牛顿二项式的公式是什么 牛顿二项式公式谁能解释一下
\u725b\u987f\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406\u662f\u600e\u4e48\u6765\u7684?1665\u5e74\uff0c\u725b\u987f\u628a\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406\u63a8\u5e7f\u5230n\u4e3a\u5206\u6570\u4e0e\u8d1f\u6570\u7684\u60c5\u5f62\uff0c\u7ed9\u51fa\u4e86\u7684\u5c55\u5f00\u5f0f\u3002
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\u3000\u3000\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406:\u3000\u53eb\u4e8c\u9879\u5f0f\u7cfb\u6570\uff080\u2264r\u2264n\uff09.\u901a\u9879\u7528Tr+1\u8868\u793a\uff0c\u4e3a\u5c55\u5f00\u5f0f\u7684\u7b2cr+1\u9879\uff0c\u4e14, \u6ce8\u610f\u9879\u7684\u7cfb\u6570\u548c\u4e8c\u9879\u5f0f\u7cfb\u6570\u7684\u533a\u522b.
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\u51fa
\u4e5f\u8bb8\uff0c\u8fd9\u79cd\u5f62\u5f0f\u770b\u8d77\u6765\u5c31\u6bd4\u8f83\u719f\u6089\u4e86\u3002
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\u4f46\u662f\uff0c\u5f53\u6307\u6570\u662f\u8d1f\u6570\u65f6\uff0c\u53c8\u6709\u4e00\u4e2a\u5b8c\u5168\u4e0d\u540c\u7684\u60c5\u51b5\u6446\u5728\u725b\u987f\u9762\u524d\u3002\u4f8b\u5982\uff0c\u5c55\u5f00(1\uff0bx)\uff0d3\uff0c\u6839\u636e\u725b\u987f\u516c\u5f0f\uff0c\u6211\u4eec\u5f97\u5230
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\u6240\u4ee5
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\u725b\u987f\u57281669\u5e74\u4e2d\u64b0\u8457\u7684\u300a\u8fd0\u7528\u65e0\u7a77\u591a\u9879\u65b9\u7a0b\u7684\u5206\u6790\u5b66\u300b\u4e00\u4e66\u4e2d\u63d0\u51fa\u4e86\u9006\u6d41\u6570\u95ee\u9898\uff0c\u4f46\u8fd9\u90e8\u8bba\u8457\u76f4\u52301711\u5e74\u624d\u53d1\u8868\u3002\u8fd9\u662f\u725b\u987f\u7b2c\u4e00\u6b21\u63d0\u51fa\u9006\u6d41\u6570\u95ee\u9898\uff0c\u4ed6\u5c06\u4ed6\u7684\u8fd9\u90e8\u8bba\u6587\u4ea4\u7ed9\u51e0\u4e2a\u6570\u5b66\u540c\u4e8b\u4f20\u9605\u3002\u6bd4\u5982\uff0c\u6211\u4eec\u77e5\u9053\uff0c\u827e\u8428\u514b\u00b7\u5df4\u7f57\u5c31\u66fe\u770b\u5230\u8fc7\u8fd9\u90e8\u8bba\u6587\uff0c\u4ed6\u57281669\u5e747\u670820\u65e5\u7ed9\u4ed6\u4e00\u4e2a\u719f\u4eba\u7684\u4fe1\u91cc\u5199\u9053\uff1a\u201c\u2026\u2026\u6211\u7684\u4e00\u4e2a\u670b\u53cb\u2026\u2026\u5728\u8fd9\u4e9b\u95ee\u9898\u4e0a\u5f88\u6709\u5929\u5206\uff0c\u4ed6\u66fe\u5e26\u7ed9\u6211\u51e0\u7bc7\u8bba\u6587\u3002\u201d\u5df4\u7f57\u6216\u300a\u5206\u6790\u5b66\u300b\u4e00\u4e66\u7684\u4efb\u4f55\u5176\u4ed6\u8bfb\u8005\u9047\u5230\u7684\u7b2c\u4e00\u4e2a\u6cd5\u5219\u5982\u4e0b\u3002
