求数列an的通项公式有哪些方法？ 求数列的通项公式有哪几种方法？
\u6c42\u6570\u5217an\u7684\u901a\u9879\u516c\u5f0f\u6709\u54ea\u51e0\u79cd\u65b9\u6cd5\u2460\u7b49\u5dee\u6570\u5217\u548c\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u6709\u901a\u9879\u516c\u5f0f
\u2461\u7d2f\u52a0\u6cd5\uff1a\u7528\u4e8e\u9012\u63a8\u516c\u5f0f\u4e3a \uff0c\u4e14f(n)\u53ef\u4ee5\u6c42\u548c
\u2462\u7d2f\u4e58\u6cd5\uff1a\u7528\u4e8e\u9012\u63a8\u516c\u5f0f\u4e3a \u4e14f(n)\u53ef\u6c42\u79ef
\u2463\u6784\u9020\u6cd5\uff1a\u5c06\u975e\u7b49\u5dee\u6570\u5217\u3001\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\uff0c\u8f6c\u6362\u6210\u76f8\u5173\u7684\u7b49\u5dee\u7b49\u6bd4\u6570\u5217
\u2464\u9519\u4f4d\u76f8\u51cf\u6cd5\uff1a\u7528\u4e8e\u5f62\u5982\u6570\u5217\u7531\u7b49\u5dee\u00d7\u7b49\u6bd4\u6784\u6210\uff1a\u5982an=n\u00b72^n
\u3010\u7d2f\u52a0\u6cd5\u3011
\u6c42\u6570\u91cf1\u30011/2\u30011/4\u30011/7 \u2026\u2026\u7684\u901a\u9879\u516c\u5f0f
\u89e3\uff1a\u5148\u770b\u6570\u52171,2,4,7\u2026\u2026
\u7814\u7a76\u5b83\u7684\u89c4\u5f8b\u53d1\u73b0\uff1a
a1=1
a2=a1+1
a3=a2+2
---------
an=a(n-1)+(n-1)
\u4e0a\u8ff0\u5f0f\u5b50\u76f8\u52a0\u5f97\uff1a
a1+a2+a3+----+a(n-1)+an=a1+a2+a3+----+a(n-1)+1+1+2+3+---+(n-1)
an=1+1+2+3+---+(n-1)
=1+n(n-1)/2
=(n²-n+2)/2
\u6240\u4ee51\u30011/2\u30011/4\u30011/7 \u7684\u901a\u9879\u516c\u5f0f\u662fan=2/(n²-n+2).
\u6570\u5217{an},a1=1,an=3^(n-1)+an-1,n>=2,\u6c42an\u901a\u9879\u516c\u5f0f
\u89e3\uff1aan=3^(n-1)+a(n-1)
an-a(n-1)=3^(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=3^(n-2)
a(n-2)-a(n-3)=3^(n-3)
......
a2-a1=3
\u7d2f\u52a0\u5f97\uff1aan-a1=3^(n-1)+3^(n-2)+...+3=(3^n -3)/2
an=3^n/2-1/2
\u3010\u5229\u7528Sn\u4e0ean\u7684\u5173\u7cfb\u89e3\u9898\u3011
\u8bbesn\u4e3a\u6570\u5217an\u7684\u524dn\u9879\u548c \u4e14SN=2\u5206\u4e4b3\u7684AN-1\u6c42AN\u7684\u901a\u9879\u516c\u5f0f
\u89e3\uff1aSn=3/2(an-1),\u6240\u4ee5S(n-1)=3/2(a(n-1)-1),
a[n]=S[n]-S[n-1]=3/2(a[n]-a[n-1])\uff0c\u5f97a[n]=3a[n-1]
\u2234a[n]\u662f\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\uff0c\u516c\u6bd4\u662f3\uff0c\u53c8a1=S1=3/2(a1-1)\uff0c\u89e3\u5f97a1=3
\u2234a[n]=3*3^(n-1)=3^n.
