高中数学导数
\u9ad8\u4e2d\u6570\u5b66\u5bfc\u6570f(x)=lnx-a^2\u00b7x^2+a(a\u5c5e\u4e8eR)
\u5f53a=1\u65f6,f(x)=lnx-x^2+x
\u5219f\u2019(x)=1/x-2x+1
\u5f53\u53d6\u6700\u503c\u65f6\uff0cf\u2019(x)=0
\u5373f\u2019(x)=1/x-2x+1=0
\u89e3\u5f97\uff08x-1)(2x+1)=0
\u89e3\u5f97x=-1/2\uff08\u4e0d\u5408\u9898\u610f\uff0c\u820d\u53bb\uff09,x=1
\u5f53x=1\u65f6\uff0cf''(x)=-1/x^2-2<0
\u6240\u4ee5\uff0cx=1\u65f6\uff0c\u53d6\u5f97\u6700\u5927\u503c\u4e3a0-1+1=0
(2)\u5728(1)\u7684\u6761\u4ef6\u4e0b,\u8ba8\u8bba\u51fd\u6570f(x)\u662f\u5426\u5b58\u5728\u96f6\u70b9.\u82e5\u6709,\u6c42\u51fa\u51fd\u6570\u7684\u96f6\u70b9;\u82e5\u6ca1\u6709,\u8bf7\u8bf4\u660e\u7406\u7531
\u5f53a=1\u65f6\uff0c\u663e\u7136x=1\u65f6\uff0c\u4e3a\u96f6\u70b9
\u51fd\u6570f(x)\u5728\u533a\u95f4(1,\u6b63\u65e0\u7a77)\u4e0a\u662f\u51cf\u51fd\u6570,
\u5219\uff0cf\u2019(x)=1/x-2a^2x+a<=0
\u56e0\u4e3ax>0\uff0c\u6240\u4ee52a^2x^2-ax-1>=0\uff0c\u5728(1,\u6b63\u65e0\u7a77)
\u5219\u5fc5\u987b\u6709\u5f00\u53e3\u5411\u4e0a\uff0c
\u4e14\u5f53x=1\u65f6\uff0c2a^2x^2-ax-1>=0
\u6240\u4ee52a^2-a-1>=0
\u5219a>=1\uff0c\u6216\u8005a<=-1/2
1.f(x)=e^x f'(x)=e^2 \u516c\u5f0ff(x)=a^x f'(x)=a^x*lna \u8fd9\u91cca=e \u6240\u4ee5f'(x)=e^xlne=e^x
2. f(x)=-2x f'(x)=-2 \u516c\u5f0ff(x)=ax^n f('x)=anx^(n-1) \u8fd9\u91cca=-2,n=1 \u6240\u4ee5f'(x)=(-2)*1*x^(1-1)=-2
\u5bfc\u6570\u7684\u5b9a\u4e49\u57df\u4e0e\u539f\u51fd\u6570\u76f8\u540c
3.f(x)=x*e^x f'(x)=(1+x)e^x
\u516c\u5f0f[f(x)*g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \u8fd9\u91ccf(x)=x g(x)=e^x f'(x)=1*e^x+x*e^x=(1+x)e^x
f’(x)=x^2+(1-a)x-a=0==>x1=-1,x2=a
f’’(x)=2x+(1-a)==> f’’(-1)=-1-a，f’’(a)=1+a
-1-a>=0==>a>=-1
1+a<0==>a<-1
∴a>0时，函数f(x)在x1处取极大值；在x2处取极小值；
∴x∈(-∞,-1),f(x)单调增；x∈[-1,a),f(x)单调减；x∈[a,+∞),f(x)单调增；
（2）解析：∵函数f(x)在区间(-2,0)内有二个零点
f(0)=-a<=0==>a>0
f(-2)=-2/3-a<0==>a>-2/3
