xsinx^2在0到pai求定积分为什么可以等于pai/2乘sin^x在0到pai积分 ∫(0到π)x(sinx)∧2dx为什么等于π/2∫(0到π...
xsinx\u79ef\u52060\u5230\u03c0\uff0c\u4e3a\u4ec0\u4e48x\u53ef\u4ee5\u5f53\u505a\u03c0/2\u63d0\u51fa\u53bb\u8bc1\u660e\u5982\u4e0b\uff1a
\u8bbex+t=\u03c0\uff0cI=\u222b(0-\u03c0) x sinx dx=\u222b(\u03c0-0)(\u03c0-t) sin(\u03c0-t) (-dt)=\u222b(0-\u03c0)(\u03c0-t)sint dt=\u222b(0-\u03c0)\u03c0 sinx dx-I2I=\u03c0\u222b(0-\u03c0)sinx dx
\u6240\u4ee5x\u53ef\u4ee5\u5f53\u505a\u03c0/2\u63d0\u51fa\u53bb\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599
\u8bbe\u51fd\u6570f(x) \u5728\u533a\u95f4[a,b]\u4e0a\u8fde\u7eed\uff0c\u5c06\u533a\u95f4[a,b]\u5206\u6210n\u4e2a\u5b50\u533a\u95f4[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], \u2026, (xn-1,xn]\uff0c\u5176\u4e2dx0=a\uff0cxn=b\u3002\u53ef\u77e5\u5404\u533a\u95f4\u7684\u957f\u5ea6\u4f9d\u6b21\u662f\uff1a\u25b3x1=x1-x0\uff0c\u5728\u6bcf\u4e2a\u5b50\u533a\u95f4(xi-1,xi]\u4e2d\u4efb\u53d6\u4e00\u70b9\u03bei\uff081,2,...,n\uff09\uff0c\u4f5c\u548c\u5f0f \u3002
\u8be5\u548c\u5f0f\u53eb\u505a\u79ef\u5206\u548c\uff0c\u8bbe\u03bb=max{\u25b3x1, \u25b3x2, \u2026, \u25b3xn}\uff08\u5373\u03bb\u662f\u6700\u5927\u7684\u533a\u95f4\u957f\u5ea6\uff09\uff0c\u5982\u679c\u5f53\u03bb\u21920\u65f6\uff0c\u79ef\u5206\u548c\u7684\u6781\u9650\u5b58\u5728\uff0c\u5219\u8fd9\u4e2a\u6781\u9650\u53eb\u505a\u51fd\u6570f(x) \u5728\u533a\u95f4[a,b]\u7684\u5b9a\u79ef\u5206\uff0c\u8bb0\u4e3a \uff0c\u5e76\u79f0\u51fd\u6570f(x)\u5728\u533a\u95f4[a,b]\u4e0a\u53ef\u79ef\u3002 [2] \u5176\u4e2d\uff1aa\u53eb\u505a\u79ef\u5206\u4e0b\u9650\uff0cb\u53eb\u505a\u79ef\u5206\u4e0a\u9650\uff0c\u533a\u95f4[a, b]\u53eb\u505a\u79ef\u5206\u533a\u95f4\uff0c\u51fd\u6570f(x)\u53eb\u505a\u88ab\u79ef\u51fd\u6570\uff0cx\u53eb\u505a\u79ef\u5206\u53d8\u91cf\uff0cf(x)dx \u53eb\u505a\u88ab\u79ef\u8868\u8fbe\u5f0f\uff0c\u222b \u53eb\u505a\u79ef\u5206\u53f7\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u5b9a\u79ef\u5206
证明如下：
设x+t=π，I=∫(0-π) x sinx dx=∫(π-0)(π-t) sin(π-t) (-dt)=∫(0-π)(π-t)sint dt=∫(0-π)π sinx dx-I
2I=π∫(0-π)sinx dx
所以x可以当做π/2提出去。
或
证：x+t=π
I=∫(0-π) x sinx dx
=∫(π-0)(π-t) sin(π-t) (-dt)
=∫(0-π)(π-t)sint dt
=∫(0-π)π sinx dx-I
2I=π∫(0-π)sinx dx
黎曼积分
定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间［a，b］上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间［a，b］的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a，b。
证明如下：
设x+t=π，I=∫(0-π) x sinx dx=∫(π-0)(π-t) sin(π-t) (-dt)=∫(0-π)(π-t)sint dt=∫(0-π)π sinx dx-I
2I=π∫(0-π)sinx dx
所以x可以当做π/2提出去。
或
证：x+t=π
I=∫(0-π) x sinx dx
=∫(π-0)(π-t) sin(π-t) (-dt)
=∫(0-π)(π-t)sint dt
=∫(0-π)π sinx dx-I
2I=π∫(0-π)sinx dx
不定积分的公式：
1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + C
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + C
6、∫ cosx dx = sinx + C
7、∫ sinx dx = - cosx + C
8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C
证明如下：
设x+t=π
I=∫(0-π) x sinx dx
=∫(π-0)(π-t) sin(π-t) (-dt)
=∫(0-π)(π-t)sint dt
=∫(0-π)π sinx dx-I
2I=π∫(0-π)sinx dx
所以x可以当做π/2提出去。
一般定理
定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。
如图
绛旓細璁緓+t=蟺锛孖=鈭(0-蟺) x sinx dx=鈭(蟺-0)(蟺-t) sin(蟺-t) (-dt)=鈭(0-蟺)(蟺-t)sint dt=鈭(0-蟺)蟺 sinx dx-I2I=蟺鈭(0-蟺)sinx dx 鎵浠鍙互褰撳仛蟺/2鎻愬嚭鍘汇傛垨 璇侊細x+t=蟺 I=鈭(0-蟺) x sinx dx =鈭(蟺-0)(蟺-t) sin(蟺-t) (-dt)=鈭(0-蟺)(...
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