\u8bbe\u6570\u5217{An}\u7684\u524d\u9879\u548c\u4e3aSn,A1=10.An+1=9Sn+10.\u6c42\u6570\u5217{An}\u7684\u901a\u9879\u516c\u5f0f
\u89e3\uff1aAn+1=9Sn+10
An=9S(n-1)+10
An=Sn-S(n-1)=(1/9)[A(n+1)-An]
A(n+1)/An=10
\u6240\u4ee5\u4e3a\u7b49\u6bd4\u6570\u5217 A1=10,q=10
An=10*10^(n-1)=10^n
\u8bbe\u5404\u9879\u90fd\u4e3a\u6b63\u6570\u7684\u6570\u5217{an}\u7684\u524dn\u9879\u548c\u4e3aSn,\u4e14Sn=1/2(an+1/an) \uff0c\u6c42an\u7684\u901a\u9879\u516c\u5f0f
\u89e3\u6cd5\u4e00\uff1a
Sn=1/2(an+1/an)
S(n-1)=Sn-an=1/2(1/an-an)
Sn+S(n-1)=1/an
Sn-S(n-1)=an
\u4e0a\u9762\u4e24\u5f0f\u76f8\u4e58\u5f97\uff1a
Sn^2-S(n-1)^2=1
S1=a1=1/2(a1+1/a1),a1=1
{Sn^2}\u662f\u9996\u9879\u4e3aS1^2=1,\u516c\u5dee\u4e3a1\u7684\u7b49\u5dee\u6570\u5217
Sn^2=n
Sn=\u221an
an=Sn-S(n-1)=\u221an-\u221a(n-1)
\u89e3\u6cd5\u4e8c\uff1a
\u4e24\u8fb9\u540c\u4e582an 2anSn=an²+1
2\uff08Sn-Sn-1\uff09Sn=\uff08Sn-Sn-1\uff09²+1
\uff08Sn-Sn-1\uff09\u30102Sn-\uff08Sn-Sn-1\uff09\u3011=1
Sn²-Sn-1²=1
a1=Sn=1
Sn²=n
an=Sn-Sn-1=\u221an-\u221a\uff08n-1)
\u3010\u6784\u9020\u7b49\u5dee\u6570\u5217\u3011
\u6570\u5217a\uff081\uff09=1,a(n)=1/3a(n-1)+(1/3)^n \u5219{an}\u7684\u901a\u9879\u516c\u5f0f\u662f\uff1f
\u89e3\uff1aa(n)=1/3a(n-1)+(1/3)^n
\u4e24\u8fb9\u540c\u4e58\u4ee53^n\u5f97\uff1a
3^n a(n)= 3^(n-1) a(n-1)+1,
\u8fd9\u8bf4\u660e\u6570\u5217{3^n a(n)}\u662f\u7b49\u5dee\u6570\u5217\uff0c\u516c\u5dee\u4e3a1\uff0c
\u9996\u9879\u4e3a3a1=3,
\u6240\u4ee53^n a(n)=3+(n-1)*1
3^n a(n)=n+2
a(n)=(n+2)/ 3^n.
\u8bbe\u6570\u5217\uff5ba(n)}\u7684\u524dn\u9879\u548cSn=2a(n)-2^n. \u6c42\u6570\u5217a(n)\u7684\u901a\u9879\u516c\u5f0f\u3002
\u89e3\uff1a\u5f53n=1\u65f6\uff0c\u6709a1=S1=2a1-2\uff0c\u89e3\u5f97\uff1aa1=2\uff1b
\u5f53n>1\u65f6\uff0cSn=2an-2^n=2an-2*2^(n-1)\uff0cS(n-1)=2a(n-1)-2^(n-1)
\u6240\u4ee5an=Sn-S(n-1)=[2an-2*2^(n-1)]-[2a(n-1)-2^(n-1)]=2an-2a(n-1)-2^(n-1).
\u6574\u7406\u5f97\uff1aan-2a(n-1)=2^(n-1).
\u4e24\u8fb9\u540c\u65f6\u9664\u4ee52^n\uff0c\u5f97\uff1aan/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=1/2.
