怎么区别三角形的垂心，中心，重心，内心和外心？ 三角形的内心、外心、中心、重心、垂心怎样判定，它们的性质有哪...
\u600e\u6837\u533a\u522b\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u91cd\u5fc3\uff0c\u5782\u5fc3\uff0c\u4e2d\u5fc3\uff0c\u5185\u5fc3\uff0c\u5916\u5fc3\u5185\u5fc3\u662f\u4e09\u6761\u89d2\u5e73\u5206\u7ebf\u7684\u4ea4\u70b9\uff0c\u5b83\u5230\u4e09\u8fb9\u7684\u8ddd\u79bb\u76f8\u7b49\u3002
\u5916\u5fc3\u662f\u4e09\u6761\u8fb9\u5782\u76f4\u5e73\u5206\u7ebf\u7684\u4ea4\u70b9\uff0c\u5b83\u5230\u4e09\u4e2a\u9876\u70b9\u7684\u8ddd\u79bb\u76f8\u7b49\u3002
\u91cd\u5fc3\u662f\u4e09\u6761\u4e2d\u7ebf\u7684\u4ea4\u70b9\uff0c\u5b83\u5230\u9876\u70b9\u7684\u8ddd\u79bb\u662f\u5b83\u5230\u5bf9\u8fb9\u4e2d\u70b9\u8ddd\u79bb\u76842\u500d\u3002
\u5782\u5fc3\u662f\u4e09\u6761\u9ad8\u7684\u4ea4\u70b9\uff0c\u5b83\u80fd\u6784\u6210\u5f88\u591a\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u76f8\u4f3c\u3002
\u65c1\u5fc3\u662f\u4e00\u4e2a\u5185\u89d2\u5e73\u5206\u7ebf\u4e0e\u5176\u4e0d\u76f8\u90bb\u7684\u4e24\u4e2a\u5916\u89d2\u5e73\u5206\u7ebf\u7684\u4ea4\u70b9\uff0c\u5b83\u5230\u4e09\u8fb9\u7684\u8ddd\u79bb\u76f8\u7b49\u3002
\uff081\uff09\u91cd\u5fc3\u548c\u4e09\u9876\u70b9\u7684\u8fde\u7ebf\u6240\u6784\u6210\u7684\u4e09\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u9762\u79ef\u76f8\u7b49\uff1b
\uff082\uff09\u5916\u5fc3\u626b\u4e09\u9876\u70b9\u7684\u8ddd\u79bb\u76f8\u7b49\uff1b
\uff083\uff09\u5782\u5fc3\u4e0e\u4e09\u9876\u70b9\u8fd9\u56db\u70b9\u4e2d\uff0c\u4efb\u4e00\u70b9\u662f\u5176\u4f59\u4e09\u70b9\u6784\u6210\u7684\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5782\u5fc3\uff1b
\uff084\uff09\u5185\u5fc3\u3001\u65c1\u5fc3\u5230\u4e09\u8fb9\u8ddd\u79bb\u76f8\u7b49\uff1b
\uff085\uff09\u5782\u5fc3\u662f\u4e09\u5782\u8db3\u6784\u6210\u7684\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5185\u5fc3\uff0c\u6216\u8005\u8bf4\uff0c\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5185\u5fc3\u662f\u5b83\u65c1\u5fc3\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5782\u5fc3\uff1b
\uff086\uff09\u5916\u5fc3\u662f\u4e2d\u70b9\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5782\u5fc3\uff1b
\uff087\uff09\u4e2d\u5fc3\u4e5f\u662f\u4e2d\u70b9\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u91cd\u5fc3\uff1b
\uff088\uff09\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e2d\u70b9\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5916\u5fc3\u4e5f\u662f\u5176\u5782\u8db3\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5916\u5fc3\u3002
\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e94\u5fc3
\u4e00 \u5b9a\u7406
\u91cd\u5fc3\u5b9a\u7406\uff1a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e09\u6761\u4e2d\u7ebf\u4ea4\u4e8e\u4e00\u70b9\uff0c\u8fd9\u70b9\u5230\u9876\u70b9\u7684
