求教奥数题:10×11×12×13...×100的积的末尾有多少个零
75\u4e584\u7684\u79ef\u7684\u672b\u5c3e\u6709\u51e0\u4e2a\u96f6\uff1f\uff08\u5c0f\u5b66\u4e09\u5e74\u7ea7\u7684\u6570\u5b66\u9898\uff09\u672b\u5c3e\u6307\u7684\u662f\u540e\u51e0\u4f4d\u5c31\u662f\u9664\u4e86\u7b2c\u4e00\u4f4d\u4ee5\u5916\u7684\u6570\u5b57\uff0c\u4e5f\u5c31\u8bf4\u7b2c\u4e8c\u4f4d\u5230\u6700\u540e\u4e00\u4f4d\u3002\u56e0\u6b6475\u4e58\u4ee54\u7684\u79ef\u5c31\u662f\u8bf4300\u6709\u4e24\u4e2a\u96f6
\u597d\u597d\u770b\u770b\u4e66\u5427\uff0c\u591a\u505a\u505a\u7cfb\u7edf\uff0c\u8fd9\u4e48\u57fa\u7840\u6570\u5217\u7684\u9898\u76ee~\u54ce\uff0c\u7ed9\u4f60\u8bf4\u4e00\u4e0b\u5427\uff1a
-1/(10*11)-1/(11*12)-...-1/(99*100)
=-\uff081/10-1/11\uff09-\uff081/11-1/12\uff09-...-\uff081/99-1/100\uff09
=......
=-9/100
那么从10到100
有多少个2*5呢
12*15,22*25,32*35到92*95一共9个
还有就是10,20,30到90,一共9个
这是18个零
还有一个100
最后末尾一共20个零
正解的是:末尾有24个0。
方法是:
乘积会产生0的,就是2的倍数与5的倍数相乘产生的,如8×15=120,等等。
在1到100之中,2的倍数多于5的倍数,所以只需找出5的因子有多少个,那么末尾就有多少个0。
在1到100之中,5的倍数共有100÷5=20个,其中25的倍数有100÷25=4个,所以只含有一个因子5的倍数有20-4=16个,这16个与2的倍数相乘只会产生一个0,共产生16个0;而25的倍数有25、50、75、100这四个,每个与4的倍数相乘都会产生两个0,这样共会产生8个0。
所以
末尾0的个数是:16+8=24个。
或者用另一种通用的方法:
100÷5=20
20÷5=4
在1到100之中,5的因子共有20+4=24个,所以末尾有24个0。
这种方法可以推广到:1×2×3×4×5×6×...×n,它的末尾有多少个0的算法是:
用n÷5,商取整数,
再用该整数去除以5,商也是取整数,
不断的除以5,直到所得的商取整数后小于5为止。将全部的商加起来,得数就是0的个数。
例如:上题100÷5=20,20÷5=4,所得商4小于5,所以不用再除了,全部的商之和为:20+4=24,这就是0的个数。
每个5凑成1个0,共9个5,故9个0
加上10、20、。。。100的11个0
共20个0
0的个数其实就是看5的倍数,因为2足够多
1个5的有 (100-10)/5 + 1 = 19
2个5的有 25 50 75 100 共4个,因为上面用到一次
3个5的最小是125不满足
共有19+4 = 23个0
11个0,,只有带0的数才产生0从10到100有10个,前九个都带一个,第十个也就是100带二个0所以最后是11个0
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