圆锥曲线中的几种弦长公式是什么? 圆周曲线的弦长公式是什么
\u5706\u9525\u66f2\u7ebf\u4e2d\u7684\u51e0\u79cd\u5f26\u957f\u516c\u5f0f\u662f\u4ec0\u4e48?\u5f26\u957f\u516c\u5f0f
\u5f26\u957f\u516c\u5f0f\uff0c\u5728\u8fd9\u91cc\u6307\u76f4\u7ebf\u4e0e\u5706\u9525\u66f2\u7ebf\u76f8\u4ea4\u6240\u5f97\u5f26\u957fd\u7684\u516c\u5f0f\u3002
\u516c\u5f0f\u4e00
d
=
\u221a(1+k²)|x1-x2|
=
\u221a(1+k²)[(x1+x2)²
-
4x1x2]
=
\u221a(1+1/k²)|y1-y2|
=
\u221a(1+1/k²)[(y1+y2)²
-
4y1y2]
\u5173\u4e8e\u76f4\u7ebf\u4e0e\u5706\u9525\u66f2\u7ebf\u76f8\u4ea4\u6c42\u5f26\u957f\uff0c\u901a\u7528\u65b9\u6cd5\u662f\u5c06\u76f4\u7ebfy=kx+b\u4ee3\u5165\u66f2\u7ebf\u65b9\u7a0b\uff0c\u5316\u4e3a\u5173\u4e8ex(\u6216\u5173\u4e8ey)\u7684\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff0c\u8bbe\u51fa\u4ea4\u70b9\u5750\u6807\uff0c\u5229\u7528\u97e6\u8fbe\u5b9a\u7406\u53ca\u5f26\u957f\u516c\u5f0f\u221a(1+k²)[(x1+x2)²
-
4x1x2]\u6c42\u51fa\u5f26\u957f\uff0c\u8fd9\u79cd\u6574\u4f53\u4ee3\u6362\uff0c\u8bbe\u800c\u4e0d\u6c42\u7684\u601d\u60f3\u65b9\u6cd5\u5bf9\u4e8e\u6c42\u76f4\u7ebf\u4e0e\u66f2\u7ebf\u76f8\u4ea4\u5f26\u957f\u662f\u5341\u5206\u6709\u6548\u7684\uff0c\u7136\u800c\u5bf9\u4e8e\u8fc7\u7126\u70b9\u7684\u5706\u9525\u66f2\u7ebf\u5f26\u957f\u6c42\u89e3\u5229\u7528\u8fd9\u79cd\u65b9\u6cd5\u76f8\u6bd4\u8f83\u800c\u8a00\u6709\u70b9\u7e41\u7410\uff0c\u5229\u7528\u5706\u9525\u66f2\u7ebf\u5b9a\u4e49\u53ca\u6709\u5173\u5b9a\u7406\u5bfc\u51fa\u5404\u79cd\u66f2\u7ebf\u7684\u7126\u70b9\u5f26\u957f\u516c\u5f0f\u5c31\u66f4\u4e3a\u7b80\u6377\u3002
\u516c\u5f0f\u4e8c
d
=\u221a[(1+k²)\u25b3/a²]
=\u221a(1+k²)\u221a(\u25b3)/|a|
\u5728\u77e5\u9053\u5706\u548c\u76f4\u7ebf\u65b9\u7a0b\u6c42\u5f26\u957f\u65f6\uff0c\u53ef\u5229\u7528\u65b9\u6cd5\u4e8c\uff0c\u5c06\u76f4\u7ebf\u65b9\u7a0b\u4ee3\u5165\u5706\u65b9\u7a0b\uff0c\u6d88\u53bb\u4e00\u672a\u77e5\u6570\uff0c\u5f97\u5230\u4e00\u4e2a\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff0c\u5176\u4e2d\u25b3\u4e3a\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u4e2d\u7684
b²-4ac
\uff0ca\u4e3a\u4e8c\u6b21\u9879\u7cfb\u6570\u3002
\u8865\u9057\uff1a\u516c\u5f0f2\u7b26\u5408\u692d\u5706\u7b49\u5706\u9525\u66f2\u7ebf
\u4e0d\u5149\u662f\u5706\u3002\u516c\u5f0f/|a|\u662f\u5728\u6574\u4e2a\u5e73\u65b9\u6839\u8fd0\u7b97\u540e\u518d\u8fdb\u884c\u7684\u2026\u2026\uff08\u5e73\u65b9\u4e86\u518d\u9664\uff09
2\u5f0f\u53ef\u4ee5\u75311\u63a8\u51fa\uff0c\u5f88\u7b80\u5355\uff0c\u7531\u97e6\u8fbe\u5b9a\u7406\uff0cx1+x2=-b/a
x1x2=c/a
\u5e26\u5165\u518d\u901a\u5206\u5373\u53ef\u2026\u2026
\u5728\u77e5\u9053\u5706\u548c\u76f4\u7ebf\u65b9\u7a0b\u6c42\u5f26\u957f\u65f6\u4e5f\u53ef\u4ee5\u7528\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\uff08\u70b9\u5230\u76f4\u7ebf\u8ddd\u79bb\u3001\u534a\u5f84\u3001\u534a\u5f26\uff09\u3002
