实对称矩阵的行列式的值为零吗 关于实对称矩阵的行列式计算
\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u884c\u5217\u5f0f\u7684\u503c\u600e\u4e48\u6c42\uff0c\u6c42\u65b9\u6cd5\uff01\uff01\uff01\uff01\uff01\uff01\u89e3: |A-\u03bbE|=
|2-\u03bb 2 -2|
|2 5-\u03bb -4|
|-2 -4 5-\u03bb|
r3+r2 (\u6d880\u7684\u540c\u65f6, \u8fd8\u80fd\u63d0\u51fa\u516c\u56e0\u5b50, \u8fd9\u662f\u6700\u597d\u7684\u7ed3\u679c)
|2-\u03bb 2 -2|
|2 5-\u03bb -4|
|0 1-\u03bb 1-\u03bb|
c2-c3
|2-\u03bb 4 -2|
|2 9-\u03bb -4|
|0 0 1-\u03bb|
= (1-\u03bb)[(2-\u03bb)(9-\u03bb)-8] (\u6309\u7b2c3\u884c\u5c55\u5f00, \u518d\u7528\u5341\u5b57\u76f8\u4e58\u6cd5)
= (1-\u03bb)(\u03bb^2-11\u03bb+10)
= (10-\u03bb)(1-\u03bb)^2.
\u5982\u679c\u6709n\u9636\u77e9\u9635A\uff0c\u5176\u77e9\u9635\u7684\u5143\u7d20\u90fd\u4e3a\u5b9e\u6570\uff0c\u4e14\u77e9\u9635A\u7684\u8f6c\u7f6e\u7b49\u4e8e\u5176\u672c\u8eab\uff08aij=aji\uff09(i,j\u4e3a\u5143\u7d20\u7684\u811a\u6807)\uff0c\u800c\u4e14\u8be5\u77e9\u9635\u5bf9\u5e94\u7684\u7279\u5f81\u503c\u5168\u90e8\u4e3a\u5b9e\u6570\uff0c\u5219\u79f0A\u4e3a\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u3002
\u4e3b\u8981\u6027\u8d28\uff1a
1.\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635A\u7684\u4e0d\u540c\u7279\u5f81\u503c\u5bf9\u5e94\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u662f\u6b63\u4ea4\u7684\u3002
2.\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635A\u7684\u7279\u5f81\u503c\u90fd\u662f\u5b9e\u6570\uff0c\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u90fd\u662f\u5b9e\u5411\u91cf\u3002
3.n\u9636\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635A\u5fc5\u53ef\u5bf9\u89d2\u5316\uff0c\u4e14\u76f8\u4f3c\u5bf9\u89d2\u9635\u4e0a\u7684\u5143\u7d20\u5373\u4e3a\u77e9\u9635\u672c\u8eab\u7279\u5f81\u503c\u3002
4.\u82e5\u03bb0\u5177\u6709k\u91cd\u7279\u5f81\u503c\u3000\u5fc5\u6709k\u4e2a\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\uff0c\u6216\u8005\u8bf4\u5fc5\u6709\u79e9r(\u03bb0E-A)=n-k\uff0c\u5176\u4e2dE\u4e3a\u5355\u4f4d\u77e9\u9635\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u628a\u4e00\u4e2am\u00d7n\u77e9\u9635\u7684\u884c\uff0c\u5217\u4e92\u6362\u5f97\u5230\u7684n\u00d7m\u77e9\u9635,\u79f0\u4e3aA\u7684\u8f6c\u7f6e\u77e9\u9635,\u8bb0\u4e3aA'\u6216AT\u3002
