交换二次积分的积分次序 如何变换二次积分的积分次序?
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\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1--\u79ef\u5206
如果还有不懂的地方可以追问
C
先还原积分区域的图形,再交换积分次序,得C。
首先把xy所表示的区域在坐标上圈出来,再来做xy坐标的变换。
答案是C(注意分段处理)
这类问题需要先按给定的积分次序画出积分区域草图,然后再确定更换次序后的积分限以完成解题。
①以本题为例,先看最右边的积分变量是x,那就涉及曲线x=y和x=√y,也就是y=x和y=x^2,这样首次积分就没事了。再看末次积分,积分变量是y,那y的变化范围就是从0到1.
于是,根据两条曲线y=x、y=x^2和y的变化范围是[0,1],就可以把积分区域的草图画出来了。
②接下来是确定更换积分次序后的积分限。
为了确定x的积分限,把积分区域向x轴投影,投影区域的最大范围就是x的积分区间。本题把积分区域投影到x轴上后得到区间[0,1],所以x的积分下限是0,上限是1。
为了确定y的变化范围,通常的做法是:在x的积分区间内任取一点x,过这点作垂直于x轴的直线,直线从下向上穿过积分区域D,其中直线进入区域时的点(即直线与下曲线的交点)对应的y值就是y的积分下限,而直线穿出D时的点(直线与上曲线的交点)对应的y值就是y的积分上限。本题中,在x的积分区间[0,1]内任意一点x处,作垂直于x轴的直线,该直线在与y=x^2的交点处进入区域D,所以y的积分下限为x^2;上述直线在与y=x的交点处穿出区域D,所以y的积分上限是x.
综合①、②,得到更换积分次序后的首次积分限(对y积分)下限为x^2,上限是x;而末次积分限(对x积分)下限为0,上限为1.
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