\u56e0\u4e3aa1/2^1=1\uff0c\u6240\u4ee5\u6570\u5217{an/2^n}\u662f\u4ee51\u4e3a\u9996\u9879\uff0c1/2\u4e3a\u516c\u5dee\u7684\u7b49\u5dee\u6570\u5217.
\u6240\u4ee5an/2^n=a1/2^1+(n-1)*d=1+(n-1)/2=(n+1)/2\uff0c
\u6240\u4ee5an=(n+1)*2^(n-1).
\u56e0\u4e3aa1=2=(1+1)*2^(1-1)\uff0c\u7b26\u5408\u4e0a\u5f0f.
\u6240\u4ee5\u6570\u5217{an}\u7684\u901a\u9879\u516c\u5f0f\u4e3aan=(n+1)*2^(n-1).
\u6570\u5217{an}\u6ee1\u8db3a1=3 a(n+1)=3an+3^n+1\u6c42\u901a\u9879\u516c\u5f0f
\u89e3\uff1aa(n+1)=3an+3^(n+1),\u4e24\u8fb9\u540c\u9664\u4ee53^(n+1)\u53ef\u5f97\uff1a
a(n+1)/ 3^(n+1)= 3an/ 3^(n+1)+1,
a(n+1)/ 3^(n+1)= an/ 3^n+1,
\u8bbean/ 3^n=bn,\u5219b(n+1)=bn+1,
\u8fd9\u8bf4\u660e\u6570\u5217{bn}\u662f\u516c\u5dee\u4e3a1\u7684\u7b49\u5dee\u6570\u5217\uff0c\u9996\u9879\u4e3ab1=a1/3=1.
bn=b1+(n-1)•1=1+(n-1)•1=n.
\u5373an/ 3^n=n,
\u2234an=n•3^n.
\u3010\u5f85\u5b9a\u7cfb\u6570\u6cd5\u6784\u9020\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u3011
\u6570\u5217{An}a1=1 , 3an-a(n-1)=n \u6c42An \u7684\u901a\u9879\u516c\u5f0f
\u89e3\uff1a 3an=a(n-1)+n,
an=1/3[a(n-1)+n]\u2026\u2026\u2460
\u8bbean+xn+y=1/3[a(n-1)+ x(n-1)+y ]\u2026\u2026\u2461,\u5176\u4e2dx\uff0cy\u662f\u5f85\u5b9a\u7684\u5e38\u6570\u3002
\u2460\u2461\u4e24\u5f0f\u6bd4\u8f83\u53ef\u77e5\uff1ax=-1/2\uff0cy=1/4,
\u6240\u4ee5an-1/2n+1/4=1/3[a(n-1)-1/2(n-1)+1/4 ],
\u8fd9\u8bf4\u660e\u6570\u5217{ an-1/2n+1/4}\u662f\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\uff0c\u516c\u6bd4\u4e3a1/3,\u9996\u9879\u4e3aa1-1/2+1/4=3/4.
\u6839\u636e\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u7684\u901a\u9879\u516c\u5f0f\u5f97\uff1a
an-1/2n+1/4=3/4•(1/3)^(n-1),
an=3/4•(1/3)^(n-1)+1/2n-1/4.
\u5df2\u77e5\u6570\u5217{an}\u7684\u9996\u9879a1=3/5 , a(n+1)=3an/2an +1,n=1,2,3... \u6c42{an}\u7684\u901a\u9879\u516c\u5f0f
\u89e3\uff1aa(n+1)=3an/(2an +1),
\u53d6\u5012\u6570\u5f97\uff1a
1/ a(n+1)= (2an +1) /(3an),
\u53731/ a(n+1)=2/3+1/(3an),
1/ a(n+1)-1=1/3(1/an-1),
\u6240\u4ee5\u6570\u5217{1/an-1}\u662f\u516c\u6bd4\u4e3a1/3\u7684\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\uff0c\u9996\u9879\u4e3a1/a1-1=2/3.
