求二维连续型随机变量的概率密度,这道题为什么还要在1处进行分段?谢谢 二维连续型随机变量概率密度的公式,不懂,求解?
\u5173\u4e8e\u4e8c\u7ef4\u8fde\u7eed\u578b\u968f\u673a\u53d8\u91cf\u7684\u6982\u7387\u5bc6\u5ea6 \u91cc\u9762\u7684\u4e00\u4e2a\u7b26\u53f7\u3002\u3002\u4f60\u5e94\u8be5\u77e5\u9053\u5fae\u79ef\u5206\u4e2d\u7684dy/dx\u662f\u6c42\u5fae\u5206\u7684\u610f\u601d\u5427\uff1f
\u4e0a\u9762\u8fd9\u4e2a\u7b26\u53f7\u8868\u793a\u6c42\u504f\u5bfc\uff08\u4e0b\u9762\u6211\u7528a\u6765\u4ee3\u66ff\u5427\uff09\uff0c\u50cfaF/ax\u4e00\u822c\u5ff5\u6210"\u504fF\u504fx"\uff0c\u6216\u628a"\u504f\u201c\u6362\u6210"partial"
\u504f\u5bfc\u6570\u7684\u5b9a\u4e49\uff08\u4ee5\u4e8c\u5143\u51fd\u6570\u4e3e\u4f8b\uff09\uff1a\u8bbeF = F(x,y)\uff0caF/ax \uff1dlim (F(x+t, y) - F(x,y))/t
a^2F/axay \uff1d a/ax(aF/ay)\uff0c\u5373F\u5bf9y\u6c42\u4e86\u4e00\u6b21\u504f\u5bfc\u540e\uff0c\u4ecd\u7136\u662f\u4e00\u4e2a\u5173\u4e8ex,y\u7684\u4e8c\u5143\u51fd\u6570\uff0c\u8fd9\u4e2a\u51fd\u6570\u518d\u5bf9x\u6c42\u504f\u5bfc\uff0c\u76f8\u5bf9\u4e8e\u4e00\u5143\u51fd\u6570\u4e8c\u9636\u5bfc\u7684\u6982\u5ff5\u3002
\u4e3e\u4e2a\u4f8b\u5b50\uff1aF(x,y) = x^2 + y^2 \uff0b xy
\u5bf9x\u6c42\u504f\u5bfc\u65f6\uff0c\u548c\u4e00\u822c\u7684\u6c42\u5bfc\u4e00\u6837\uff0c\u4f46\u8981\u628ay\u5f53\u6210\u5e38\u6570\uff0c\u5373\uff1a
aF/ax = 2x + y
\u540c\u7406\uff0c aF/ay = 2y + x
a^2F/axay = 1
\u66f4\u591a\u7684\u53ef\u4ee5\u67e5\u9605 \u591a\u5143\u5fae\u79ef\u5206 \u7684\u5185\u5bb9\u3002
\u4ee3\u8868\u7684\u662fFx\u5148\u5bf9x\u6c42\u504f\u5bfc\u518d\u5bf9y\u6c42\u504f\u5bfc\uff0c\u56e0\u4e3a\u4e8c\u4f4d\u8fde\u7eed\u578b\u968f\u673a\u53d8\u91cf\u7684\u5bc6\u5ea6fx\u6c42\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206\u5f97\u5230\u5176\u5206\u5e03\u51fd\u6570Fx\uff0c\u540c\u65f6\u56e0\u4e3ax\u548cy\u90fd\u662f\u53d8\u91cf\uff0c\u6240\u4ee5Fx\u5df2\u77e5\u65f6\u5019\u5bf9x\u518d\u5bf9y\u6c42\u504f\u5bfc\u6570\u5c31\u5f97\u5230\u5bc6\u5ea6fx\u4e86\u3002\u624b\u6253\uff0c\u671b\u91c7\u7eb3\uff0c\u3002
这是由于在Z<1和Z>1时的积分区域的显著不同造成的。注意仔细观察图片里面的积分区域。当Z<=1时,积分区域为X+Y=Z与矩形截得的左下角的小三角形,实际上一个区域是由X=0,Y=0以及X+Y=Z围成的。很容易就可求得其面积。
而当Z>=1时,积分区域为X+Y=Z与矩形截得的左下角的部分,这个区域不再是三角形而是一个由5边形围成的区域。从解法上看,要求这个区域的面积,我们可以用矩形的面积-右上角小三角形的面积。
图片真清楚。
显然 X+Y=1是分界线,在矩形区域中点的概率密度才非0,所以其它不用关心,X+Y=1正好是上述矩形区域的对角线,在这条直线左边(X+Y<1)的和右边(X+Y>1)的在计算上明显不同,就如例题中的求解。
绛旓細鍏朵腑锛f(U,V)鏄(X,Y)鐨勮仈鍚堟鐜囧瘑搴﹀嚱鏁帮紝鍙互閫氳繃鍙橀噺鍙樻崲娉曚粠f(X,Y)姹傝В寰楀埌銆傜患涓婃墍杩帮紝瀵逛簬浜岀淮杩炵画鍨嬮殢鏈哄彉閲廥鍜孻锛屽叾鑱斿悎姒傜巼瀵嗗害鍑芥暟涓篺(x,y)锛屽畾涔夊畠浠殑鍜屽嚱鏁颁负Z=X+Y锛岄珮鍑芥暟涓篧=X/Y锛屽垯Z鐨勬鐜囧瘑搴﹀嚱鏁颁负锛歠_Z(z) = 鈭玣(x, y)dy, 0 < z < 鈭 W鐨勬鐜囧瘑搴﹀嚱鏁颁负...