\u77e9\u9635\u8f6c\u7f6e\u7684\u8fd0\u7b97\u5f8b(\u5373\u6027\u8d28)\uff1a
1.(A')'=A
2.(A+B)'=A'+B'
3.(kA)'=kA'(k\u4e3a\u5b9e\u6570)
4.(AB)'=B'A'
\u82e5\u77e9\u9635A\u6ee1\u8db3\u6761\u4ef6A=A'\uff0c\u5219\u79f0A\u4e3a\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u3002\u7531\u5b9a\u4e49\u77e5\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u4e00\u5b9a\u662f\u65b9\u9635\uff0c\u800c\u4e14\u4f4d\u4e8e\u4e3b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u5bf9\u79f0\u4f4d\u7f6e\u4e0a\u7684\u5143\u7d20\u5fc5\u5bf9\u5e94\u76f8\u7b49\uff0c\u5373aij=aji\u5bf9\u4efb\u610fi,j\u90fd\u6210\u7acb\u3002
\uff081\uff09\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635
\u5728\u4e00\u4e2an\u9636\u65b9\u9635A\u4e2d\uff0c\u82e5\u5143\u7d20\u6ee1\u8db3\u4e0b\u8ff0\u6027\u8d28\uff1a
\u5219\u79f0A\u4e3a\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u3002
\uff082\uff09\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u7684\u538b\u7f29\u5b58\u50a8
\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u4e2d\u7684\u5143\u7d20\u5173\u4e8e\u4e3b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u5bf9\u79f0\uff0c\u6545\u53ea\u8981\u5b58\u50a8\u77e9\u9635\u4e2d\u4e0a\u4e09\u89d2\u6216\u4e0b\u4e09\u89d2\u4e2d\u7684\u5143\u7d20\uff0c\u8ba9\u6bcf\u4e24\u4e2a\u5bf9\u79f0\u7684\u5143\u7d20\u5171\u4eab\u4e00\u4e2a\u5b58\u50a8\u7a7a\u95f4\u3002\u8fd9\u6837\uff0c\u80fd\u8282\u7ea6\u8fd1\u4e00\u534a\u7684\u5b58\u50a8\u7a7a\u95f4\u3002
\u2460\u6309\u884c\u4f18\u5148\u987a\u5e8f\u5b58\u50a8\u4e3b\u5bf9\u89d2\u7ebf\uff08\u5305\u62ec\u5bf9\u89d2\u7ebf\uff09\u4ee5\u4e0b\u7684\u5143\u7d20
\u5373\u6309
\u6b21\u5e8f\u5b58\u653e\u5728\u4e00\u4e2a\u5411\u91cfsa[0...n(n+1)/2-1]\u4e2d\uff08\u4e0b\u4e09\u89d2\u77e9\u9635\u4e2d\uff0c\u5143\u7d20\u603b\u6570\u4e3an(n+1)/2\uff09\u3002
\u5176\u4e2d\uff1a
sa[0]=a0,0
sa[1]=a1,0
\u2026\u2026
sa[n(n+1)/2-1]=an-1,n-1
\u2461\u5143\u7d20aij\u7684\u5b58\u653e\u4f4d\u7f6e
aij\u5143\u7d20\u524d\u6709i\u884c\uff08\u4ece\u7b2c0\u884c\u5230\u7b2ci-1\u884c\uff09\uff0c\u4e00\u5171\u6709\uff1a
1+2+\u2026+i=i\u00d7(i+1)/2\u4e2a\u5143\u7d20\u3002
\u5728\u7b2ci\u884c\u4e0a\uff0c
