简谐运动微分方程怎么解 如何解简谐运动微分方程
\u7b80\u8c10\u8fd0\u52a8\u7684\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u5982\u4f55\u89e3\u7528\u725b\u987f\u7b2c\u4e8c\u5b9a\u5f8b\u5217\u65b9\u7a0b\uff1a
F=ma
\u5176\u4e2dF\u4e3a\u5f39\u529b\uff0c\u9075\u5b88\u80e1\u514b\u5b9a\u5f8bF=-kx\uff0cx\u4e3a\u4f4d\u79fb\uff1bm\u4e3a\u8d28\u91cf\uff0c\u5f0f\u4e2d\u4e3a\u5e38\u6570\uff1ba\u4e3ax\u7684\u4e8c\u9636\u5bfc\u6570\u3002\u5373\uff1a
-kx=m(d²x/dt²)
\u6574\u7406\u6210\u6807\u51c6\u5f62\u5f0f\u7684\u4e8c\u9636\u7ebf\u6027\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\uff1a
(d²x/dt²)+(k/m)x=0
\u5176\u7279\u5f81\u65b9\u7a0b\u4e3a\uff1ar²+(k/m)=0
\u89e3\u5f97\u7279\u5f81\u6839\u4e3a\uff1a\u00b1\u221a(k/m)i\u2026\u2026\u2026\u2026\u2026\u2026i\u4e3a\u865a\u6570\u5355\u4f4d
\u6545\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u7684\u901a\u89e3\u4e3a\uff1a
Acos[t\u221a(k/m)]+Bsin[t\u221a(k/m)]\u2026\u2026\u2026\u2026\u2026\u2026A\u548cB\u4e3a\u4efb\u610f\u5e38\u6570\uff0c\u7531\u521d\u59cb\u4f4d\u7f6e\u548c\u901f\u5ea6\u51b3\u5b9a
\u6216\u8005\u5199\u6210\u5355\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u7684\u5f62\u5f0f\uff1a
Acos(\u03c9t+\u03c6)\u2026\u2026\u2026\u2026\u2026\u2026\u5176\u4e2d\u03c9=\u221a(k/m)
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\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u7b80\u8c10\u8fd0\u52a8\u7684\u4f4d\u79fbx=Rcos\uff08\u03c9t+\u03c6\uff09\uff1b
\u7b80\u8c10\u8fd0\u52a8\u7684\u901f\u5ea6v=-\u03c9Rsin\uff08\u03c9t+\u03c6\uff09\uff1b
\u7b80\u8c10\u8fd0\u52a8\u7684\u52a0\u901f\u5ea6a=-\u03c92Rcos\uff08\u03c9t+\u03c6\uff09\uff0c\u4e0a\u8ff0\u4e09\u5f0f\u5373\u4e3a\u7b80\u8c10\u8fd0\u52a8\u7684\u65b9\u7a0b\u3002
\u5f53\u67d0\u7269\u4f53\u8fdb\u884c\u7b80\u8c10\u8fd0\u52a8\u65f6\uff0c\u7269\u4f53\u6240\u53d7\u7684\u529b\u8ddf\u4f4d\u79fb\u6210\u6b63\u6bd4\uff0c\u5e76\u4e14\u603b\u662f\u6307\u5411\u5e73\u8861\u4f4d\u7f6e\u3002\u5b83\u662f\u4e00\u79cd\u7531\u81ea\u8eab\u7cfb\u7edf\u6027\u8d28\u51b3\u5b9a\u7684\u5468\u671f\u6027\u8fd0\u52a8\u3002\uff08\u5982\u5355\u6446\u8fd0\u52a8\u548c\u5f39\u7c27\u632f\u5b50\u8fd0\u52a8\uff09\u5b9e\u9645\u4e0a\u7b80\u8c10\u632f\u52a8\u5c31\u662f\u6b63\u5f26\u632f\u52a8\u3002\u6545\u6b64\u5728\u65e0\u7ebf\u7535\u5b66\u4e2d\u7b80\u8c10\u4fe1\u53f7\u5b9e\u9645\u4e0a\u5c31\u662f\u6b63\u5f26\u4fe1\u53f7\u3002
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\u5bf9\u4f4d\u79fb\u7684\u63a8\u5bfc\u4f7f\u7528\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u7684\u6709\u5173\u77e5\u8bc6\uff08\u03c9t+\u03c6\uff09\u5373\u89d2\u5ea6\uff0c\u8fd0\u7528\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u4fbf\u6c42\u51fa\u4e86O\u70b9\u4e0e\u7ed3\u675f\u4f4d\u7f6e\u7684\u8ddd\u79bb\uff0c\u5373\u4f4d\u79fb\u3002\uff08\u4f4d\u79fb\u4e3a\u8d1f\u6570\uff0c\u5373\u8bbe\u5b9a\u5de6\u8fb9\u65b9\u5411\u4e3a\u6b63\u65b9\u5411\uff09\u6240\u4ee5\u5f97\u51fa\u65b9\u7a0bx=Rcos\uff08\u03c9t+\u03c6\uff09\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1\u2014\u2014\u7b80\u8c10\u8fd0\u52a8
