一元二次方程的几种解法? 一元二次方程几种解法?都怎么解?
\u89e3\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u65b9\u6cd5\u6709\u51e0\u79cd\u6709\u4e09\u79cd\u65b9\u6cd5\uff1a
\u4e00\u3001\u914d\u65b9\u6cd5
\u4e8c\u3001\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5
\u4e09\u3001\u516c\u5f0f\u6cd5
\u4e3e\u4f8b\u5982\u4e0b\uff1a
x²-4x+3=0
\u65b9\u6cd5\u4e00\uff1a
(x-2)²-4+3=0
(x-2)²-1=0
(x-2)²=1
x-2=\u00b11
x1=3
x2=1
\u65b9\u6cd5\u4e8c\uff1a
(x-1)(x-3)=0
x1=1
x2=3
\u65b9\u6cd5\u4e09\uff1a
x=[4\u00b1\u221a(-4)²-4\u00d73]/2
x=(4\u00b12)/2
x1=3
x2=1
\u76f4\u63a5\u5f00\u5e73\u65b9\u6cd5\uff0c\u516c\u5f0f\u6cd5\uff0c\u914d\u65b9\u6cd5\uff0c\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5
精确解法有:(1)公式法:
ax^2+bx+c=0 (a≠0)
Δ=b^2-4ac≥0时,
x=(-b+√Δ)/(2a) 或 (-b-√Δ)/(2a)
Δ<0时,无实数根,虚根是(-b+i√(-Δ))/(2a) 或 (-b-i√(-Δ))/(2a),其中i是虚数单位,i^2=-1
(2)因式分解:
把ax^2+bx+c=0 (a≠0)通过各种方法因此分解得:a(x-x1)(x-x2)=0,从而,x1与x2是方程的根
常见的有:
(i) 配方法
ax^2+bx+c=0
a[x-b/(2a)]^2+(4ac-b^2)/(4a)=0
如果,a与(4ac-b^2)/(4a)同号,则无实根,异号,则可以用平方差公式进一步因式分解,或者把(4ac-b^2)/(4a)移到方程右边,两边同时开平方。
如:x^2+2x-3=0
<法一>
(x+1)^2-4=0
(x+1+2)(x+1-2)=0
<法二>
(x+1)^2-4=0
(x+1)^2=4
两边开平方:x+1=2或x+1=-2
(ii)十字相乘因式分解
这个方法对一些简单的能快速解出,
其本质就是观察找出方程的两根 (-x1)+(-x2)=b/a,(-x1)*(-x2)=c/a
如:x^2+2x-3=0
因为 3+(-1)=2,3*(-1)=-3
所以,(x+3)(x-1)=0
(3)观察找出方程的一根,用韦达定理,求出另一根:
韦达定理:
方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)两根为x1,x2,则有 x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a
证明:因为a(x-x1)(x-x2)=0,展开得:ax^2-a(x1+x2)x+ax1*x2=0对比原方程即可得。
例:x^2+2x-3=0
可以观察出方程一根是 x1=1
再由韦达定理,x1+x2=-2
所以,x2=-2-x1=-3
另外,数值解法(用计算机程序)有二分法、牛顿法等。
形如x^2=a(a>0)的,用直接开平方来解;
形如ax^2+bx+c=0(a≠0)的,可以首先使用因式分解法,然后是配方法、求根公式法。
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