\u4e4b\u524d\u6070\u6709j\u4e2a\u5143\u7d20\uff0c\u5373ai0,ai1,\u2026,ai,j-1 \uff0c\u56e0\u6b64\u6709\uff1a
sa[i\u00d7(i+1)/2+j]=aij
\u2462aij\u548csa[k]\u4e4b\u95f4\u7684\u5bf9\u5e94\u5173\u7cfb\uff1a
\u82e5i\u2265j\uff0ck=i\u00d7(i+1)/2+j0\u2264k<n(n+1)/2
\u82e5i<j\uff0ck=j\u00d7(j+1)/2+i0\u2264k<n(n+1)/2
\u4ee4I=max(i\uff0cj)\uff0cJ=min(i\uff0cj)\uff0c\u5219k\u548ci\uff0cj\u7684\u5bf9\u5e94\u5173\u7cfb\u53ef\u7edf\u4e00\u4e3a\uff1a
k=i\u00d7(i+1)/2+j0\u2264k<n(n+1)/2
\uff083\uff09\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u7684\u5730\u5740\u8ba1\u7b97\u516c\u5f0f
LOC(aij)=LOC(sa[k])
=LOC(sa[0])+k\u00d7d=LOC(sa[0])+[I\u00d7(I+1)/2+J]\u00d7d
\u901a\u8fc7\u4e0b\u6807\u53d8\u6362\u516c\u5f0f\uff0c\u80fd\u7acb\u5373\u627e\u5230\u77e9\u9635\u5143\u7d20aij\u5728\u5176\u538b\u7f29\u5b58\u50a8\u8868\u793asa\u4e2d\u7684\u5bf9\u5e94\u4f4d\u7f6ek\u3002\u56e0\u6b64\u662f\u968f\u673a\u5b58\u53d6\u7ed3\u6784\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1---\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635
\u6c42\u7279\u5f81\u503c\u65f6\u7684\u77e9\u9635\u56e0\u4e3a\u90fd\u542b\u6709\u03bb\uff0c\u4e0d\u592a\u53ef\u80fd\u5316\u4e3a\u4e0b\u4e09\u89d2\u77e9\u9635\u3002
\u56e0\u4e3a\u5982\u679c\u7528\u5316\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u65b9\u6cd5\u6765\u89e3\u51b3\u7684\u8bdd\uff0c\u5c31\u6d89\u53ca\u5230\u7ed9\u67d0\u884c\u51cf\u53bb\u4e00\u4e0b\u4e00\u884c\u7684\uff084-\u03bb\uff09\u5206\u4e4b\u51e0\u7684\u500d\u6570\uff0c\u6b64\u65f6\u4f60\u4e0d\u77e5\u9053\u03bb\u662f\u5426=4\u3002
\u6240\u4ee5\u8fd9\u79cd\u53d8\u6362\u662f\u4e0d\u5bf9\u7684\uff0c\u4e00\u822c\u90fd\u662f\u628a\u67d0\u4e00\u5217\u6216\u8005\u884c\u5212\u63892\u9879\uff0c\u5269\u4e0b\u4e00\u9879\u4e0d\u4e3a0\u7684\u4e14\u542b\u03bb\u7684\u9879\uff0c\u5c06\u884c\u5217\u5f0f\u6309\u5217\u6216\u8005\u6309\u884c\u5c55\u5f00\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u7684\u884c\u5217\u5f0f\u8ba1\u7b97\u65b9\u6cd5\uff1a
1\u3001\u964d\u9636\u6cd5
