高数中关于二重积分的计算2 关于高数(一)中二重积分的计算问题
\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206\u7684\u6709\u5173\u8ba1\u7b97\u3000\u3000\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206\u7684\u8ba1\u7b97\u65b9\u6cd5\u5982\u4e0b\uff1a
\u3000\u3000\u8bbe\u4e8c\u5143\u51fd\u6570z=f(x,y)\u5b9a\u4e49\u5728\u6709\u754c\u95ed\u533a\u57dfD\u4e0a,\u5c06\u533a\u57dfD\u4efb\u610f\u5206\u6210n\u4e2a\u5b50\u57df\u0394\u03b4i(i=1,2,3,\u2026,n)\uff0c\u5e76\u4ee5\u0394\u03b4i\u8868\u793a\u7b2ci\u4e2a\u5b50\u57df\u7684\u9762\u79ef.\u5728\u0394\u03b4i\u4e0a\u4efb\u53d6\u4e00\u70b9(\u03bei,\u03b7i),\u4f5c\u548clim n\u2192+\u221e (n/i=1 \u03a3(\u03bei,\u03b7i)\u0394\u03b4i).\u5982\u679c\u5f53\u5404\u4e2a\u5b50\u57df\u7684\u76f4\u5f84\u4e2d\u7684\u6700\u5927\u503c\u03bb\u8d8b\u4e8e\u96f6\u65f6,\u6b64\u548c\u5f0f\u7684\u6781\u9650\u5b58\u5728,\u5219\u79f0\u6b64\u6781\u9650\u4e3a\u51fd\u6570f(x,y)\u5728\u533a\u57dfD\u4e0a\u7684\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206,\u8bb0\u4e3a\u222b\u222bf(x,y)d\u03b4,\u5373
\u3000\u3000\u222b\u222bf(x,y)d\u03b4=lim n\u2192+\u221e \uff08\u03a3f(\u03bei,\u03b7i)\u0394\u03b4i\uff09
\u3000\u3000\u8fd9\u65f6,\u79f0f(x,y)\u5728D\u4e0a\u53ef\u79ef,\u5176\u4e2df(x,y)\u79f0\u88ab\u79ef\u51fd\u6570,f(x,y)d\u03b4\u79f0\u4e3a\u88ab\u79ef\u8868\u8fbe\u5f0f,d\u03b4\u79f0\u4e3a\u9762\u79ef\u5143\u7d20, D\u79f0\u4e3a\u79ef\u5206\u57df,\u222b\u222b\u79f0\u4e3a\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206\u53f7.
\u3000\u3000\u540c\u65f6\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206\u6709\u7740\u5e7f\u6cdb\u7684\u5e94\u7528\uff0c\u53ef\u4ee5\u7528\u6765\u8ba1\u7b97\u66f2\u9762\u7684\u9762\u79ef\uff0c\u5e73\u9762\u8584\u7247\u91cd\u5fc3\uff0c\u5e73\u9762\u8584\u7247\u8f6c\u52a8\u60ef\u91cf\uff0c\u5e73\u9762\u8584\u7247\u5bf9\u8d28\u70b9\u7684\u5f15\u529b\u7b49\u7b49\u3002\u6b64\u5916\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206\u5728\u5b9e\u9645\u751f\u6d3b\uff0c\u6bd4\u5982\u65e0\u7ebf\u7535\u4e2d\u4e5f\u88ab\u5e7f\u6cdb\u5e94\u7528\u3002
\u6027\u8d28
\u3000\u3000\u6027\u8d281 \uff08\u79ef\u5206\u53ef\u52a0\u6027\uff09 \u51fd\u6570\u548c\uff08\u5dee\uff09\u7684\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206\u7b49\u4e8e\u5404\u51fd\u6570\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206\u7684\u548c\uff08\u5dee\uff09\uff0c\u5373