绛旓細P(Z=3)=P(x=1,y=2)=0.05
绛旓細浜岀淮杩炵画鍨嬮殢鏈哄彉閲(X,Y)鐨勮仈鍚堟鐜囧瘑搴︿负1/6蟺銆傚湪鏁板涓紝杩炵画鍨嬮殢鏈哄彉閲忕殑姒傜巼瀵嗗害鍑芥暟锛堝湪涓嶈嚦浜庢贩娣嗘椂鍙互绠绉颁负瀵嗗害鍑芥暟锛夋弿杩拌繖涓殢鏈哄彉閲忕殑杈撳嚭鍊硷紝鍦ㄦ煇涓‘瀹氱殑鍙栧肩偣闄勮繎鐨勫彲鑳芥с傝岄殢鏈哄彉閲忕殑鍙栧艰惤鍦ㄦ煇涓尯鍩熶箣鍐呯殑姒傜巼鍒欎负姒傜巼瀵嗗害鍑芥暟鍦ㄨ繖涓尯鍩熶笂鐨勭Н鍒嗐傚綋姒傜巼瀵嗗害鍑芥暟瀛樺湪鐨勬椂鍊欙紝绱Н...
绛旓細璁$畻鍏紡涓篍(XY)=鈭埆xyf(x锛寉)dxdy锛岀Н鍒嗚寖鍥存槸鏁翠釜骞抽潰锛屽叾涓璮(x,y)鏄仈鍚堟鐜囧瘑搴︺備簩缁撮殢鏈哄彉閲( X锛孻)鐨勬ц川涓嶄粎涓嶺 銆乊 鏈夊叧,鑰屼笖杩樹緷璧栦簬杩欎袱涓殢鏈哄彉閲忕殑鐩镐簰鍏崇郴銆傚洜姝わ紝閫愪釜鍦版潵鐮旂┒X鎴朰鐨勬ц川鏄笉澶熺殑锛岃繕闇灏嗭紙X锛孻锛変綔涓轰竴涓暣浣撴潵鐮旂┒銆傝E鏄竴涓殢鏈鸿瘯楠岋紝瀹冪殑鏍锋湰绌洪棿鏄...
绛旓細+ x²)∂F(x, y)/∂y = (1 + arctan(2y)) / 2 鍐嶅涓婅堪涓や釜鍋忓鏁拌繘琛屾眰瀵硷紝鎴戜滑寰楀埌锛∂²F(x, y)/∂x∂y = 1 / (2(1 + x²))鍥犳锛浜岀淮闅忔満鍙橀噺(X, Y)鐨勬鐜囧瘑搴鍑芥暟涓猴細f(x, y) = 1 / (2(1 + x²))
绛旓細浜岀淮闅忔満鍙橀噺锛圶锛孻锛鐨勬鐜囧瘑搴鍑芥暟涓篺锛坸锛寉锛夛紳6x锛0锛渪锛測锛1 0鍏朵粬锛孍XEY涓0.375銆侲锛坸锛=鈭 (+鈭,-鈭)x (+鈭,-鈭)f锛坸锛寉锛塪ydx = 鈭(1,0)x( 鈭(1,x)6xdy)dx = 6x鈭(1,0)x(1-x)dx =0.5 E锛圷锛=鈭 (+鈭,-鈭)y (+鈭,-鈭)f锛坸锛寉锛塪xdy = ...
绛旓細璇︾粏杩囩▼濡傚浘rt鎵绀衡︹﹀笇鏈涜兘甯埌浣犺В鍐充綘蹇冧腑鐨勯棶棰
绛旓細鍗冲彧鏈夐潰绉紝娌℃湁浣撶Н銆浜岀淮鏄钩闈㈡妧鏈殑涓绉嶏紝渚嬪鏅氱殑骞抽潰鍔ㄦ极锛岀О涔嬩负浜岀淮鍔ㄦ极銆佺畝绉颁簩缁淬傦紙瀵屾湁绔嬩綋鎰熺殑鏄笁缁达級銆傚湪鏁板涓紝杩炵画鍨嬮殢鏈哄彉閲忕殑姒傜巼瀵嗗害鍑芥暟锛堝湪涓嶈嚦浜庢贩娣嗘椂鍙互绠绉颁负瀵嗗害鍑芥暟锛夋槸涓涓弿杩拌繖涓殢鏈哄彉閲忕殑杈撳嚭鍊硷紝鍦ㄦ煇涓‘瀹氱殑鍙栧肩偣闄勮繎鐨勫彲鑳芥х殑鍑芥暟銆
绛旓細(1)锛岀敱姒傜巼瀵嗗害鐨勬ц川鍙緱锛屸埆(0,1)dy鈭(-鈭歽,鈭歽)f(x,y)dx=1銆傗埓c鈭(0,1)ydy鈭(-鈭歽,鈭歽)x²dx=1銆傗埓4c/21=1锛宑=21/4銆(2)锛孹銆乊鐨勮竟缂樺垎甯冨瘑搴﹀嚱鏁板垎鍒负锛宖X(x)=鈭(x²,1)f(x,y)dy=c鈭(x²,1)x²ydy=鈥=(21/8)x²(1-x^4)...
绛旓細鍏蜂綋鍥炵瓟濡傚浘锛氫簨浠闅忔満鍙戠敓鐨勬満鐜锛屽浜庡潎鍖鍒嗗竷鍑芥暟锛姒傜巼瀵嗗害绛変簬涓娈靛尯闂(浜嬩欢鐨勫彇鍊艰寖鍥)鐨勬鐜闄や互璇ユ鍖洪棿鐨勯暱搴︼紝瀹冪殑鍊兼槸闈炶礋鐨勶紝鍙互寰堝ぇ涔熷彲浠ュ緢灏忋