\u6839\u636e\u884c\u5217\u5f0f\u7684\u7279\u70b9\uff0c\u5229\u7528\u884c\u5217\u5f0f\u6027\u8d28\u628a\u67d0\u884c\uff08\u5217\uff09\u5316\u6210\u53ea\u542b\u4e00\u4e2a\u975e\u96f6\u5143\u7d20\uff0c\u7136\u540e\u6309\u8be5\u884c\uff08\u5217\uff09\u5c55\u5f00\u3002\u5c55\u5f00\u4e00\u6b21\uff0c\u884c\u5217\u5f0f\u964d\u4f4e\u4e00\u9636\uff0c\u5bf9\u4e8e\u9636\u6570\u4e0d\u9ad8\u7684\u6570\u5b57\u884c\u5217\u5f0f\u672c\u6cd5\u6709\u6548\u3002
2\u3001\u5229\u7528\u8303\u5fb7\u8499\u884c\u5217\u5f0f
\u6839\u636e\u884c\u5217\u5f0f\u7684\u7279\u70b9\uff0c\u9002\u5f53\u53d8\u5f62\uff08\u5229\u7528\u884c\u5217\u5f0f\u7684\u6027\u8d28\u2014\u2014\u5982\uff1a\u63d0\u53d6\u516c\u56e0\u5f0f\uff1b\u4e92\u6362\u4e24\u884c\uff08\u5217\uff09\uff1b\u4e00\u884c\u4e58\u4ee5\u9002\u5f53\u7684\u6570\u52a0\u5230\u53e6\u4e00\u884c\uff08\u5217\uff09\u53bb\uff0c\u628a\u6240\u6c42\u884c\u5217\u5f0f\u5316\u6210\u5df2\u77e5\u7684\u6216\u7b80\u5355\u7684\u5f62\u5f0f\u3002\u5176\u4e2d\u8303\u5fb7\u8499\u884c\u5217\u5f0f\u5c31\u662f\u4e00\u79cd\u3002\u8fd9\u79cd\u53d8\u5f62\u6cd5\u662f\u8ba1\u7b97\u884c\u5217\u5f0f\u6700\u5e38\u7528\u7684\u65b9\u6cd5\u3002
3\u3001\u7efc\u5408\u6cd5
\u8ba1\u7b97\u884c\u5217\u5f0f\u7684\u65b9\u6cd5\u5f88\u591a\uff0c\u4e5f\u6bd4\u8f83\u7075\u6d3b\uff0c\u603b\u7684\u539f\u5219\u662f\uff1a\u5145\u5206\u5229\u7528\u6240\u6c42\u884c\u5217\u5f0f\u7684\u7279\u70b9\uff0c\u8fd0\u7528\u884c\u5217\u5f0f\u6027\u8d28\u53ca\u5e38\u7528\u7684\u65b9\u6cd5\uff0c\u6709\u65f6\u7efc\u5408\u8fd0\u7528\u4ee5\u4e0a\u65b9\u6cd5\u53ef\u4ee5\u66f4\u7b80\u4fbf\u7684\u6c42\u51fa\u884c\u5217\u5f0f\u7684\u503c\uff1b\u6709\u65f6\u4e5f\u53ef\u7528\u591a\u79cd\u65b9\u6cd5\u6c42\u51fa\u884c\u5217\u5f0f\u7684\u503c\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u884c\u5217\u5f0f
不一定，例如1001这个矩阵就是个简单的实对称矩阵，其转置矩阵等于原矩阵，其对应的行列式等于1，其实所有单位矩阵E，都是对称矩阵。
矩阵（Matrix）指在数学中，按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵，由19世纪英国数学家凯利首先提出。
它是高等代数学中的常见工具，其运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合，可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。
可以为0
比如101、010、101这是个实对称矩阵，他的行列式可以等于零，而且实对称的特征值可以是重根，但是一定对应重数的特征向量，因为实对称矩阵一定可以相似对角化
当然不一定
例如
1 0
0 1
这个矩阵就是个简单的实对称矩阵，其转置矩阵等于原矩阵
其对应的行列式等于1
其实所有单位矩阵E，都是对称矩阵。
绛旓細姝ｄ氦鐭╅樀鏄瘡涓涓垪锛堣锛夊悜閲忛兘鏄崟浣嶅悜閲忎笖涓や袱浜掔浉姝ｄ氦鐨勭煩闃碉紝涔熷氨鏄疉AT=E.鍏朵腑T浠ｈ〃杞疆锛孍涓哄崟浣嶉樀銆侫鐨勮鍒楀紡鍊涓涓0鏄繀瑕佹潯浠讹紝浣嗕笉鏄厖鍒嗘潯浠讹紝鐢卞间笉涓0鏃犳硶寰楀埌A鏄浜鐭╅樀鐨缁撹銆
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