所有实对称矩阵都可正交对角化吗 线性代数三个问题 1.是不是所有的矩阵都可对角化 2.是不是...
\u4e3a\u4ec0\u4e48\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u7684\u76f8\u4f3c\u5bf9\u89d2\u5316\u8981\u7528\u6b63\u4ea4\u77e9\u9635\uff1f\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u4e5f\u53ef\u4ee5\u7528\u4e00\u822c\u7684\u7531\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u7ec4\u6210\u7684\u975e\u5947\u5f02\u9635\u505a\u5bf9\u89d2\u5316\uff0c\u53ea\u4e0d\u8fc7\u5b83\u6709\u7279\u6b8a\u7684\u6027\u8d28\uff08\u5bf9\u79f0\uff09\uff0c\u56e0\u6b64\u6211\u4eec\u5c31\u53ef\u4ee5\u8003\u8651\u7279\u6b8a\u7684\u5bf9\u89d2\u5316\uff0c\u4e5f\u5c31\u662f\u6b63\u4ea4\u76f8\u4f3c\u5bf9\u89d2\u5316\u3002
\u8fd9\u4e48\u505a\u6709\u597d\u5904\uff1a\u6b63\u4ea4\u77e9\u9635\u7684\u9006\u77e9\u9635\u5f88\u5bb9\u6613\u6c42\uff0c\u5c31\u662f\u5b83\u7684\u8f6c\u7f6e\uff0c\u4e0d\u50cf\u4e00\u822c\u7684\u53ef\u9006\u9635\u9700\u8981\u534a\u5929\u624d\u80fd\u6c42\u51fa\u6765\u3002\u5982\u679c\u662f\u4e00\u4e2a1000*1000\u7684\u77e9\u9635\u6c42\u9006\uff0c\u90a3\u8981\u591a\u957f\u65f6\u95f4\u624d\u80fd\u505a\u5b8c\uff1f\u4f46\u6b63\u4ea4\u77e9\u9635\u5c31\u592a\u5bb9\u6613\u4e86\uff0c\u53ea\u8981\u8f6c\u7f6e\u4e00\u4e0b\u5c31\u884c\u4e86\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u6b63\u4ea4\u77e9\u9635\u4ece\u5185\u79ef\u81ea\u7136\u5f15\u51fa\u7684\uff0c\u6240\u4ee5\u5bf9\u4e8e\u590d\u6570\u7684\u77e9\u9635\u8fd9\u5bfc\u81f4\u4e86\u5f52\u4e00\u8981\u6c42\u3002\u6b63\u4ea4\u77e9\u9635\u4e0d\u4e00\u5b9a\u662f\u5b9e\u77e9\u9635\u3002\u5b9e\u6b63\u4ea4\u77e9\u9635\uff08\u5373\u8be5\u6b63\u4ea4\u77e9\u9635\u4e2d\u6240\u6709\u5143\u90fd\u662f\u5b9e\u6570\uff09\u53ef\u4ee5\u770b\u505a\u662f\u4e00\u79cd\u7279\u6b8a\u7684\u9149\u77e9\u9635\uff0c\u4f46\u4e5f\u5b58\u5728\u4e00\u79cd\u590d\u6b63\u4ea4\u77e9\u9635\uff0c\u8fd9\u79cd\u590d\u6b63\u4ea4\u77e9\u9635\u4e0d\u662f\u9149\u77e9\u9635\u3002
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1\u3001\u4e0d\u662f\u3002n\u9636\u65b9\u9635\u6709n\u4e2a\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\uff0c\u8fd9\u4e2a\u65b9\u9635\u624d\u80fd\u5bf9\u89d2\u5316\uff1b\u5176\u4e2d\uff0c\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u4e00\u5b9a\u80fd\u5bf9\u89d2\u5316\u3002
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设A是一个n阶实对称矩阵，那么可以找到n阶正交矩阵T，使得（T的逆阵）AT为对角矩阵。
证明：当n=1时结论显然成立。现在证明若对n-1阶实对称矩阵成立，则 对n阶实对称矩阵也成立。设シ是A的一个特征值（n阶矩阵一定有n个特征值（计数重复的）），设α是A 的一个特征向量（α是列向量）。（（α的转置）*A）的转置=Aα=シα。因为特征向量的非零倍数仍然是特征向量，所以只要把α的每一个元都除以イ，其中イ的平方=（α的转置）*α，就使得α为单位向量（所谓单位向量就是（α的转置）*α=1）。显然所有的单位向量有无数个，且显然可以找到足够多的列单位向量，使得他们与α的内积为0且他们两两内积等于0，因为正交矩阵的充要条件是列（行）向量两两正交且都是单位向量，又因为对方阵而言若AB=E则BA=E，故可以 以α为第一列人工写出一个正交矩阵Q，（所谓正交矩阵就是（Q的转置）*Q=Q*(Q的转置)=E）。由（（α的转置）*A）的转置=Aα=シα 得（Q的转置）A的第一行是（シα）的转置，于是 （Q的转置）AQ的第1行第1列处是シ（α的转置）α= シ，还可以推出（Q的转置）AQ的第一列除了第一行以外都是0（至于这是为啥实在不方便打字，读者可以自己算一下，提示一下 设t是Q的元，tij*t+t..*t..+t..*t..+t..*t..时若每一项的角标都不完全一样，那么这些加起来就是0）。因为Q是正交矩阵，（（Q的逆阵）AQ）的转置=（Q的转置）（A的转置）（Q的逆阵的转置）=（Q的逆阵）AQ，所以（Q的逆阵）AQ也是对称矩阵，所以它第一行除了第一列以外也都是0，而除了第一行第一列剩下的一大块矩阵还是一个对称矩阵，所以最后可以反复进行这个过程整成对角矩阵。证毕
然而正交矩阵一定是可逆矩阵，对方阵而言可逆等价于满秩，乘以一个方阵满秩方阵以后秩不变，这就证明了你的实对称矩阵一定可以相似对角化
是的，这就是实对称阵的谱分解定理
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