u534a\u5f84\u53ef\u4ee5\u7528\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u6c42\u51fari=\u221a{R²-[(i-1)\u00b7R/n]²}
(i=1,2,3...n)\uff0c\u8fd9\u4e00\u5c42\u8584\u7247\u7684\u4f53\u79ef\u5927\u7ea6\u4e3aVi\u2248\u03c0\u00b7ri²\u00b7(R/n)=(\u03c0R³/n)\u00b7[1-(i-1)²/n²] ,
(i=1,2,3...n)
\u534a\u7403\u4f53\u79efV/2=
\u03a3Vi
=
V1+V2+V3+...+Vn
(i=1,2,3...n) ,
(i=1,2,3...n)
=(\u03c0R³/n)\u00b7{1+[1-1²/n²]+[1-2²/n²]+[1-3²/n²]+...+[1-(1-n)²/n²]}
,
(i=1,2,3...n)
=(\u03c0R³/n)\u00b7{n-[(1²+2²+3²+...+n²)/n)]²} ,
(i=1,2,3...n)
\u6ce8\u610f\uff1a(1²+2²+3²+...+n²)/n=1/6\u00b7n\u00b7(n+1)\u00b7(2n+1)
=(\u03c0R³/n)\u00b7{n-(1/n²)\u00b7[n\u00b7(n-1)(2n-1)/6]}
,
(i=1,2,3...n)
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\u5f53n\u8d8b\u5411\u4e8e\u65e0\u9650\u5927\u65f6\uff0c1/n\u8d8b\u5411\u4e8e0
\u6240\u4ee5\u5f53n\u8d8b\u5411\u4e8e\u65e0\u9650\u5927\u65f6\uff0c\u534a\u7403\u4f53\u79ef
V/2=2\u03c0R³/3
\u7403\u4f53\u79efV=4\u03c0R³/3
\u5982\u679c\u4e0d\u77e5\u9053\u7403\u7684\u8868\u9762\u79ef\uff0c\u53ef\u4ee5\u7528\u8fd9\u4e2a\u7ed3\u8bba\u6309\u7167\u65b9\u5f0f1\u53cd\u8fc7\u6765\u53bb\u63a8\u5bfc\u7403\u7684\u8868\u9762\u79ef\u3002
以球的一条直径为轴;球心置于坐标原点;所选直径与Z轴重合.则轴上在距球心z处与轴垂直的截面圆半径为r=√(R^2-z^2).其面积为π·r^2=π·(R^2-z^2). 则以它为底,以dz为高的圆柱形微元体积为 π·(R^2-z^2)dz. 则圆球的体积公式为∫(从-R到R)π·(R^2-z^2)dz =π·R^2(R-(-R))-π·(1/3)·(2R^3) =(4/3)π·R^3
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