同一个一位数用三次,可以用不同都方法做24点,如22+2=24，另外再找出两种 数学速算

\u600e\u6837\u7528\u4e09\u4e2a\u6570\u914d\u5408\u56db\u5219\u8fd0\u7b97\u7b97\u5f9724\uff1f

\u9ad8\u7ea7\u4e8c\u5341\u56db\u70b9\u5219\u8981\u6c42\u4eba\u4eec\u53ef\u4ee5\u4f7f\u7528\u4e00\u4e9b\u9664\u4e86\u52a0\u51cf\u4e58\u9664\u4e4b\u5916\u7684\u8fd0\u7b97\u7b26\u53f7\u5c06\u56db\u4e2a\u53ea\u7528\u52a0\u51cf\u4e58\u9664\u65e0\u6cd5\u7b97\u51fa\u4e8c\u5341\u56db\u7684\u6570\u5b57\u8fdb\u884c\u6df7\u5408\u8fd0\u7b97\u6c42\u5f97\u4e8c\u5341\u56db\u3002\uff08\u6ce8\u610f\uff1a\u5176\u4ed6\u8fd0\u7b97\u7b26\u53f7\u4e0d\u5f97\u76f4\u63a5\u51fa\u73b0\u6240\u7ed9\u7684\u56db\u4e2a\u6570\u5b57\u4e4b\u5916\u7684\u6570\u5b57\uff0c\u4f8b\u5982\u53ef\u4ee5\u76f4\u63a5\u51fa\u73b0\u5e73\u65b9\u6839\uff0c\u4f46\u4e0d\u80fd\u76f4\u63a5\u51fa\u73b0\u7acb\u65b9\u6839\uff0c\u53ef\u4ee5\u76f4\u63a5\u51fa\u73b0\u9636\u4e58\uff0c\u4f46\u4e0d\u80fd\u76f4\u63a5\u51fa\u73b0\u5e73\u65b9\uff09
\u4f8b\u5982\uff1a
\uff080!\uff0b0!\uff0b0!\uff0b0!\uff09!
\uff081\uff0b1\uff0b1\uff0b1\uff09!
\uff082+2\uff09!\uff0b2\uff0d2
\uff087\u00f77%\uff09\u7684\u5e73\u65b9\u6839\uff0b7\uff0b7
8\u7684\u5e73\u65b9\u6839\u00d78\u7684\u5e73\u65b9\u6839\uff0b8\uff0b8
9\u7684\u5e73\u65b9\u6839\u00d79\u7684\u5e73\u65b9\u6839\u00d79\u7684\u5e73\u65b9\u6839\uff0d9\u7684\u5e73\u65b9\u6839
\uff08log10\uff0blog10\uff0blog10\uff0blog10\uff09\uff01
[\u7f16\u8f91\u672c\u6bb5]24\u70b9\u6e38\u620f\u7b97\u6cd5
\u5229\u7528\u8ba1\u7b97\u7a0b\u5e8f\u6765\u5b8c\u6210\u8fd9\u4e2a\u8ba1\u7b97\u4e8c\u5341\u56db\u70b9\u7684\u7a0b\u5e8f
\u65b9\u6cd5\u5982\u4e0b:
\u9996\u5148\u7a77\u4e3e\u7684\u53ef\u884c\u6027\u95ee\u9898\u3002\u6211\u628a\u8868\u8fbe\u5f0f\u5982\u4e0b\u5206\u6210\u4e09\u7c7b\u2014\u2014
1\u3001 \u65e0\u62ec\u53f7\u7684\u7b80\u5355\u8868\u8fbe\u5f0f\u3002
2\u3001 \u6709\u4e00\u4e2a\u62ec\u53f7\u7684\u7b80\u5355\u8868\u8fbe\u5f0f\u3002
3\u3001 \u6709\u4e24\u4e2a\u62ec\u53f7\u7684\u8f83\u590d4\u3001 \u6742\u8868\u8fbe\u5f0f\u3002
\u7a77\u4e3e\u7684\u5f00\u59cb\u6211\u5bf9\u7ed9\u51fa\u7684\u56db\u4e2a\u6570\u8fdb\u884c\u6392\u5217\uff0c\u5176\u53ef\u80fd\u7684\u79cd\u6570\u4e3a4*3*2*1=24\u3002\u6211\u5229\u7528\u4e00\u4e2a\u5d4c\u5957\u51fd\u6570\u5b9e\u73b0\u56db\u4e2a\u6570\u7684\u6392\u5217\uff0c\u7b97\u6cd5\u5982\u4e0b:
/* ans[] \u7528\u6765\u5b58\u653e\u5404\u79cd\u6392\u5217\u7ec4\u5408\u7684\u6570\u7ec4 */
/* c[] \u5b58\u653e\u56db\u5f20\u724c\u7684\u6570\u7ec4 */
/* k[] c[]\u79cd\u56db\u5f20\u724c\u7684\u4ee3\u53f7\uff0c\u5176\u4e2dk[I]=I+1\u3002
\u7528\u5b83\u6765\u4ee3\u66ffc[]\u505a\u5904\u7406\uff0c\u8003\u8651\u5230c[]\u4e2d\u6709\u53ef\u80fd\u51fa\u73b0\u76f8\u540c\u6570\u7684\u60c5\u51b5 */
/* kans[] \u6682\u5b58\u751f\u6210\u7684\u6392\u5217\u7ec4\u5408 */
/* j \u5d4c\u5957\u5faa\u73af\u7684\u6b21\u6570 */
int fans(c,k,ans,kans,j)
int j,k[],c[];char ans[],kans[];
{ int i,p,q,r,h,flag,s[4],t[4][4];
for(p=0,q=0;p<4;p++)
{ for(r=0,flag=0;r if(k[p]!=kans[r]) flag++;
if(flag==j) t[j][q++]=k[p];
}
for(s[j]=0;s[j]<4-j;s[j]++)
{ kans[j]=t[j][s[j]];
if(j==3) { for(h=0;h<4;h++)
ans[2*h]=c[kans[h]-1]; /* \u8c03\u6574\u751f\u6210\u7684\u6392\u5217\u7ec4\u5408\u5728\u6700\u7ec8\u7684\u8868
\u8fbe\u5f0f\u4e2d\u7684\u4f4d\u7f6e */
for(h=0;h<3;h++)
symbol(ans,h); /* \u5728\u8868\u8fbe\u5f0f\u4e2d\u6dfb\u52a0\u8fd0\u7b97\u7b26\u53f7 */
}
else { j++;
fans(c,k,ans,kans,j);
j--;
}
}
}
\u6b63\u5982\u4e0a\u9762\u51fd\u6570\u4e2d\u63d0\u5230\u7684\uff0c\u5728\u5b8c\u6210\u56db\u5f20\u724c\u7684\u6392\u5217\u4e4b\u540e\uff0c\u5728\u8868\u8fbe\u5f0f\u4e2d\u6dfb\u52a0\u8fd0\u7b97\u7b26\u53f7\u3002\u7531\u4e8e\u53ea\u6709\u56db\u5f20\u724c\uff0c\u6240\u4ee5\u53ea\u8981\u6dfb\u52a0\u4e09\u4e2a\u8fd0\u7b97\u7b26\u53f7\u5c31\u53ef\u4ee5\u4e86\u3002\u7531\u4e8e\u6bcf\u4e00\u4e2a\u8fd0\u7b97\u7b26\u53f7\u53ef\u91cd\u590d\uff0c\u6240\u4ee5\u8ba1\u7b97\u51fa\u5176\u53ef\u80fd\u7684\u79cd\u6570\u4e3a4*4*4=64\u79cd\u3002\u4ecd\u7136\u5229\u7528\u5d4c\u5957\u51fd\u6570\u5b9e\u73b0\u6dfb\u52a0\u8fd0\u7b97\u7b26\u53f7\u7684\u7a77\u4e3e\uff0c\u7b97\u6cd5\u5982\u4e0b:
/* ans[],j\u540c\u4e0a\u3002sy[]\u5b58\u653e\u56db\u4e2a\u8fd0\u7b97\u7b26\u53f7\u3002h\u4e3a\u8868\u8fbe\u5f0f\u5f62\u5f0f\u3002*/
int sans(ans,sy,j,h)
char ans[],sy[];int j,h;
{ int i,p,k[3],m,n; char ktans[20];