\u79bb\u662f\u5b83\u5230\u5bf9\u8fb9\u4e2d\u70b9\u8ddd\u79bb\u76842\u500d\u3002\u8be5\u70b9\u53eb\u505a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u91cd\u5fc3\u3002
\u5916\u5fc3\u5b9a\u7406\uff1a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e09\u8fb9\u7684\u5782\u76f4\u5e73\u5206\u7ebf\u4ea4\u4e8e\u4e00\u70b9\u3002\u8be5\u70b9\u53eb\u505a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5916\u5fc3\u3002
\u5782\u5fc3\u5b9a\u7406\uff1a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e09\u6761\u9ad8\u4ea4\u4e8e\u4e00\u70b9\u3002\u8be5\u70b9\u53eb\u505a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5782\u5fc3\u3002
\u5185\u5fc3\u5b9a\u7406\uff1a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e09\u5185\u89d2\u5e73\u5206\u7ebf\u4ea4\u4e8e\u4e00\u70b9\u3002\u8be5\u70b9\u53eb\u505a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5185\u5fc3\u3002
\u65c1\u5fc3\u5b9a\u7406\uff1a\u4e09\u89d2\u5f62\u4e00\u5185\u89d2\u5e73\u5206\u7ebf\u548c\u53e6\u5916\u4e24\u9876\u70b9\u5904\u7684\u5916\u89d2\u5e73\u5206\u7ebf\u4ea4\u4e8e\u4e00\u70b9\u3002\u8be5\u70b9\u53eb\u505a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u65c1\u5fc3\u3002\u4e09\u89d2\u5f62\u6709\u4e09\u4e2a\u65c1\u5fc3\u3002
\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u91cd\u5fc3\u3001\u5916\u5fc3\u3001\u5782\u5fc3\u3001\u5185\u5fc3\u3001\u65c1\u5fc3\u79f0\u4e3a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e94\u5fc3\u3002\u5b83\u4eec\u90fd\u662f\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u91cd\u8981\u76f8\u5173\u70b9\u3002
\u4e0a\u8ff0\u7684\u51e0\u4e2a\u7ed3\u8bba\u65e9\u5728\u6b27\u51e0\u91cc\u5f97\u65f6\u4ee3\u5747\u5df2\u88ab\u4eba\u53d1\u73b0\uff0c\u6b27\u51e0\u91cc\u5f97\u9664\u5782\u5fc3\u5b9a\u7406\u5916\uff0c\u5747\u628a\u5b83\u4eec\u4f5c\u4e3a\u91cd\u8981\u5b9a\u7406\u6536\u96c6\u5728\u81ea\u5df1\u7684\u300a\u51e0\u4f55\u539f\u672c\u300b\u91cc\uff0c\u4f46\u540e\u6765\u5173\u4e8e\u4e09\u89d2\u5f62\u8fd9\u4e9b\u7279\u6b8a\u76f8\u5173\u70b9\u7684\u8bf8\u591a\u7814\u7a76\u53ca\u7531\u6b64\u5f97\u51fa\u7684\u8bb8\u591a\u8457\u540d\u7ed3\u8bba\u8868\u660e\uff0c\u9057\u6f0f\u5782\u5fc3\u5b9a\u7406\u4e0d\u80fd\u4e0d\u7b97\u662f\u300a\u51e0\u4f55\u539f\u672c\u300b\u4f5c\u8005\u7684\u4e00\u4e2a\u758f\u5ffd
\u4e00\u3001\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5916\u5fc3
\u5b9a\u4e49\uff1a
\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5916\u5fc3\u662f\u4e09\u89d2\u5f62\u4e09\u6761\u5782\u76f4\u5e73\u5206\u7ebf\u7684\u4ea4\u70b9(\u6216\u4e09\u89d2\u5f62\u5916\u63a5\u5706\u7684\u5706\u5fc3) \u3002
\u6027\u8d28\uff1a
1.\u4e09\u89d2\u5f62\u4e09\u6761\u8fb9\u7684\u5782\u76f4\u5e73\u5206\u7ebf\u7684\u4ea4\u4e8e\u4e00\u70b9\uff0c\u8be5\u70b9\u5373\u4e3a\u4e09\u89d2\u5f62\u5916\u63a5\u5706\u7684\u5706\u5fc3.