\u5f26\u957f\u516c\u5f0f
\u5f26\u957f\u516c\u5f0f\uff0c\u5728\u8fd9\u91cc\u6307\u76f4\u7ebf\u4e0e\u5706\u9525\u66f2\u7ebf\u76f8\u4ea4\u6240\u5f97\u5f26\u957fd\u7684\u516c\u5f0f\u3002
\u516c\u5f0f\u4e00
d = \u221a(1+k²)|x1-x2| = \u221a(1+k²)[(x1+x2)² - 4x1x2] = \u221a(1+1/k²)|y1-y2| = \u221a(1+1/k²)[(y1+y2)² - 4y1y2]
\u5173\u4e8e\u76f4\u7ebf\u4e0e\u5706\u9525\u66f2\u7ebf\u76f8\u4ea4\u6c42\u5f26\u957f\uff0c\u901a\u7528\u65b9\u6cd5\u662f\u5c06\u76f4\u7ebfy=kx+b\u4ee3\u5165\u66f2\u7ebf\u65b9\u7a0b\uff0c\u5316\u4e3a\u5173\u4e8ex(\u6216\u5173\u4e8ey)\u7684\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff0c\u8bbe\u51fa\u4ea4\u70b9\u5750\u6807\uff0c\u5229\u7528\u97e6\u8fbe\u5b9a\u7406\u53ca\u5f26\u957f\u516c\u5f0f\u221a(1+k²)[(x1+x2)² - 4x1x2]\u6c42\u51fa\u5f26\u957f\uff0c\u8fd9\u79cd\u6574\u4f53\u4ee3\u6362\uff0c\u8bbe\u800c\u4e0d\u6c42\u7684\u601d\u60f3\u65b9\u6cd5\u5bf9\u4e8e\u6c42\u76f4\u7ebf\u4e0e\u66f2\u7ebf\u76f8\u4ea4\u5f26\u957f\u662f\u5341\u5206\u6709\u6548\u7684\uff0c\u7136\u800c\u5bf9\u4e8e\u8fc7\u7126\u70b9\u7684\u5706\u9525\u66f2\u7ebf\u5f26\u957f\u6c42\u89e3\u5229\u7528\u8fd9\u79cd\u65b9\u6cd5\u76f8\u6bd4\u8f83\u800c\u8a00\u6709\u70b9\u7e41\u7410\uff0c\u5229\u7528\u5706\u9525\u66f2\u7ebf\u5b9a\u4e49\u53ca\u6709\u5173\u5b9a\u7406\u5bfc\u51fa\u5404\u79cd\u66f2\u7ebf\u7684\u7126\u70b9\u5f26\u957f\u516c\u5f0f\u5c31\u66f4\u4e3a\u7b80\u6377\u3002
\u516c\u5f0f\u4e8c
d =\u221a[(1+k²)\u25b3/a²] =\u221a(1+k²)\u221a(\u25b3)/|a|
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2\u5f0f\u53ef\u4ee5\u75311\u63a8\u51fa\uff0c\u5f88\u7b80\u5355\uff0c\u7531\u97e6\u8fbe\u5b9a\u7406\uff0cx1+x2=-b/a x1x2=c/a \u5e26\u5165\u518d\u901a\u5206\u5373\u53ef\u2026\u2026
\u5728\u77e5\u9053\u5706\u548c\u76f4\u7ebf\u65b9\u7a0b\u6c42\u5f26\u957f\u65f6\u4e5f\u53ef\u4ee5\u7528\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\uff08\u70b9\u5230\u76f4\u7ebf\u8ddd\u79bb\u3001\u534a\u5f84\u3001\u534a\u5f26\uff09\u3002
弦长公式，在这里指直线与圆锥曲线相交所得弦长d的公式。
公式一
d = √(1+k²)|x1-x2| = √(1+k²)[(x1+x2)² - 4x1x2] = √(1+1/k²)|y1-y2| = √(1+1/k²)[(y1+y2)² - 4y1y2]
关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式√(1+k²)[(x1+x2)² - 4x1x2]求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。
公式二
d =√[(1+k²)△/a²] =√(1+k²)√(△)/|a|
在知道圆和直线方程求弦长时，可利用方法二，将直线方程代入圆方程，消去一未知数，得到一个一元二次方程，其中△为一元二次方程中的 b²-4ac ，a为二次项系数。
补遗：公式2符合椭圆等圆锥曲线 不光是圆。公式/|a|是在整个平方根运算后再进行的……（平方了再除）
2式可以由1推出，很简单，由韦达定理，x1+x2=-b/a x1x2=c/a 带入再通分即可……
在知道圆和直线方程求弦长时也可以用勾股定理（点到直线距离、半径、半弦）。
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