设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为f（X,Y）=8XY，0<=X<=Y<=1,f（X,Y）=0,其他。问X与Y是否相互独立 设随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=8xy,0...
\u8bbe\u968f\u673a\u53d8\u91cf(X,Y)\u7684\u8054\u5408\u6982\u7387\u5bc6\u5ea6\u4e3af(x,y)=8xy,0<x<1,0<y<x;0,\u5176\u4ed6\uff1f
\u4e0a\u9762\u662f\u516c\u5f0f\uff0c\u4e0b\u9762\u7ea2\u8272\u659c\u6760\u90e8\u5206\uff0c\u662f\u79ef\u5206\u533a\u57df\u3002\u6c42Y\u7684\u8fb9\u7f18\u5bc6\u5ea6\uff0c\u5c31\u662f\u5bf9x\u8fdb\u884c\u79ef\u5206\uff0c\u5f53Y=y\u662f\uff0c\u5c31\u662f\u7eff\u8272\u7684\u90a3\u6761\u7ebf\uff0cx\u53d6\u7684\u503c\u5c31\u662f\u84dd\u8272\u90a3\u6761\u7ebf\u5230\u53f3\u8fb9\u9ed1\u8272\u7684\u90a3\u6761\u7ebf\uff08\u4e5f\u5c31\u662f\u9ec4\u8272\u6a2a\u7ebf\u8868\u793a\u7684\u5730\u65b9\uff09\uff0c\u8fd9\u4e5f\u5c31\u662fx\u7684\u79ef\u5206\u533a\u57df\uff0cx\u4ecey\u79ef\u5206\u52301.
\u6240\u4ee5fYy=\u79ef\u5206\u3010y,1\u3011f(x,y)dy=4yx^2\u3010y,1\u3011=4y-4y^3
(1)
fX(x)=\u222b(-\u221e->+\u221e) f(x,y)dy=\u222b(0->x) 8xydy=4x^3,
fY(y)=\u222b(-\u221e->+\u221e) f(x,y)dx=\u222b(y->1) 8xydx=4(y-y^3),
\u6240\u4ee5
fX(x)=4x^3, 0<x<1,
0,\u5176\u4ed6
fY(y)=4(y-y^3), 0<y<1
0 , \u5176\u4ed6
(2)
P{Y1)dx \u222b(0->x/2) 8xydy=1/4
则f(x,y)=fx(x) * fy(y)
即联合概率密度等于x和y边缘密度的乘积
显然在这里
0≤X≤Y≤1，
fx(x)=∫(0到1) f(x,y) dy
=∫(0到1) 8xy dy
=4x²y (代入y的上下限1和0)
=4x²
同理可以得到fy(y)=4y²，
所以
fx(x) * fy(y)=4x² *4y² ≠ f(x,y)=8xy
所以X与Y不相互独立
绛旓細鈭瀎(x锛寉)dy=鈭1x8xydy锛4x(1?x2)锛0鈮鈮1fY(y)锛濃埆+鈭?鈭瀎(x锛寉)dx=鈭珁08xydx锛4y3锛0鈮鈮1鈭磃X(x)锛4x(1?x2)锛0鈮鈮10锛屽叾瀹冿紝fY(y)锛4y3锛0鈮鈮10锛屽叾瀹冿紙3锛夌敱锛2锛夌煡锛宖X(x)?fY(y)锛4x(1?x2)y3鈮爁锛坸锛寉锛锛0鈮鈮鈮1鈭闅忔満鍙橀噺X涓嶻涓嶇嫭绔...
绛旓細绛旀涓猴細F锛坅锛宐锛+1-[F1锛坅锛+F2锛坆锛塢鐢变簬F锛坅锛宐锛=P{X鈮锛孻鈮}锛孎1锛坅锛=P{X鈮锛孻锛+鈭瀩锛孎2锛坆锛=P{X锛+鈭烇紝Y鈮}锛岃岋細P{X锛瀉锛孻锛瀊}=P{X锛+鈭烇紝Y锛+鈭瀩-P{X鈮锛孻锛+鈭瀩-P{X锛+鈭烇紝Y鈮}+P{X鈮锛孻鈮} 鈭碢{X锛瀉锛孻锛瀊}=1-F1锛坅锛-...
绛旓細P{ 0<X鈮1锛0<Y鈮2}=锛1-1/e^3锛夛紙1-1/e^4锛夊惈涔 鐢变簬闅忔満鍙橀噺X鐨鍙栧煎彧鍙栧喅浜庢鐜囧瘑搴﹀嚱鏁扮殑绉垎锛屾墍浠ユ鐜囧瘑搴﹀嚱鏁板湪涓埆鐐逛笂鐨勫彇鍊煎苟涓嶄細褰卞搷闅忔満鍙橀噺鐨琛ㄧ幇銆傛洿鍑嗙‘鏉ヨ锛屽鏋滀竴涓嚱鏁板拰X鐨勬鐜囧瘑搴﹀嚱鏁板彇鍊间笉鍚岀殑鐐瑰彧鏈夋湁闄愪釜銆佸彲鏁版棤闄愪釜鎴栬呯浉瀵逛簬鏁翠釜瀹炴暟杞存潵璇存祴搴︿负0锛堟槸涓涓浂...
绛旓細(1)Z=X+Y F(z)=P(Z
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绛旓細1.f(X,Y)鍏充簬X鐨勮竟缂樻鐜囧瘑搴X(x)=f(x,y)瀵箉绉垎锛屼笅闄恱锛屼笂闄愭棤绌凤紝缁撴灉fX(x)=e^(-x)2.f(X,Y)鍏充簬Y鐨勮竟缂樻鐜囧瘑搴Y(y)=f(x,y)瀵箈绉垎锛屼笅闄0锛屼笂闄恲锛岀粨鏋渇Y(y)=ye^(-y)3.f(x,y)=e^(-y)涓嶇瓑浜巉X(x)*fY(y),鏁匵鍜孻涓嶇嫭绔 4銆傛鐜囧瘑搴﹀嚱鏁癴(x,y)鍦ㄧ洿绾縳=...
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