三角形重心公式怎么推 三角形重心公式
\u4e09\u89d2\u5f62\u91cd\u5fc3\u5750\u6807\u516c\u5f0f\u600e\u4e48\u63a8\u91cd\u5fc3\u5750\u6807\u516c\u5f0f\u7684\u63a8\u5bfc\uff1a
\u8bbe\u4e09\u70b9\u4e3aA(x1.y1)\uff0cB(x2,y2)\uff0cC(x3,y3)
\u91cd\u5fc3\u5750\u6807(xm,ym)
\u8003\u8651xm\uff0c\u4efb\u53d6\u4e24\u70b9\uff08\u4e0d\u59a8\u8bbe\u4e3aA\u548cB\uff09,\u5219\u91cd\u5fc3\u5728\u4ee5AB\u4e3a\u5e95\u7684\u4e2d\u7ebf\u4e0a.
AB\u4e2d\u70b9\u6a2a\u5750\u6807\u4e3a(x1+x2)/2
\u91cd\u5fc3\u5728\u4e2d\u7ebf\u8dddAB\u4e2d\u70b91/3\u5904
\u6545\u91cd\u5fc3\u6a2a\u5750\u6807\u4e3axm=1/3*(x3-(x1+x2)/2)+(x1+x2)/2=(x1+x2+x3)/3
\u540c\u7406\uff0cym=(y1+y2+y3)/3
\u91cd\u5fc3\u5750\u6807\u7684\u516c\u5f0f\uff1a
\u5e73\u9762\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u7cfb\u2014\u2014\u6a2a\u5750\u6807\uff1a(X1+X2+X3)/3 \u7eb5\u5750\u6807\uff1a(Y1+Y2+Y3)/3
\u7a7a\u95f4\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u7cfb\u2014\u2014\u6a2a\u5750\u6807\uff1a(X1+X2+X3)/3 \u7eb5\u5750\u6807\uff1a(Y1+Y2+Y3)/3 \u7ad6\u5750\u6807\uff1a\uff08z1+z2+z2\uff09/3
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u91cd\u5fc3\u7684\u6027\u8d28\uff1a
1\u3001\u91cd\u5fc3\u5230\u9876\u70b9\u7684\u8ddd\u79bb\u4e0e\u91cd\u5fc3\u5230\u5bf9\u8fb9\u4e2d\u70b9\u7684\u8ddd\u79bb\u4e4b\u6bd4\u4e3a2\ufe301\u3002
2\u3001\u91cd\u5fc3\u548c\u4e09\u89d2\u5f62\u4efb\u610f\u4e24\u4e2a\u9876\u70b9\u7ec4\u6210\u76843\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u9762\u79ef\u76f8\u7b49\u3002\u5373\u91cd\u5fc3\u5230\u4e09\u6761\u8fb9\u7684\u8ddd\u79bb\u4e0e\u4e09\u6761\u8fb9\u7684\u957f\u6210\u53cd\u6bd4\u3002
3\u3001\u91cd\u5fc3\u5230\u4e09\u89d2\u5f623\u4e2a\u9876\u70b9\u8ddd\u79bb\u7684\u5e73\u65b9\u548c\u6700\u5c0f\u3002
4\u3001\u4ee5\u91cd\u5fc3\u4e3a\u8d77\u70b9\uff0c\u4ee5\u4e09\u89d2\u5f62\u4e09\u9876\u70b9\u4e3a\u7ec8\u70b9\u7684\u4e09\u6761\u5411\u91cf\u4e4b\u548c\u7b49\u4e8e\u96f6\u5411\u91cf\u3002
\u5916\u5fc3\u7684\u6027\u8d28\uff1a
1\u3001\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e09\u6761\u8fb9\u7684\u5782\u76f4\u5e73\u5206\u7ebf\u4ea4\u4e8e\u4e00\u70b9\uff0c\u8be5\u70b9\u5373\u4e3a\u8be5\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5916\u5fc3\u3002
2\u3001\u82e5O\u662f\u25b3ABC\u7684\u5916\u5fc3\uff0c\u5219\u2220BOC=2\u2220A\uff08\u2220A\u4e3a\u9510\u89d2\u6216\u76f4\u89d2\uff09\u6216\u2220BOC=360\u00b0-2\u2220A\uff08\u2220A\u4e3a\u949d\u89d2\uff09\u3002
3\u3001\u5f53\u4e09\u89d2\u5f62\u4e3a\u9510\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u65f6\uff0c\u5916\u5fc3\u5728\u4e09\u89d2\u5f62\u5185\u90e8\uff1b\u5f53\u4e09\u89d2\u5f62\u4e3a\u949d\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u65f6\uff0c\u5916\u5fc3\u5728\u4e09\u89d2\u5f62\u5916\u90e8\uff1b\u5f53\u4e09\u89d2\u5f62\u4e3a\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u65f6\uff0c\u5916\u5fc3\u5728\u659c\u8fb9\u4e0a\uff0c\u4e0e\u659c\u8fb9\u7684\u4e2d\u70b9\u91cd\u5408\u3002
1.\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u91cd\u5fc3\u662f\u4e09\u89d2\u5f62\u4e09\u6761\u4e2d\u7ebf\u7684\u4ea4\u70b9.