\u3000\u3000\u222b\u222b[f(x,y)\u00b1g(x,y)]d\u03c3=\u222b\u222bf(x,y)d\u03c3\u00b1\u222b\u222bg(x,y)d\u03c3
\u3000\u3000\u6027\u8d282 \uff08\u79ef\u5206\u6ee1\u8db3\u6570\u6210\uff09 \u88ab\u79ef\u51fd\u6570\u7684\u5e38\u7cfb\u6570\u56e0\u5b50\u53ef\u4ee5\u63d0\u5230\u79ef\u5206\u53f7\u5916\uff0c\u5373
\u3000\u3000\u222b\u222bkf(x,y)d\u03c3=k\u222b\u222bf(x,y)d\u03c3 (k\u4e3a\u5e38\u6570\uff09
\u3000\u3000\u6027\u8d281\u4e0e\u6027\u8d282\u5408\u79f0\u4e3a\u79ef\u5206\u7684\u7ebf\u6027\u6027\u3002
\u3000\u3000\u6027\u8d283 \u5982\u679c\u5728\u533a\u57dfD\u4e0a\u6709f(x,y)\u2266g(x,y),\u5219\u222b\u222bf(x,y)d\u03c3\u2266\u222b\u222bg(x,y)d\u03c3
\u3000\u3000\u63a8\u8bba \u2223\u222b\u222bf(x,y)d\u03c3\u2223\u2266\u222b\u222b\u2223g(x,y\uff09\u2223d\u03c3
\u3000\u3000\u6027\u8d284 \u8bbeM\u548cm\u5206\u522b\u662f\u51fd\u6570f(x,y)\u5728\u6709\u754c\u95ed\u533a\u95f4D\u4e0a\u7684\u6700\u5927\u503c\u548c\u6700\u5c0f\u503c\uff0c\u03c3\u4e3a\u533a\u57dfD\u7684\u9762\u79ef\uff0c
\u3000\u3000\u5219m\u03c3\u2266\u222b\u222bf(x,y)d\u03c3\u2266M\u03c3
\u3000\u3000\u6027\u8d285 \u5982\u679c\u5728\u6709\u754c\u95ed\u533a\u57dfD\u4e0af(x,y)=1, \u03c3\u4e3aD\u7684\u9762\u79ef\uff0c\u5219S\u03c3=\u222b\u222bd\u03c3
\u3000\u3000\u6027\u8d286 \u4e8c\u91cd\u79ef\u5206\u4e2d\u503c\u5b9a\u7406
\u3000\u3000\u8bbe\u51fd\u6570f(x,y)\u5728\u6709\u754c\u95ed\u533a\u95f4D\u4e0a\u8fde\u7eed\uff0c\u03c3\u4e3a\u533a\u57df\u7684\u9762\u79ef\uff0c\u5219\u5728D\u4e0a\u81f3\u5c11\u5b58\u5728\u4e00\u70b9\uff08\u03be\uff0c\u03b7\uff09\uff0c\u4f7f\u5f97
\u3000\u3000\u222b\u222bf(x,y)d\u03c3=f(\u03be\uff0c\u03b7\uff09\u25cf\u03c3
\u5229\u7528\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206\u8ba1\u7b97\u4f53\u79ef\uff0c\u5c31\u662f\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206\u7684\u51e0\u4f55\u610f\u4e49\uff0c\u628a\u7acb\u4f53\u770b\u4f5c\u662f\u4e00\u4e2a\u66f2\u9876\u67f1\u4f53\uff0c\u66f2\u9876\u662f\u4e00\u4e2a\u66f2\u9762z\uff1df(x,y)\uff0c\u5e95\u9762\u662fxy\u5750\u6807\u9762\u4e0a\u7684\u95ed\u533a\u57dfD\uff0c\u5219\u4f53\u79efV\uff1d\u222b\u222b(D)f(x,y)dxdy.
\u56fe\u5f62\u4e0d\u4e00\u5b9a\u8981\u753b\uff0c\u4e3b\u8981\u662f\u5206\u6790\u51fa\u66f2\u9876\u548c\u5e95\u9762.