\u8bbe\u4efb\u610f\u66f2\u7ebfAD\u7684\u5e95\u8fb9\u4e3aAB\uff0c\u5176\u5782\u76f4\u7eb5\u8fb9\u4e3aBD\uff0c\u8bbeAB\uff1dx\uff0c
BD\uff1dy\uff0c\u5e76\u8bbea\u3001b\u3001c\u7b49\u4e3a\u5df2\u77e5\u91cf\uff0cm\u548cn\u4e3a\u6574\u6570\u3002\u5219\uff1a
\u5230x\u70b9\u4e4b\u5185\u7684\u56fe\u5f62\u7684\u9762\u79ef\u3002\u6839\u636e\u725b\u987f\u6cd5\u5219\uff0c\u8fd9\u4e00\u56fe\u5f62\u7684\u9762\u79ef\u4e3a
\u6309\u7167\u725b\u987f\u516c\u5f0f\uff0c\u9762\u79ef\u4e3a12x2\uff0c\u5bf9\u8fd9\u4e00\u7ed3\u679c\uff0c\u53ef\u4ee5\u5f88\u5bb9\u6613\u5730\u7528\u4e09\u89d2\u5f62\u9762\u79ef\u516c\u5f0f
\u725b\u987f\u53c8\u8fdb\u4e00\u6b65\u8bf4\u660e\u4e86\u300a\u5206\u6790\u5b66\u300b\u4e00\u4e66\u7684\u6cd5\u52192\uff0c\u201c\u5982\u679cy\u503c\u662f\u7531\u51e0\u9879\u4e4b\u548c\u7ec4\u6210\u7684\uff0c\u90a3\u4e48\uff0c\u5176\u9762\u79ef\u4e5f\u540c\u6837\u7b49\u4e8e\u6bcf\u4e00\u9879\u9762\u79ef\u4e4b\u548c\u3002\u201d\u4f8b\u5982\uff0c\u4ed6\u5199\u9053\uff0c\u66f2
\u90a3\u4e48\uff0c\u725b\u987f\u6240\u91c7\u7528\u7684\u4e24\u4e2a\u5de5\u5177\u5c31\u662f\uff1a\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406\u548c\u6c42\u4e00\u5b9a\u66f2\u7ebf\u4e0b\u9762\u79ef\u7684\u6d41\u6570\u6cd5\u3002\u4ed6\u8fd0\u7528\u8fd9\u4e24\u4e2a\u5de5\u5177\uff0c\u53ef\u4ee5\u5f97\u5fc3\u5e94\u624b\u5730\u89e3\u51b3\u8bb8\u591a\u590d\u6742\u7684\u6570\u5b66\u4e0e\u7269\u7406\u95ee\u9898\uff0c\u800c\u6211\u4eec\u5c06\u8981\u770b\u5230\u7684\u662f\u725b\u987f\u5982\u4f55\u5e94\u7528\u8fd9\u4e24\u4e2a\u5de5\u5177\uff0c\u4f7f\u4e00\u4e2a\u53e4\u8001\u7684\u95ee\u9898\u83b7\u5f97\u4e86\u5168\u65b0\u7684\u751f\u547d\uff1a\u8ba1\u7b97\u03c0\u7684\u8fd1\u4f3c\u503c\u3002\u6211\u4eec\u5728\u7b2c\u56db\u7ae0\u7684\u540e\u8bb0\u4e2d\uff0c\u8ffd\u6eaf\u4e86\u8fd9\u4e00\u8457\u540d\u6570\u5b57\u7684\u67d0\u4e9b\u5386\u53f2\uff0c\u786e\u8ba4\u4e86\u67d0\u4e9b\u5b66\u8005\uff0c\u5982\u963f\u57fa\u7c73\u5fb7\u3001\u97e6\u8fbe\u548c\u5362\u9053\u5c14\u592b\u00b7\u51af\u745f\u4f26\u5728\u8ba1\u7b97\u66f4\u7cbe\u786e\u7684\u03c0\u8fd1\u4f3c\u503c\u65b9\u9762\u6240\u4f5c\u51fa\u7684\u8d21\u732e\u30021670\u5e74\u5de6\u53f3\uff0c\u8fd9\u4e2a\u95ee\u9898\u5f15\u8d77\u4e86\u827e\u8428\u514b\u00b7\u725b\u987f\u7684\u6ce8\u610f\u3002\u4ed6\u8fd0\u7528\u4ed6\u5947\u5999\u7684\u65b0\u65b9\u6cd5\uff0c\u5bf9\u8fd9\u4e00\u53e4\u8001\u95ee\u9898\u8fdb\u884c\u7814\u7a76\uff0c\u5e76\u53d6\u5f97\u4e86\u8f89\u714c\u7684\u6210\u5c31\u3002
