简谐运动的运动微分方程d/dt(dx/dt)=-ω2x怎么解？求具体过程，谢谢！ 简谐运动微分方程怎么解
d^2x/dt^2+9x=0 \u7b80\u8c10\u8fd0\u52a8\u5e38\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u600e\u4e48\u6c42\u4ee4p=dx/dt\uff0c\u90a3\u4e48\uff1a
d²x/dt²=dp/dt=(dp/dx)(dx/dt)=pdp/dx
\u4ee3\u5165\u539f\u65b9\u7a0b\u5f97\u5230\uff1a
pdp/dx=-9x
pdp=-9xdx
\u4e24\u8fb9\u79ef\u5206\u5f97\u5230\uff1a
p²=C-9x²\u2026\u2026\u2026\u2026\u2026\u2026C\u4e3a\u4efb\u610f\u5e38\u6570\uff0c\u9700\u8981\u6839\u636e\u521d\u59cb\u6761\u4ef6\u6c42\u89e3
dx/dt=p=\u221a(C-9x²)
\u4e0a\u5f0f\u663e\u7136\u53ef\u4ee5\u5206\u79bb\u53d8\u91cf\u6765\u6c42\u89e3\uff0c\u4f46\u7ed3\u679c\u4e0eC\u6709\u5173\uff0c\u8fd9\u91cc\u7f3a\u5c11\u521d\u59cb\u6761\u4ef6\u53ea\u597d\u7565\u53bb\u4e86\u3002
\u53c2\u8003\u4e00\u4e0b\u3002\u3002\u3002\u3002\u3002\u3002\u3002
这个可以化成
x''(t)+ω²x(t)=0
这是一个二阶常系数线性方程
可以先解特征方程
λ² + ω² =0
得到 λ= ωi 或 λ= -ωi 其中i是虚数单位
所以方程的解为 x(t)= C1*cosωt + C2*sinωt
C1,C2为常数。
确定这个常数，需要初始状态的参数。
简谐运动的解是余弦函数（或正弦函数，两者本质一样）
x=Acos（w*t+fai），w：角频率，fai：相位角
求解方法，需要学习微积分之后才能解
对于二阶常微分方程，可设通解为x=e^（u*t）形式
代入方程，可得关于u的二次代数方程，求两个根u1，u2（当u1不等于u2，u1、u2可以是复数）
x1=e^（u1*t），x2=e^（u2*t）都是其解，且两者相互独立
利用线性微分方程方程叠加x=c1x1+c2x1
对于简谐运动微分方程，u1=i，u2=-i，x1=e^（it），x2=e^(-it),
将x1和x2重新组合，得新的实函数：x1=cos（wt），x2=sin（wt）
两者线性组合，加上三角变换，得通解为x=Acos（w*t+fai）
首先：dx/dt=-w^2xt
那么：x=-0.5w^2xt^2
绛旓細x''(t)+蠅²x(t)=0 杩欐槸涓涓簩闃跺父绯绘暟绾挎鏂圭▼ 鍙互鍏堣В鐗瑰緛鏂圭▼ 位² + 蠅² =0 寰楀埌 位= 蠅i 鎴 位= -蠅i 鍏朵腑i鏄櫄鏁板崟浣 鎵浠ユ柟绋嬬殑瑙ｄ负 x(t)= C1*cos蠅t + C2*sin蠅t C1,C2涓哄父鏁般傜‘瀹氳繖涓父鏁帮紝闇瑕佸垵濮嬬姸鎬佺殑鍙傛暟銆
绛旓細杩愬姩寰垎鏂圭▼d²x/dt²+蠅²x=0鐨勮В涓:x=Acos(蠅t+蠁)锛屽嵆涓虹墿浣撶殑杩愬姩鏂圭▼銆傝鏂圭▼琛ㄦ槑鐗╀綋杩愬姩涓虹畝璇ｈ繍鍔
绛旓細鏁寸悊鎴愭爣鍑嗗舰寮忕殑浜岄樁绾挎寰垎鏂圭▼锛(d²x/dt²)+(k/m)x=0 鍏剁壒寰佹柟绋嬩负锛歳²+(k/m)=0 瑙ｅ緱鐗瑰緛鏍逛负锛毬扁垰(k/m)i鈥︹︹涓鸿櫄鏁板崟浣 鏁呭井鍒嗘柟绋嬬殑閫氳В涓猴細Acos[t鈭(k/m)]+Bsin[t鈭(k/m)]鈥︹︹鍜孊涓轰换鎰忓父鏁帮紝鐢卞垵濮嬩綅缃拰閫熷害鍐冲畾 鎴栬呭啓鎴愬崟涓夎鍑芥暟鐨勫舰寮...