\u6240\u4ee51/an-1=2/3•(1/3)^(n-1),
1/an=1+2/3^n,
an=1/(1+2/3^n)
an=3^n/(3^n+2).
\u3010\u7279\u5f81\u6839\u6cd5\u3011
A(n+2)=pA(n+1)+qAn\uff0c p,q\u4e3a\u5e38\u6570
\uff081\uff09\u901a\u5e38\u8bbe\uff1a A(n+2)-mA(n+1)=k[A(n+1)-mAn],
\u5219 m+k=p, mk=-q
\uff082\uff09\u7279\u5f81\u6839\u6cd5\uff1a
\u7279\u5f81\u65b9\u7a0b\u662fy²=py+q\uff08\u203b\uff09
\u6ce8\u610f\uff1a\u2460 m n\u4e3a\uff08\u203b\uff09\u4e24\u6839\u3002
\u2461 m n\u53ef\u4ee5\u4ea4\u6362\u4f4d\u7f6e\uff0c\u4f46\u5176\u7ed3\u679c\u6216\u51fa\u73b0\u4e24\u79cd\u622a\u7136\u4e0d\u540c\u7684\u6570\u5217\u5f62\u5f0f\uff0c\u4f46\u540c\u6837\u90fd\u53ef\u4ee5\u8ba1\u7b97An\uff0c\u800c\u4e14\u8fd8\u4f1a\u6709\u610f\u60f3\u4e0d\u5230\u7684\u60ca\u559c\uff0c\u563f\u563f
\u2462 m n\u4ea4\u6362\u4f4d\u7f6e\u540e\u53ef\u4ee5\u5206\u522b\u6784\u9020\u51fa\u4e24\u7ec4An\u548cA(n+1)\u7684\u9012\u63a8\u516c\u5f0f\uff0c\u8fd9\u4e2a\u65f6\u4faf\u4f60\u4f1a\u53d1\u73b0\uff0c\u8fd9\u662f\u4e00\u4e2a\u5173\u4e8eAn\u548cA(n+1)\u7684\u4e8c\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u7ec4\uff0c\u90a3\u4e48\u4e0d\u5c31\u53ef\u4ee5\u6d88\u53bbA\uff08n+1\uff09\uff0c\u7559\u4e0bAn\uff0c\u5f97\u4e86\uff0cAn\u6c42\u51fa\u6765\u4e86\u3002
\u4f8b\uff1aA1=1,A2=1,A(n+2)= 5A\uff08n+1\uff09-6An\uff0c
\u7279\u5f81\u65b9\u7a0b\u4e3a\uff1ay²= 5y-6
\u90a3\u4e48\uff0cm=3,n=2,\u6216\u8005m=2\uff0cn=3
\u4e8e\u662f\uff0cA\uff08n+2\uff09-3A\uff08n+1\uff09=2[A\uff08n+1\uff09-3An] (1)
A\uff08n+2\uff09-2A\uff08n+1\uff09=3[A\uff08n+1\uff09-2An] (2)
\u6240\u4ee5\uff0cA\uff08n+1\uff09-3A\uff08n\uff09= - 2 ^ n (3)
A\uff08n+1\uff09-2A\uff08n\uff09= - 3 ^ (n-1) (4)
\u6d88\u5143\u6d88\u53bbA\uff08n+1\uff09\uff0c\u5c31\u662fAn,
An=- 3 ^ (n-1) +2 ^ n.