二项式定理论述了(a＋b)n的展开式。人们只要有初步的代数知识和足够的毅力，便可以得到如下公式，
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
等等。对于(a＋b)12，人们显然希望不必经由(a＋b)十几次自乘的冗长计算，就能够发现其展开式中a7b5的系数。早在牛顿出生之前很久，人们便已提出并解决了二项式的展开式问题。中国数学家杨辉早在13世纪就发现了二项式的秘密，但他的著作直到近代才为欧洲人所知。维埃特在其《分析术引论》前言的命题XI中也同样论证了二项式问题。但这一伟大发现通常是以布莱兹·帕斯卡的名字命名的。帕斯卡注意到，二项式的系数可以很容易地从我们现在称为“帕斯卡三角”的排列中得到：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
等等
在这个三角形中，每一个新增数字都等于其上左右两个数字之和。因此，根据帕斯卡三角，下一行的数值为
1 8 28 56 70 56 28 8 1
例如，表值56就等于其上左右两个数字21＋35之和。
帕斯卡三角与（a＋b）8展开式之间的联系是非常直接的，因为三角形的最后一行数值为我们提供了必要的系数，即
（a＋b）8＝a8＋8a7b＋28a6b2＋56a5b3
＋70a4b4＋56a3b5＋28a2b6＋8ab7＋b8
我们只要将三角形的数值再向下延伸几行，就可以得到（a＋b）12展开式中a7b5的系数为792。所以，帕斯卡三角的实用性是非常明显的。
年轻的牛顿经过对二项展开式的研究，发明了一个能够直接导出二项式系数的公式，而不必再繁琐地延伸三角形到所需要的那行了。并且，他对模式的持续性的固有信念使他认为，能够正确推导出诸如(a＋b)2或(a＋b)3
这种形式的二项式。
关于分数指数和负数指数问题，在此还需多说一句。我们知道，在初等
这些关系。
以下所列牛顿的二项展开式公式是他在1676年写给其同时代伟人戈特弗里德·威廉·莱布尼兹的一封信中阐明的（此信经由皇家学会的亨利·奥尔登伯格转交）。牛顿写道：
项式的“指数是整数还是（比如说）分数，是正数还是负数”的问题。公式中的A、B、C等表示展开式中该字母所在项的前一项。
对于那些见过现代形式的二项展开式的读者来说，牛顿的公式可能显得过于复杂和陌生。但只要仔细研究一下，就可以解决读者的任何疑问。我们首先来看，
出
也许，这种形式看起来就比较熟悉了。
我们不妨应用牛顿的公式来解一些具体例题。例如，在展开(1＋x)3时，
这恰恰就是帕斯卡三角的非列系数。并且，由于我们的原指数是正整数3，所以，展开式到第四项结束。
但是，当指数是负数时，又有一个完全不同的情况摆在牛顿面前。例如，展开(1＋x)－3，根据牛顿公式，我们得到
或简化为
方程右边永远没有终止。应用负指数定义，这一方程就成为
或其等价方程
牛顿将上式交叉相乘并消去同类项，证实
（1＋3x＋3x2＋x3）（1＋3x＋6x2－10x3＋15x4－……）＝1
牛顿用等式右边的无穷级数自乘，也就是求这无穷级数的平方，以检验这一貌似奇特的公式，其结果如下：
所以
这就证实了
与牛顿原推导结果相同。
牛顿写道；“用这一定理进行开方运算非常简便。”例如，假设我们求
现在，将等式右边的平方根代入前面标有（）符号的二项展开式中的前6项，当然，此处要用29替换原公式中的x，因而，我
了前6个常数项。如果我们取二项展开式中更多的项，我们就会得到更加精确的近似值。并且，我们还可以用同样的方法求出三次根、四次根，等等，
续演算。
别奇怪的。而真正令人吃惊的是，牛顿的二项式定理精确地告诉我们应该采用哪些分数，而这些分数则是以一种完全机械的方式得出的，无须任何特殊的见解与机巧。这显然是一个求任何次方根的有效而巧妙的方法。
二项式定理是我们即将讨论的伟大定理的两个必要前提之一。另一个前提是牛顿的逆流数，也就是我们今天所说的积分。但是，对逆流数的详尽说明属于微积分问题，超出了本书的范围。然而，我们可以用牛顿的话来阐述其重要定理，并举一两个例子来加以说明。
牛顿在1669年中撰著的《运用无穷多项方程的分析学》一书中提出了逆流数问题，但这部论著直到1711年才发表。这是牛顿第一次提出逆流数问题，他将他的这部论文交给几个数学同事传阅。比如，我们知道，艾萨克·巴罗就曾看到过这部论文，他在1669年7月20日给他一个熟人的信里写道：“……我的一个朋友……在这些问题上很有天分，他曾带给我几篇论文。”巴罗或《分析学》一书的任何其他读者遇到的第一个法则如下。
设任意曲线AD的底边为AB，其垂直纵边为BD，设AB＝x，
BD＝y，并设a、b、c等为已知量，m和n为整数。则：
到x点之内的图形的面积。根据牛顿法则，这一图形的面积为
按照牛顿公式，面积为12x2，对这一结果，可以很容易地用三角形面积公式
牛顿又进一步说明了《分析学》一书的法则2，“如果y值是由几项之和组成的，那么，其面积也同样等于每一项面积之和。”例如，他写道，曲
那么，牛顿所采用的两个工具就是：二项式定理和求一定曲线下面积的流数法。他运用这两个工具，可以得心应手地解决许多复杂的数学与物理问题，而我们将要看到的是牛顿如何应用这两个工具，使一个古老的问题获得了全新的生命：计算π的近似值。我们在第四章的后记中，追溯了这一著名数字的某些历史，确认了某些学者，如阿基米德、韦达和卢道尔夫·冯瑟伦在计算更精确的π近似值方面所作出的贡献。1670年左右，这个问题引起了艾萨克·牛顿的注意。他运用他奇妙的新方法，对这一古老问题进行研究，并取得了辉煌的成就。
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