f(-1)=1/6-a/2>0==>a<1/3
∴a的范围为0<0<1/3
(3)解析：令a=1，f(x)=1/3x3-x-1
令f’(x)=x^2-1=0==>x1=-1，x2=1f’’(x)=2x==> f’’(x1)<0，f’’(x2)>0
∴函数f(x)在x1处取极大值-1/3；在x2处取极小值-5/3；
∵函数f(x)在区间[t,t+3]上最大值为M(t)，最小值为m(t)
当t+3<=-1==>t<=-4时，f(x)在区间[t,t+3]上单调增，最大值为M(t)=f(t+3)=1/3(t+3)^3-(t+3)-1=1/3t^3+3t^2+8t+5，最小值为m(t)=f(t)=1/3t^3-t-1
记g(t)=M(t)-m(t)=1/3t^3+3t^2+8t+5-1/3t^3+t+1=3t^2+9t+6
∴g(t)为开口向上的抛物线，对称轴为t=-3/2，最小值为-3/4
∴函数g(t)在区间[-3,-1]上最小值为-3/4
令f(x)=1/3x^3-x-1=-1/3==>x^3-3x-2=0==>x1=-1,x2=2
令f(x)=1/3x^3-x-1=-5/3==>x^3-3x+2=0==>x1=1,x2=-2
∴当-4<t<-2时，f(x)在区间[t,t+3]上不单调，最大值为M(t)=f(-1)=-1/3，最小值为m(t)=f(t)=1/3t^3-t-1
记g(t)=M(t)-m(t)=-1/3t^3+t+2/3
令g’(t) =-t^2+1=0==>t1=-1,t2=1
g’’(t) =-2t==> g’’(t1)>0
∴函数g(t)在区间[-3,-1]上最小值为0
当-2<=t<-1时，f(x)在区间[t,t+3]上不单调，最大值为M(t)=f(-1)=-1/3，最小值为m(t)=f(1)=-5/3
记g(t)=M(t)-m(t)=-1/3+5/3=1
∴g(t)为常数函数
∴函数g(t)在区间[-3,-1]上恒为1
当-1<=t<1时，f(x)在区间[t,t+3]上不单调，最大值为M(t)=f(t+3)=1/3t^3+3t^2+8t+5，最小值为m(t)=f(1)=-5/3
记g(t)=M(t)-m(t)=1/3t^3+3t^2+8t+20/3
令g’(t)=t^2+6t+8=0==>t1=-4,t2=-2
g’’(t)=2t+6==> g’’(t2)>0,g(-2)=0
∴函数g(t)在区间[-3,-1]上最小值为0
当t>=1时，f(x)在区间[t,t+3]上单调增，最大值为M(t)=f(t+3)=1/3t^3+3t^2+8t+5，最小值为m(t)=f(t)=1/3t^3-t-1
记g(t)=M(t)-m(t)=1/3t^3+3t^2+8t+5-1/3t^3+t+1=3t^2+9t+6
∴g(t)为开口向上的抛物线，对称轴为t=-3/2，最小值为-3/4
∴函数g(t)在区间[-3,-1]上最小值为-3/4
综上：
当t<=-4或t>=1时，函数g(t)在区间[-3,-1]上最小值为-3/4
当-4<t<-2或-1<=t<1时，函数g(t)在区间[-3,-1]上最小值为0
当-2<=t<-1时，函数g(t)在区间[-3,-1]上恒为1
二、当a=1时，f(x)=1/3x3+1-1/2x2-x-1=1/3x3-1/2x2
f(0)=0
f'(x)=x2-x-1
令f'=0得x.=ss1 x.=ss2
(ss1-ss2）的绝对值小于3
第一问中的分析过程，图图画出来，就会看出
1、t+3<ss1那么最大值是f(t+3)最小值是f(t)，
2、t>ss2那么最大值是f(t+3)最小值是f(t)
3、t<ss1<ss2<t+3那么最大值为f(ss1)最小值为f(ss2)
4、又因为f(ss2-3)<f(ss2),f(ss1+3)>f(ss1)所以
ss1<t+3<ss2那么最大值是f(ss1)最小值是f(t)
ss1<t<ss2那么最小值是f(ss2)最大值是f(t+3)
综上，在闭区间（-3，-1）中g（t）的最小值为g(ss1)-g(ss2)=-根号5/6
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