棱长相等的正方体和正四面体的内切球体积之比为? 已知某正四面体的内切球体积是1，则该正四面体的外接球的体积是
\u5df2\u77e5\u4e00\u4e2a\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u4e2d\uff0c\u7b2c\u4e00\u4e2a\u7403\u662f\u5b83\u7684\u5185\u5207\u7403\uff0c\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u7403\u662f\u5b83\u7684\u5916\u63a5\u7403\uff0c\u6c42\u8fd9\u4e24\u4e2a\u7403\u7684\u8868\u9762\u79ef\u4e4b\u6bd4\u53ca\u4f53\u79ef\u4e4b\u6bd4\u89e3\uff1a\u5c06\u6b63\u56db\u9762\u4f53ABCD\uff0c\u8865\u6210\u6b63\u65b9\u4f53\uff0c\u5219\u6b63\u56db\u9762\u4f53ABCD\u7684\u68f1\u4e3a\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u9762\u4e0a\u5bf9\u89d2\u7ebf\uff0c\u8bbe\u6b63\u56db\u9762\u4f53ABCD\u7684\u68f1\u957f\u4e3aa\uff0c\u5219\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u68f1\u957f\u4e3a22a\uff0c\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u5916\u63a5\u7403\uff0c\u5c31\u662f\u4ee5\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u68f1\u4e3a\u9762\u5bf9\u89d2\u7ebf\u7684\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u5916\u63a5\u7403\uff0c\u7403\u7684\u76f4\u5f84\u5c31\u662f\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u5bf9\u89d2\u7ebf\u7684\u957f\uff0c\u6240\u4ee5\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u5bf9\u89d2\u7ebf\u4e3a2R\uff0c\u2235\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u68f1\u957f\u4e3a22a\uff0c\u6240\u4ee53\u00d722a=2R\uff0c\u2234R=64a\uff0e\u6b63\u56db\u9762\u4f53ABCD\u5916\u63a5\u7403\u4e0e\u5185\u5207\u7403\u7684\u4e24\u7403\u7403\u5fc3\u91cd\u5408\uff0c\u8bbe\u4e3aO\uff0e \u8bbeDO\u7684\u5ef6\u957f\u7ebf\u4e0e\u5e95\u9762ABC\u7684\u4ea4\u70b9\u4e3aE\uff0c\u5219DE\u4e3a\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u9ad8\uff0cDE\u22a5\u5e95\u9762ABC\uff0c\u4e14DO=R\uff0cOE=r\uff0cOE=\u6b63\u56db\u9762\u4f53PABC\u5185\u5207\u7403\u7684\u534a\u5f84\uff0e\u8bbe\u6b63\u56db\u9762\u4f53ABCD\u5e95\u9762\u9762\u79ef\u4e3aS\uff0e \u5c06\u7403\u5fc3O\u4e0e\u56db\u9762\u4f53\u76844\u4e2a\u9876\u70b9\u5168\u90e8\u8fde\u63a5\uff0c\u53ef\u4ee5\u5f97\u52304\u4e2a\u5168\u7b49\u7684\u6b63\u4e09\u68f1\u9525\uff0c\u7403\u5fc3\u4e3a\u9876\u70b9\uff0c\u4ee5\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u9762\u4e3a\u5e95\u9762\uff0e\u6bcf\u4e2a\u6b63\u4e09\u68f1\u9525\u4f53\u79efV1=13?S?r \u800c\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u4f53\u79efV2=13?S?