①等差数列和等比数列有通项公式。
②累加法：用于递推公式为an+1=an+f（n），且f(n)可以求和。
③累乘法：用于递推公式为an+1/an=f（n） 且f(n)可求积。
④构造法：将非等差数列、等比数列，转换成相关的等差等比数列。
⑤错位相减法：用于形如数列由等差×等比构成：如an=n·2^n。
按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{an} 的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的通项公式。这正如函数的解析式一样，通过代入具体的n值便可求知相应an 项的值。而数列通项公式的求法，通常是由其递推公式经过若干变换得到。
扩展资料
等差数列的其他推论：
① 和=（首项+末项）×项数÷2；
②项数=（末项-首项）÷公差+1；
③首项=2x和÷项数-末项或末项-公差×（项数-1）；
④末项=2x和÷项数-首项；
⑤末项=首项+（项数-1）×公差；
⑥2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和。
一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。
例：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求该数列的通项公式an。
解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。
二、已知数列的前n项和，用公式
S1 (n=1)
Sn-Sn-1 (n2)
例：已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5
(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6
解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8 ∴k=8 选 (B)
此类题在解时要注意考虑n=1的情况。
三、已知an与Sn的关系时，通常用转化的方法，先求出Sn与n的关系，再由上面的(二)方法求通项公式。
例：已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求数列{an}的通项公式。
解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，两边同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-}
是以-为首项，-1为公差的等差数列，∴-= -，Sn= -，
再用(二)的方法：当n2时，an=Sn-Sn-1=-，当n=1时不适合此式，所以，
- (n=1)
- (n2)
四、用累加、累积的方法求通项公式
对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。
例：设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式
解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0
又∵{an}是首项为1的正项数列，∴an+1+an
≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,这n-1个式子，将其相乘得：∴ -=-，
又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N*)
五、用构造数列方法求通项公式
题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有
an(或Sn)的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an(或Sn)与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。
例：已知数列{an}中，a1＝2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,……
(1)求{an}通项公式 (2)略
解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--＝ (--1)(an--)
∴{an--}是首项为a1--，公比为--1的等比数列。
由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--) ，于是an=(--1)n-1(2--)+-
又例：在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈N*)，证明数列{an-n}是等比数列。
证明：本题即证an+1-(n+1)=q(an-n) (q为非0常数)
由an+1=4an-3n+1，可变形为an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，
所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。
若将此问改为求an的通项公式，则仍可以通过求出{an-n}的通项公式，再转化到an的通项公式上来。
又例：设数列{an}的首项a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通项公式。(2)略
解：由an=-，n=2,3,4,……，整理为1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首项为1-a1，公比为--的等比数列，得an=1-(1-a1)(--)n-1
一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。
例：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求该数列的通项公式an。
解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。
二、已知数列的前n项和，用公式
S1
(n=1)
Sn-Sn-1
(n2)
例：已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5
(A)
9
(B)
8
(C)
7
(D)
6
解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8
∴k=8
选
(B)
此类题在解时要注意考虑n=1的情况。
三、已知an与Sn的关系时，通常用转化的方法，先求出Sn与n的关系，再由上面的(二)方法求通项公式。
例：已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求数列{an}的通项公式。
解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，两边同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-}
是以-为首项，-1为公差的等差数列，∴-=
-，Sn=
-，
再用(二)的方法：当n2时，an=Sn-Sn-1=-，当n=1时不适合此式，所以，
-
(n=1)
-
(n2)
四、用累加、累积的方法求通项公式
对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。
例：设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式
解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0
又∵{an}是首项为1的正项数列，∴an+1+an
≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,这n-1个式子，将其相乘得：∴
-=-，
又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N*)
五、用构造数列方法求通项公式
题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有
an(或Sn)的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an(或Sn)与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。
例：已知数列{an}中，a1＝2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,……
(1)求{an}通项公式
(2)略
解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--＝
(--1)(an--)
∴{an--}是首项为a1--，公比为--1的等比数列。
由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--)
，于是an=(--1)n-1(2--)+-
又例：在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈N*)，证明数列{an-n}是等比数列。
证明：本题即证an+1-(n+1)=q(an-n)
(q为非0常数)
由an+1=4an-3n+1，可变形为an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，
所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。
若将此问改为求an的通项公式，则仍可以通过求出{an-n}的通项公式，再转化到an的通项公式上来。
又例：设数列{an}的首项a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通项公式。(2)略
解：由an=-，n=2,3,4,……，整理为1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首项为1-a1，公比为--的等比数列，得an=1-(1-a1)(--)n-1
已知Sn的话，下标减一再相减，除此之外。累加，累乘。
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