2\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5916\u63a5\u5706\u6709\u4e14\u53ea\u6709\u4e00\u4e2a\uff0c\u5373\u5bf9\u4e8e\u7ed9\u5b9a\u7684\u4e09\u89d2\u5f62\uff0c\u5176\u5916\u5fc3\u662f\u552f\u4e00\u7684\uff0c\u4f46\u4e00\u4e2a\u5706\u7684\u5185\u63a5\u4e09\u89d2\u5f62\u5374\u6709\u65e0\u6570\u4e2a\uff0c\u8fd9\u4e9b\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5916\u5fc3\u91cd\u5408\u3002
3.\u9510\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5916\u5fc3\u5728\u4e09\u89d2\u5f62\u5185\uff1b\u949d\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5916\u5fc3\u5728\u4e09\u89d2\u5f62\u5916\uff1b\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5916\u5fc3\u4e0e\u659c\u8fb9\u7684\u4e2d\u70b9\u91cd\u5408
4.OA=OB=OC=R
5.\u2220BOC=2\u2220BAC\uff0c\u2220AOB=2\u2220ACB\uff0c\u2220COA=2\u2220CBA
6.S\u25b3ABC=abc/4R
\u4e8c\u3001\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5185\u5fc3
\u5b9a\u4e49\uff1a
\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5185\u5fc3\u662f\u4e09\u89d2\u5f62\u4e09\u6761\u5185\u89d2\u5e73\u5206\u7ebf\u7684\u4ea4\u70b9(\u6216\u5185\u5207\u5706\u7684\u5706\u5fc3)\u3002
\u6027\u8d28\uff1a
1.\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e09\u6761\u89d2\u5e73\u5206\u7ebf\u4ea4\u4e8e\u4e00\u70b9\uff0c\u8be5\u70b9\u5373\u4e3a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5185\u5fc3
2.\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5185\u5fc3\u5230\u4e09\u8fb9\u7684\u8ddd\u79bb\u76f8\u7b49\uff0c\u90fd\u7b49\u4e8e\u5185\u5207\u5706\u534a\u5f84r
3.r=2S/(a+b+c)
4.\u5728Rt\u25b3ABC\u4e2d\uff0c\u2220C=90\u00b0\uff0cr=(a+b-c)/2\uff0e
5.\u2220BOC = 90 \u00b0+\u2220A/2 \u2220BOA = 90 \u00b0+\u2220C/2 \u2220AOC = 90 \u00b0+\u2220B/2
6.S\u25b3=[(a+b+c)r]/2 (r\u662f\u5185\u5207\u5706\u534a\u5f84)
\u4e09\u3001\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5782\u5fc3
\u5b9a\u4e49\uff1a
\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5782\u5fc3\u662f\u4e09\u89d2\u5f62\u4e09\u8fb9\u4e0a\u7684\u9ad8\u7684\u4ea4\u70b9(\u901a\u5e38\u7528H\u8868\u793a)\u3002
\u6027\u8d28\uff1a
1.\u9510\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5782\u5fc3\u5728\u4e09\u89d2\u5f62\u5185\uff1b\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5782\u5fc3\u5728\u76f4\u89d2\u9876\u70b9\u4e0a\uff1b\u949d\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5782\u5fc3\u5728\u4e09\u89d2\u5f62\u5916
2.\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5782\u5fc3\u662f\u5b83\u5782\u8db3\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5185\u5fc3\uff1b\u6216\u8005\u8bf4\uff0c\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5185\u5fc3\u662f\u5b83\u65c1\u5fc3\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5782\u5fc3
3. \u5782\u5fc3O\u5173\u4e8e\u4e09\u8fb9\u7684\u5bf9\u79f0\u70b9\uff0c\u5747\u5728\u25b3ABC\u7684\u5916\u63a5\u5706\u5706\u4e0a\u3002
4.\u25b3ABC\u4e2d\uff0c\u6709\u516d\u7ec4\u56db\u70b9\u5171\u5706\uff0c\u6709\u4e09\u7ec4(\u6bcf\u7ec4\u56db\u4e2a)\u76f8\u4f3c\u7684\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\uff0c\u4e14AO\u00b7OD=BO\u00b7OE=CO\u00b7OF
5. H\u3001A\u3001B\u3001C\u56db\u70b9\u4e2d\u4efb\u4e00\u70b9\u662f\u5176\u4f59\u4e09\u70b9\u4e3a\u9876\u70b9\u7684\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5782\u5fc3(\u5e76\u79f0\u8fd9\u6837\u7684\u56db\u70b9\u4e3a\u4e00\u2014\u5782\u5fc3\u7ec4)\u3002
6.\u25b3ABC\uff0c\u25b3ABO\uff0c\u25b3BCO\uff0c\u25b3ACO\u7684\u5916\u63a5\u5706\u662f\u7b49\u5706\u3002
7.\u5728\u975e\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u4e2d\uff0c\u8fc7O\u7684\u76f4\u7ebf\u4ea4AB\u3001AC\u6240\u5728\u76f4\u7ebf\u5206\u522b\u4e8eP\u3001Q\uff0c\u5219 AB/AP\u00b7tanB+ AC/AQ\u00b7tanC=tanA+tanB+tanC