1\u3001\u67f1\u4f53\u7684\u6bcd\u7ebf\u5e73\u884c\u4e8ez\u8f74\uff0c\u6240\u4ee5\u67f1\u4f53\u88ab\u5e73\u9762z\uff1d0\u548c\u629b\u7269\u9762x^2+y^2=6-z\u622a\u5f97\u7684\u7acb\u4f53\u5c31\u662f\u4e00\u4e2a\u66f2\u9876\u67f1\u4f53\uff0c\u5e95\u9762\u5c31\u662f\u67f1\u4f53\u7684\u51c6\u7ebfx=0\uff0cy=0\uff0cx+y=1\u56f4\u6210\u7684\u4e00\u4e2axy\u5750\u6807\u9762\u4e0a\u7684\u533a\u57dfD\uff0c\u800c\u66f2\u9876\u5c31\u662f\u629b\u7269\u9762z\uff1d6-(x^2+y^2)\uff0c\u6240\u4ee5\u4f53\u79ef
V\uff1d\u222b\u222b(D) [6-(x^2+y^2)]dxdy\uff1d\u222b(0\u21921)dx\u222b(0\u21921-x) [6-(x^2+y^2)]dy\uff1d17/6
2\u3001\u67f1\u4f53\u7684\u6bcd\u7ebf\u5e73\u884c\u4e8ez\u8f74\uff0c\u6240\u4ee5\u67f1\u4f53\u88ab\u5e73\u9762z\uff1d0\u548c2x+3y+z\uff1d6\u622a\u5f97\u7684\u7acb\u4f53\u5c31\u662f\u4e00\u4e2a\u66f2\u9876\u67f1\u4f53\uff0c\u5e95\u9762\u5c31\u662f\u67f1\u4f53\u7684\u51c6\u7ebfx=0\uff0cy=0\uff0cx\uff1d1\uff0cy\uff1d1\u56f4\u6210\u7684\u4e00\u4e2axy\u5750\u6807\u9762\u4e0a\u7684\u533a\u57dfD\uff0c\u800c\u66f2\u9876\u5c31\u662f\u5e73\u9762z\uff1d6-2x-3y\uff0c\u6240\u4ee5\u4f53\u79ef
V\uff1d\u222b\u222b(D) [6-2x-3y]dxdy\uff1d\u222b(0\u21921)dx\u222b(0\u21921) [6-2x-3y]dy\uff1d7/2
先对x后对y进行积分，原式=∫dy∫e^y^2dx，前面上下限分别为1和0，后面上下限分别为y和0。
因后面对x积分，y应看做常数，这样∫e^y^2dx=（e^y^2）*x，再把上下限代入就是=（e^y^2）*y-（e^y^2）*0=（e^y^2）*y。代入原式就是=∫（e^y^2）*ydy=0.5∫（e^y^2）d（y^2）=0.5（e^y^2），再把上下限1,0代入就是（e-1）/2，
不知这样说你能明白不
绛旓細1-sin1 瑙ｉ杩囩▼濡備笅锛绉垎=鈭0鍒1銆昫x鈭攛^2鍒皒銆曘恠inx/x銆慸y =鈭0鍒1銆曘恠inx-x*sinx銆慸x =-cos1+1+鈭0鍒1銆晉dcosx 鐢ㄥ垎閮ㄧН鍒嗘硶寰楀埌 =1-cosx+cos1-鈭0鍒1銆昪osxdx =1-sin1銆
绛旓細绉垎鍖哄煙D:0<=x<=1,0<=y<=2,鏄煩褰紝瀹鐨闈㈢Н蟽=1*2=2.
绛旓細瑙ｏ細鐢遍璁炬潯浠讹紝鏈塂={(x,y)涓-1鈮鈮1锛1鈮 y鈮も垰(2-x²)}銆傝岋紝褰搙=卤1鏃讹紝y=1锛屸埓D鏄痽=1銆亂=卤x涓巟²+y²=2鍥存垚鐨鍖哄煙銆傝x=rcos胃锛寉=rsin胃銆傜敱y=卤x銆亂鈮1锛屾湁蟺/4鈮の糕墹3蟺/4銆傜敱y鈮1鏈塺sin胃鈮1锛屸埓r鈮1/sin胃銆傚張锛寈²+y&#...
绛旓細绗竴姝ワ紝浣滃嚭绉垎鍖哄煙 绗簩姝ワ紝瑙傚療绉垎鍖哄煙锛岀‘瀹氱Н鍒嗘搴忥紝纭畾涓婁笅闄愶紝杩欐槸涓涓厛x鍚巠鐨勭Н鍒 绗笁姝ワ紝璁＄畻
绛旓細=(1/2)鈭(0鈫抯in胃) 鈭(1-r²) d(r²)=(-1/2)鈭(0鈫抯in胃) 鈭(1-r²) d(1-r²)=(-1/3) (1-r²)^(3/2) | (0鈫抯in胃)=(-1/3)[(1-sin²胃)^(3/2) -1]=(-1/3)(cos³胃 -1)鍐绠鍚庨潰鐨 (-1/3)鈭(0鈫捪/2) (...
绛旓細鍥炵瓟锛氶鍏堟湰棰樺尯鍩鍏充簬x杞村绉,y鍏充簬y鏄竴涓鍑芥暟,鍥犳绉垎涓0,鎵浠ヨ绉嚱鏁颁腑鐨y鍙幓鎺夈 鈭埆(x+y)dxdy =鈭埆xdxdy 鐢ㄦ瀬鍧愭爣,x²+y²=2x鐨勬瀬鍧愭爣鏂圭▼涓:r=2cos胃 =鈭玔-蟺/2---->蟺/2] d胃鈭玔0---->2cos胃] rcos胃*rdr =鈭玔-蟺/2---->蟺/2] cos胃d胃鈭...
绛旓細绠鍗璁＄畻涓涓嬪嵆鍙紝绛旀濡傚浘鎵绀
绛旓細😁😁😁
绛旓細绗竴棰樼敤骞夸箟鐨鏋佸潗鏍囪繖涓槸楂樻暟涔︿笂鎵撴槦鍙风殑x=a涔樹綑寮 y=b涔樻寮︿絾鏄繕瑕佷箻涓泤鍏嬫瘮琛屽垪寮忔濡傛瀬鍧愭爣涓箻p涓鏍疯瑙侀珮鏁扮浜旂増p95 绗簩棰樺厛姹傚嚭绉垎鍖哄煙D鍐嶅埄鐢ㄦ洸闈㈢Н鍒嗗嵆鍙
绛旓細1-sin1 瑙ｉ杩囩▼濡備笅锛绉垎=鈭0鍒1銆昫x鈭攛^2鍒皒銆曘恠inx/x銆慸y =鈭0鍒1銆曘恠inx-x*sinx銆慸x =-cos1+1+鈭0鍒1銆晉dcosx 鐢ㄥ垎閮ㄧН鍒嗘硶寰楀埌 =1-cosx+cos1-鈭0鍒1銆昪osxdx =1-sin1銆