for(k[j]=0;k[j]<4;k[j]++)
{ ans[2*j+1]=sy[k[j]]; /* \u521a\u624d\u7684\u56db\u4e2a\u6570\u5206\u522b\u5b58\u653e\u57280\u30012\u30014\u30016\u4f4d
\u8fd9\u91cc\u7684\u4e09\u4e2a\u8fd0\u7b97\u7b26\u53f7\u5206\u522b\u5b58\u653e\u57281\u30013\u30015\u4f4d*/
if(j==2)
{ ans[5]=sy[k[j]];
/* \u6b64\u5904\u6839\u636e\u4e0d\u540c\u7684\u8868\u8fbe\u5f0f\u5f62\u5f0f\u518d\u8fdb\u884c\u76f8\u5e94\u7684\u5904\u7406 */
}
else { j++; sans(ans,sy,j--,h); }
}
}
\u597d\u4e86\uff0c\u63a5\u4e0b\u6765\u6211\u518d\u8003\u8651\u4e0d\u540c\u8868\u8fbe\u5f0f\u7684\u5904\u7406\u3002\u521a\u624d\u6211\u5df2\u7ecf\u5c06\u8868\u8fbe\u5f0f\u5206\u4e3a\u4e09\u7c7b\uff0c\u662f\u56e0\u4e3a\u6dfb\u52a0\u4e09\u4e2a\u62ec\u53f7\u5bf9\u4e8e\u56db\u5f20\u724c\u6765\u8bf4\u80af\u5b9a\u662f\u91cd\u590d\u7684\u3002\u5bf9\u4e8e\u7b2c\u4e00\u79cd\uff0c\u65e0\u62ec\u53f7\u81ea\u7136\u4e0d\u7528\u53e6\u884c\u5904\u7406\uff1b\u800c\u7b2c\u4e8c\u79cd\u60c5\u51b5\u7531\u4ee5\u4e0b\u4ee3\u7801\u53ef\u4ee5\u5f97\u51fa\u5176\u53ef\u80fd\u6027\u6709\u516d\u79cd\uff0c\u5176\u4e2d\u8fd8\u6709\u4e00\u79cd\u662f\u591a\u4f59\u7684\u3002
for(m=0;m<=4;m+=2)
for(n=m+4;n<=8;n+=2)
\u8fd9\u4e2afor\u5faa\u73af\u7ed9\u51fa\u4e86\u6dfb\u52a0\u4e00\u4e2a\u62ec\u53f7\u7684\u53ef\u80fd\u6027\u7684\u79cd\u6570\uff0c\u5176\u4e2dm\u3001n\u5206\u522b\u4e3a\u6dfb\u52a0\u5728\u8868\u8fbe\u5f0f\u4e2d\u7684\u5de6\u53f3\u62ec\u53f7\u7684\u4f4d\u7f6e\u3002\u6211\u6240\u8bf4\u7684\u591a\u4f59\u7684\u662f\u6307m=0\uff0cn=8\uff0c\u4e5f\u5c31\u662f\u653e\u5728\u8868\u8fbe\u5f0f\u7684\u4e24\u7aef\u3002\u8fd9\u771f\u662f\u591a\u6b64\u4e00\u4e3e\uff0c\u5475\u5475\uff01\u6700\u540e\u4e00\u79cd\u60c5\u51b5\u662f\u6dfb\u52a0\u4e24\u4e2a\u62ec\u53f7\uff0c\u6211\u5206\u6790\u4e86\u4e00\u4e0b\uff0c\u53d1\u73b0\u53ea\u53ef\u80fd\u662f\u8fd9\u79cd\u5f62\u5f0f\u624d\u4e0d\u4f1a\u662f\u91cd\u590d\u7684\u2014\u2014\uff08a b\uff09(c