\uff08R+r\uff09\u4ece\u800c\u6709\uff0c4?V1=V2\uff0c\u6240\u4ee5\uff0c4?13?S?r=13?S?\uff08R+r\uff09\uff0c\u6240\u4ee5\uff0crR=13\uff0e\u2234\u8fd9\u4e24\u4e2a\u7403\u7684\u8868\u9762\u79ef\u4e4b
\u8bbe\u5185\u5207\u7403\u534a\u5f84\u4e3ar\uff0c\u5916\u63a5\u7403\u534a\u5f84\u4e3aR,R^2=r^2+2r^2=3r^2,\u5f97R=\u221a3r\u3002
\u5185\u5207\u7403\u4f53\u79efV\u5185=4\u03c0r^3/3=1,
\u5916\u63a5\u7403\u4f53\u79efV\u5916=4\u03c0R^3/3=4\u03c0\uff08\u221a3r\uff09^3/3=\uff08\u221a3\uff09^3\u00d74\u03c0r^3/3=\uff08\u221a3\uff09^3\u00d71
=3\u221a3=3\u00d71.732=5.196
\u5373\u5916\u63a5\u7403\u4f53\u79ef\u662f3\u221a3\uff0c\u53735.196
球的体积比就等于3次方内切半径比
求内切球的半径，假设楞长都为1
对于正方体
内切球半径为0.5 这个应该没问题
对于正四面体
可以用体积法求得R（四）
正四面体的体积=底面积×高× （1／3）=底面积×R（四）×（1/3）×4
上面这个式子的几何意义就是把正
四面体分成4相同的小正四面体。
其分割方法是沿着内切球球心和大
正四面体的各顶点的连线
这个思想在中学数学求解内切问题时
时常用到，应该积累下来
剩下的就是计算了
最后算得 比值为6倍的根号6
不妨设棱长为1
显然正方体的内切球半径=1/2
正四面体内切球的半径
=正四面体体积/正四面体表面积*3
=1/3*底面积*高/(底面积*4)*3
=高/4
设正四面体ABCD，底面△BCD的重心为O，则AO为正四面体的高
BO=1/2/cos30°=√3/3
AO=√(AB²-BO²)=√(1-1/3)=√6/3
所以正四面体内切球的半径=AO/4=√6/12
棱长相等的正方体和正四面体的内切球半径之比=1/2:√6/12=√6:1
所以体积之比=6√6:1
正方体的内切球直径等于正方体的棱长，半径R为棱长l的1/2
R=(1/2)l
正四面体的内切球球心即正四面体的中心
连接中心和四个顶点，正四面体可分成四个全等的正三棱锥，正三棱锥和正四面体底面积相同，体积是正四面体的1/4，所以高h1是正四面体高h的1/4
正四面体的内切球球心球心到一个面的距离即内切球半径r就是正三棱锥的高h1
而正四面体的高h由直角三角形的关系可知
h=(√6/3)l
故r=(1/4)h=(√6/12)l
故V(正方体)/V(正四面体)=(R/r)^3=[(1/2)l/(√6/12)]^3=√6
设棱长为2a
那么，
正方体的内切球的半径为 a，体积为 π *a^3
正四面体的内切球半径为√3a/3 ，体积为 π *（√3a/3)^3 =√3 π/3
所以，体积比为： π *a^3 ：（√3a^3 π/3）=√3 ：1
正四面体的内切球半径求法：
http://www.qikan.com.cn/Article/zxsh/zxsh200801/zxsh20080113.html
正方体的内切球的半径求法：
http://zhidao.baidu.com/question/99793775.html
假设正方体的棱长为1，内切球的半径为r1=1/2;
正四面体的棱长也为1，其内切球于四个面分别切于各面的中心，
假设其内切球的半径为r2，利用体积法，以各个面为底面，球心为顶点
的四个三棱锥的体积和等于正四面体的体积，所以得到：
4*（1/3）*（√3/4）*r2=（1/3）*（√3/4）*(√6/3);
所以：r2=√6/12；所以体积比为：（r1:r2)³=(6/√6)³=6√6.
(四面体的体积没有详细写，相信你自己再运算一下，一定会很明白的，祝你学习愉快。)
设棱长为a ，内切球半径均为r
则：
正方体 r1=a/2
正四面体 r2=(a√6)/12
V=4πr³/3
V1/V2=(a/2)³/[(a√6)/12]³ 4π/3已约去
=√6/36
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