绛旓細绠璋愯繍鍔鐗瑰緛鍙婅〃寮:1F=-kx锛堝洖澶嶅姏锛2 d^2x/dt^2=-(k/m)x 鍙杒/m=w^2 鎵浠^2x/dt^2=-锛坵^2锛墄 d^2x/dt^2+锛坵^2锛墄=0 .x''=-w^2x r^2=-1,鎵浠=+-wi,閫氳В x=c1coswt+c2sinwt=Ccos(wt+fai),甯﹀叆鎸箙A,C=A,寰 x=Acos(wt+蠁)
绛旓細绠璋杩愬姩鏂圭▼鏄細x=Acos锛坵t+p锛夈傛牴鎹杩愬姩鏂圭▼寮忥紝鎴戜滑鍙互璇翠綅绉绘槸鏃堕棿t鐨勬寮︽垨浣欏鸡鍑芥暟鐨勮繍鍔鏄畝璋愯繍鍔ㄣ绠璋愯繍鍔ㄧ殑鏁板妯″瀷鏄竴涓嚎鎬у父绯绘暟甯寰垎鏂圭▼锛岃繖鏍鐨勬尟鍔绯荤粺绉颁负绾挎х郴缁熴傜嚎鎬х郴缁熸槸鎸姩绯荤粺鏈绠鍗曟渶鏅亶鐨勬暟瀛︽ā鍨嬨備絾涓鑸儏鍐典笅锛岀嚎鎬х郴缁熷彧鏄尟鍔ㄧ郴缁熷湪灏忔尟骞呮潯浠朵笅鐨勮繎浼兼ā鍨嬨傚懆鏈...
绛旓細鍋绠璋愯繍鍔ㄧ殑鐗╀綋鐨勫姞閫熷害璺熺墿浣撳亸绂诲钩琛′綅缃殑浣嶇Щ澶у皬鎴愭姣旓紝鏂瑰悜涓庝綅绉荤殑鏂瑰悜鐩稿弽锛屾绘寚鍚戝钩琛′綅缃傜紪杈戞湰娈寰垎鏂圭▼瑙ｆ硶 鏂圭▼锛(d x)*(d x)/(d t*t)+kx/m=0 閫氳В锛歺(t)=c1*cos(kt)+c2*sin(kt) 鐗硅В锛歺(t)=x0*cos(kt)+v0/k*sin(kt) 浠わ細x0=Asin(sita) 缁...
绛旓細绠璋愯繍鍔ㄦ柟绋 寰垎鏂圭▼瑙ｆ硶 闃诲凹鎸姩 鍙楄揩鎸姩涓庡叡鎸 绠璋愯繍鍔 缂栬緫鏈瀹氫箟 绠璋愯繍鍔ㄥ張鍚绠璋愭尟鍔. 瀹氫箟锛氱墿浣撳湪璺熷亸绂诲钩琛′綅缃殑浣嶇Щ澶у皬鎴愭姣,鏂瑰悜鎬绘槸鎸囧悜骞宠 浣嶇疆鐨勫洖澶嶅姏浣滅敤涓鐨勬尟鍔鍙畝璋愯繍鍔.缂栬緫鏈鍥炲鍔 鍥炲鍔涚殑瀹氫箟锛氭尟瀛愬彈杩娇瀹冨洖澶嶅钩琛′綅缃殑鍔,鏄悎澶栧姏骞宠浜庨熷害鏂瑰悜涓婄殑鍒嗗姏. 濡傛灉...
绛旓細绠璋愯繍鍔ㄧ殑杩愬姩鏂圭▼涓猴細x锛滱cos锛埾塼锛嬒嗭級鍏朵腑A涓虹畝璋愯繍鍔ㄧ殑鎸箙锛屜夊彨鍋氳棰戠巼锛堟湁鏃朵篃琚О涓哄渾棰戠巼锛壪嗘槸鍒濈浉浣嶏紝浣嶇Щ鐨勪竴闃跺鏁版槸閫熷害锛屼簩闃跺鏁版槸鍔犻熷害銆傝绠璋愯繍鍔ㄦ柟绋嬪鏃堕棿姹備竴闃跺拰浜岄樁瀵兼暟鍙緱锛歷锛漝x锛廳t锛濓紞Asin锛埾塼锛嬒嗭級锛沘锛漝2x锛廳t2锛濓紞A蠅2锛埾塼锛嬒嗭級銆傛敞鎰忓钩琛′綅缃〃绀虹殑...
绛旓細鐗涢】杩愬姩瀹氬緥F=ma 鍙團涓烘姣旀仮澶嶅姏鏈塅=-kx 鍙堟湁a=d^2x / dt^2 甯﹀叆绗竴涓紡瀛愬氨鍙互寰楀埌-kx= m * d^2x / dt^2 涔︿笂涓轰簡绠鍖栬繍绠椾护k/m=蠅^2 瑙ｈ繖涓井鍒嗘柟绋嬪彲浠ョ湅鍋氫簩闃剁嚎鎬у父绯绘暟榻愭寰垎鏂圭▼锛岀洿鎺ユ眰鍏剁壒寰佹柟绋 涔熷彲浠ョ湅鍋氱己x,y'鍨鐨勫井鍒嗘柟绋锛屽埄鐢ㄩ棿鎺ユ崲鍏冩硶杩涜姹傝В ...
绛旓細鐜版牴鎹绠璋愯繍鍔ㄧ殑杩愬姩瀛鏂圭▼x=Asin(蠅t+ø)骞跺皢浣嶇Щ瀵规椂闂存眰涓娆″鏁癲x/dt锛屼粠鑰屾眰寰楋細v=dx/dt=A蠅cos(蠅t+ø)锛屽嵆绠璋愯繍鍔ㄧ殑閫熷害涓簐=vm cos(蠅t+ø),鍏朵腑vm浠ｈ〃绠璋愯繍鍔ㄧ殑鏈澶ч熷害锛坴m=A蠅锛夈傛樉鐒秞=Asin(蠅t+ø)銆乿=vm cos(蠅t+ø)娓呮櫚鍦板弽鏄犲嚭锛...