8.\u4e09\u89d2\u5f62\u4efb\u4e00\u9876\u70b9\u5230\u5782\u5fc3\u7684\u8ddd\u79bb\uff0c\u7b49\u4e8e\u5916\u5fc3\u5230\u5bf9\u8fb9\u7684\u8ddd\u79bb\u76842\u500d\u3002
9.\u8bbeO\uff0cH\u5206\u522b\u4e3a\u25b3ABC\u7684\u5916\u5fc3\u548c\u5782\u5fc3\uff0c\u5219\u2220BAO=\u2220HAC\uff0c\u2220ABH=\u2220OBC\uff0c\u2220BCO=\u2220HCA\u3002
10.\u9510\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5782\u5fc3\u5230\u4e09\u9876\u70b9\u7684\u8ddd\u79bb\u4e4b\u548c\u7b49\u4e8e\u5176\u5185\u5207\u5706\u4e0e\u5916\u63a5\u5706\u534a\u5f84\u4e4b\u548c\u76842\u500d\u3002
11.\u9510\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5782\u5fc3\u662f\u5782\u8db3\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5185\u5fc3\uff1b\u9510\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5185\u63a5\u4e09\u89d2\u5f62(\u9876\u70b9\u5728\u539f\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u8fb9\u4e0a)\u4e2d\uff0c\u4ee5\u5782\u8db3\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5468\u957f\u6700\u77ed\u3002\uff08\u65bd\u74e6\u5c14\u5179\u4e09\u89d2\u5f62\uff0c\u6700\u65e9\u5728\u53e4\u5e0c\u814a\u65f6\u671f\u7531\u6d77\u4f26\u53d1\u73b0\uff09
12.\u897f\u59c6\u677e(Simson)\u5b9a\u7406\uff08\u897f\u59c6\u677e\u7ebf\uff09\uff1a\u4ece\u4e00\u70b9\u5411\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e09\u8fb9\u6240\u5f15\u5782\u7ebf\u7684\u5782\u8db3\u5171\u7ebf\u7684\u91cd\u8981\u6761\u4ef6\u662f\u8be5\u70b9\u843d\u5728\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5916\u63a5\u5706\u4e0a
13.\u8bbe\u9510\u89d2\u25b3ABC\u5185\u6709\u4e00\u70b9P\uff0c\u90a3\u4e48P\u662f\u5782\u5fc3\u7684\u5145\u5206\u5fc5\u8981\u6761\u4ef6\u662fPB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA\u3002
14.\u8bbeH\u4e3a\u975e\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5782\u5fc3\uff0c\u4e14D\u3001E\u3001F\u5206\u522b\u4e3aH\u5728BC\uff0cCA\uff0cAB\u4e0a\u7684\u5c04\u5f71\uff0cH1\uff0cH2\uff0cH3\u5206\u522b\u4e3a\u25b3AEF\uff0c\u25b3BDF\uff0c\u25b3CDE\u7684\u5782\u5fc3\uff0c\u5219\u25b3DEF\u224c\u25b3H1H2H3\u3002
15.\u4e09\u89d2\u5f62\u5782\u5fc3H\u7684\u5782\u8db3\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e09\u8fb9\uff0c\u5206\u522b\u5e73\u884c\u4e8e\u539f\u4e09\u89d2\u5f62\u5916\u63a5\u5706\u5728\u5404\u9876\u70b9\u7684\u5207\u7ebf\u3002
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1.\u91cd\u5fc3\u5230\u9876\u70b9\u7684\u8ddd\u79bb\u4e0e\u91cd\u5fc3\u5230\u5bf9\u8fb9\u4e2d\u70b9\u7684\u8ddd\u79bb\u4e4b\u6bd4\u4e3a2\uff1a1\u3002
2.\u91cd\u5fc3\u548c\u4e09\u89d2\u5f623\u4e2a\u9876\u70b9\u7ec4\u6210\u76843\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u9762\u79ef\u76f8\u7b49\u3002
3.\u91cd\u5fc3\u5230\u4e09\u89d2\u5f623\u4e2a\u9876\u70b9\u8ddd\u79bb\u7684\u5e73\u65b9\u548c\u6700\u5c0f\u3002
4.\u5728\u5e73\u9762\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u7cfb\u4e2d\uff0c\u91cd\u5fc3\u7684\u5750\u6807\u662f\u9876\u70b9\u5750\u6807\u7684\u7b97\u672f\u5e73\u5747\uff0c\u5373\u5176\u5750\u6807\u4e3a((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)\uff1b\u7a7a\u95f4\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u7cfb\u2014\u2014\u6a2a\u5750\u6807\uff1a(X1+X2+X3)/3 \u7eb5\u5750\u6807\uff1a(Y1+Y2+Y3)/3 \u7ad6\u5750\u6807\uff1a\uff08Z1+Z2+Z3\uff09/3
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6.\u91cd\u5fc3\u662f\u4e09\u89d2\u5f62\u5185\u5230\u4e09\u8fb9\u8ddd\u79bb\u4e4b\u79ef\u6700\u5927\u7684\u70b9\u3002
离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。它们都是三角形的重要相关点。
重心是三角形三条中线的交点
垂心是三角形三条高的交点
内心是三角形三条内角平分线的交点
外心是三角形三条边的垂直平分线的交点
还有旁心,是三角形两条外角平分线和一条内角平分线的交点
至于应用，那是靠题目来练的。
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