\u8fd9\u4e2a\u5e94\u8be5\u662f\u7269\u7406\u9898\u5427 \u4e24\u8fb9\u540c\u65f6\u79ef\u5206 \u5de6\u8fb9\u5bf9v\u79ef\u5206 \u53f3\u8fb9\u5bf9x\u79ef\u5206 \u540c\u65f6\u627e\u51c6\u4e0a\u4e0b\u9650
用牛顿第二定律列方程：
F=ma
其中F为弹力，遵守胡克定律F=-kx，x为位移；m为质量，式中为常数；a为x的二阶导数。即：
-kx=m(d²x/dt²)
整理成标准形式的二阶线性微分方程：
(d²x/dt²)+(k/m)x=0
其特征方程为：r²+(k/m)=0
解得特征根为：±√(k/m)i………………i为虚数单位
故微分方程的通解为：
Acos[t√(k/m)]+Bsin[t√(k/m)]………………A和B为任意常数，由初始位置和速度决定
或者写成单三角函数的形式：
Acos(ωt+φ)………………其中ω=√(k/m)
如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线。
扩展资料：
简谐运动的位移x=Rcos（ωt+φ）；
简谐运动的速度v=-ωRsin（ωt+φ）；
简谐运动的加速度a=-ω2Rcos（ωt+φ），上述三式即为简谐运动的方程。
当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且总是指向平衡位置。它是一种由自身系统性质决定的周期性运动。（如单摆运动和弹簧振子运动）实际上简谐振动就是正弦振动。故此在无线电学中简谐信号实际上就是正弦信号。
为了使示意图更加简洁，全部假设k=1，这样的话以为F回=-kx（并且在此强调此处负号只表示方向，不表示数值，所以在证明中使用数值关系时全部忽略负号），所以回复力F数值上和在图中的线段长度等于位移x，所以在两个示意图中都是用一条线表示的。
对位移的推导使用三角函数的有关知识（ωt+φ）即角度，运用三角函数便求出了O点与结束位置的距离，即位移。（位移为负数，即设定左边方向为正方向）所以得出方程x=Rcos（ωt+φ）。
参考资料来源：百度百科——简谐运动
1、无阻尼的简谐自由运动的微分方程：
mx''+kx=0 (1)
2、初始条件:
x(0)=x0 x'(0)=x'0 (2)
(1)的特征方程：ms^2+k=0 (3)
解出： s1=(k/m)^0.5 s2=-(k/m)^0.5 (4)
3、(1)的通x(t)=C1e^(s1t)+C2e^(s2t) （5）
根据（2）-> C1+C2=x0
C1s1+C2s2=x'0
简谐运动是最简单、最基本的机械振动，是物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力作用下的振动。简谐运动也是高中物理部分的重点知识之一。弄清简谐运动的规律对进一步学习机械波、交流电、电磁波等具有非常重要的意义。
扩展资料
简谐运动的特点
一、物体运动的路线不一定都是直线
例如，单摆摆球做简谐运动时的运动路线是在摆球平衡位置两侧并通过平衡位置的一段圆弧，即摆球的运动路线为曲线。
二、物体运动的速度方向与位移方向不一定相同
简谐运动的位移指的是振动物体偏离平衡位置的位移，位移的起点总是在平衡位置，那么当物体远离平衡位置时位移方向与速度方向相同，靠近平衡位置时位移方向与速度方向相反。
三、振动物体所受的回复力方向与物体所受的合力方向不一定相同
例如，单摆在平衡位置附近（小角度范围内）的摆动既做圆周运动，又做简谐运动，摆球所受到的各个力的合力既要提供其做圆周运动的向心力，又要提供其做简谐运动的回复力，即单摆振动过程中摆球受到所有力的合力的一个分力提供向心力，另一个分力提供回复力。那么回复力方向就与摆球所受到的各力的合力方向不相同。
四、物体在平衡位置不一定处于平衡状态
例如，单摆摆球做简谐运动经过平衡位置时，由于摆球的平衡位置在圆弧上，摆球在圆弧上做圆周运动需要向心力，故摆球在平衡位置处悬绳的拉力大于摆球的重力，即摆球在平衡位置并非处于平衡状态。
参考资料来源：百度百科-简谐运动
本题的解题过程如下：
1、无阻尼的简谐自由运动的微分方程：
mx''+kx=0 (1)
2、初始条件:
x(0)=x0 x'(0)=x'0 (2)
(1)的特征方程：ms^2+k=0 (3)
解出： s1=(k/m)^0.5 s2=-(k/m)^0.5 (4)
3、(1)的通x(t)=C1e^(s1t)+C2e^(s2t) （5）
根据（2）-> C1+C2=x0
C1s1+C2s2=x'0
4、解出C1,C2,代入s1,s2 就可以得到（1）的通解
5、对于强迫振动,方程为： mx''+kx=f(t) (6)
其解法是：先找出（6）的特解,再与（5）相加,就是(6)的通解.
参考资料来源：百度百科-简谐运动
错了，特征方程的解是一对共轭复根
用牛顿第二定律列方程：
F=ma
其中F为弹力，遵守胡克定律F=-kx，x为位移；m为质量，式中为常数；a为x的二阶导数。即：
-kx=m(d²x/dt²)
整理成标准形式的二阶线性微分方程：
(d²x/dt²)+(k/m)x=0
其特征方程为：r²+(k/m)=0
解得特征根为：±√(k/m)i………………i为虚数单位
故微分方程的通解为：
Acos[t√(k/m)]+Bsin[t√(k/m)]………………A和B为任意常数，由初始位置和速度决定
或者写成单三角函数的形式：
Acos(ωt+φ)………………其中ω=√(k/m)
绛旓細浠庢暟瀛﹁搴︼紝寰垎鏂圭▼鐨勮В鍙互鍐欐垚 x = A cos(蠅t) + B sin(蠅t) 銆亁 = A cos(蠅t + 蠁) 銆亁 = A sin(蠅t + 蠁)绛夊舰寮锛屼絾鏄负浜嗘柟渚垮垎鏋愬拰姣旇緝锛屽湪澶у鐗╃悊涓氨绾﹀畾閲囩敤 x = A cos(蠅t + 蠁)鐨勫舰寮忋
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