2.\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u91cd\u5fc3\u5230\u9876\u70b9\u7684\u8ddd\u79bb\u7b49\u4e8e\u5230\u5bf9\u8fb9\u4e2d\u70b9\u8ddd\u79bb\u76842\u5317.
3.\u5728\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u7cfb\u5185,\u82e5\u4e09\u9876\u70b9\u7684\u5750\u6807\u5206\u522b\u4e3a(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),\u5219\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u91cd\u5fc3G\u7684\u5750\u6807\u4e3a((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3).
4.\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u91cd\u5fc3\u662f\u5230\u4e09\u89d2\u5f62\u4e09\u9876\u70b9\u8ddd\u79bb\u7684\u5e73\u65b9\u548c\u6700\u5c0f\u7684\u70b9\u3002
5.\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u91cd\u5fc3\u662f\u4e09\u89d2\u5f62\u5185\u5230\u4e09\u8fb9\u8ddd\u79bb\u4e4b\u79ef\u6700\u5927\u7684\u70b9\u3002
6.\u5982\u679c\u4f60\u662f\u9ad8\u4e2d\u5b66\u751f,\u5728\u5411\u91cf\u8fd9\u4e00\u90e8\u5206\u91cc\u9762\u5173\u4e8e\u91cd\u5fc3\u7684\u6027\u8d28\u8fd8\u6709\u5f88\u591a.
△ABC中：AD是BC的中线，
BE是AC的中线，AD，BE交于O，
连CO延长交AB于F，
请证明：F是AB的中点。
设△BOD=△COD=x（都是面积，下同）
△COE=△AOE=y，
△AOF=m，△BOF=n,
设△ABC面积为1，
由D是BC的中点，E是AC的中点，
∴2x+y=1/2（1）
x+2y=1/2（2)
∴x=y=1/6.
由△ACF=1/2，
∴m+2y=1/2
m=1/2-1/3=1/6.
同理：n=m=1/6.
∴AF=BF，即CF也是AB的中线，
∴O是△ABC的重心。
三角形重心
重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。 已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。求证：F为AB中点。 证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BOC，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。 重心的几条性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点。 重 心 三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了， 重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好．
物理术语
定义：一个物体的各部分都要受到重力的作用。从效果上看，我们可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫做物体的重心。 物体的重心位置，质量均匀分布的物体（均匀物体），重心的位置只跟物体的形状有关。有规则形状的物体，它的重心就在几何中心上，例如，均匀细直棒的中心在棒的中点，均匀球体的重心在球心，均匀圆柱的重心在轴线的中点。不规则物体的重心,可以用悬挂法来确定.物体的重心,不一定在物体上。 质量分布不均匀的物体，重心的位置除跟物体的形状有关外，还跟物体内质量的分布有关。载重汽车的重心随着装货多少和装载位置而变化，起重机的重心随着提升物体的重量和高度而变化。 过重心的一条直线或切面把物体或图形分成两份，则两份的体积或面积不一定相等。（不是所有过重心的直线或切面都平分物体或图形的面积或体积，例如过正三角形重心且平行一边的一条直线把三角形分成面积比为4：5的两部分。关于这一点，可以用物理学的杠杆原理解释：分成的两块图形的重心分别到三角形重心的距离相当于杠杆的两个力臂，而两图形的面积相当于杠杆的两个力。因为重心相当于两个图形的面积“集中”成的一点（参考重心定义）。如以上的例子，分割成的两个图形重心分别到三角形重心的距离正好等于5：4。如有兴趣，可用几何画板软件画图证明。） 物体重心位置的数学确定方法： 在某物体（总质量为M）所在空间任取一确定的空间直角坐标系O-xyz，则该物体可微元出i个质点，每个质点对应各自坐标(xi,yi,zi)及质量mi， 易知M=m1+m2+¨+mi，设该物体重心为G(X,Y,Z) 则X=(x1m1+x2m2+¨+ximi)/M Y=(y1m1+y2m2+¨+yimi)/M Z=(z1m1+z2m2+¨+zimi)/M
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