d)\u3002\u4e3a\u4ec0\u4e48\u4e0d\u4f1a\u51fa\u73b0\u5d4c\u5957\u62ec\u53f7\u7684\u60c5\u51b5\u5462\uff1f\u56e0\u4e3a\u5982\u679c\u662f\u5d4c\u5957\u62ec\u53f7\uff0c\u90a3\u4e48\u5916\u9762\u7684\u62ec\u53f7\u80af\u5b9a\u662f\u5305\u542b\u4e09\u4e2a\u6570\u5b57\u7684\uff08\u56db\u4e2a\u6ca1\u6709\u5fc5\u8981\uff09\uff0c\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u8fd9\u4e2a\u62ec\u53f7\u91cc\u9762\u5305\u542b\u4e86\u4e24\u4e2a\u8fd0\u7b97\u7b26\u53f7\uff0c\u800c\u8fd9\u4e24\u4e2a\u8fd0\u7b97\u7b26\u53f7\u662f\u88ab\u53e6\u5916\u4e00\u4e2a\u62ec\u53f7\u9694\u5f00\u7684\u3002\u90a3\u4e48\u5982\u679c\u8fd9\u4e24\u4e2a\u8fd0\u7b97\u7b26\u53f7\u662f\u540c\u4e00\u4f18\u5148\u7ea7\u7684\uff0c\u5219\u80af\u5b9a\u53ef\u4ee5\u901a\u8fc7\u4e00\u4e9b\u8f6c\u6362\u53bb\u6389\u62ec\u53f7\uff08\u4f60\u4e0d\u59a8\u4e3e\u4e00\u4e9b\u4f8b\u5b50\u6765\u8bd5\u8bd5\uff09\uff0c\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u8fd9\u4e00\u4e2a\u62ec\u53f7\u6ca1\u6709\u5fc5\u8981\uff1b\u5982\u679c\u8fd9\u4e24\u4e2a\u8fd0\u7b97\u7b26\u53f7\u4e0d\u662f\u540c\u4e00\u4f18\u5148\u7ea7\uff0c\u4e5f\u5fc5\u7136\u662f\u8fd9\u79cd\u5f62\u5f0f((a+-b)*/c)\u3002\u800c*\u548c/\u5728\u8fd9\u51e0\u4e2a\u8fd0\u7b97\u7b26\u53f7\u4e2d\u4f18\u5148\u7ea7\u6700\u9ad8\uff0c\u81ea\u7136\u5c31\u6ca1\u6709\u5fc5\u8981\u5728\u5b83\u7684\u5916\u9762\u6dfb\u52a0\u62ec\u53f7\u4e86\u3002
\u7efc\u4e0a\u6240\u8ff0\uff0c\u6240\u6709\u53ef\u80fd\u7684\u8868\u8fbe\u5f0f\u7684\u79cd\u6570\u4e3a24*64*\uff081+6+1\uff09=12288\u79cd\u3002\u54c8\u54c8\uff0c\u53ea\u6709\u4e00\u4e07\u591a\u79cd\u53ef\u80fd\u6027\uff08\u8fd9\u5176\u4e2d\u8fd8\u6709\u91cd\u590d\uff09\uff0c\u8fd9\u5bf9\u4e8e\u7535\u8111\u6765\u8bf4\u53ef\u662f\u5c0fcase\u54df\uff01\u6240\u4ee5\uff0c\u5bf9\u4e8e\u7a77\u4e3e\u7684\u53ef\u884c\u6027\u5206\u6790\u548c\u5b9e\u73b0\u4e5f\u5c31\u5b8c\u6210\u4e86\u3002
\u63a5\u4e0b\u6765\u7684\u95ee\u9898\u5c31\u662f\u5982\u4f55\u5bf9\u6709\u7b26\u53f7\u7684\u7b80\u5355\u8868\u8fbe\u5f0f\u8fdb\u884c\u5904\u7406\u3002\u8fd9\u662f\u6808\u7684\u4e00\u4e2a\u8457\u540d\u5e94\u7528\uff0c\u90a3\u4e48\u4ec0\u4e48\u662f\u6808\u5462\uff1f\u6808\u7684\u6982\u5ff5\u662f\u4ece\u65e5\u5e38\u751f\u6d3b\u4e2d\u8d27\u7269\u5728\u8d27\u6808\u79cd\u7684\u5b58\u53d6\u8fc7\u7a0b\u62bd\u8c61\u51fa\u6765\u7684\uff0c\u5373\u6700\u540e\u5b58\u653e\u5165\u6808\u7684\u8d27\u7269\uff08\u5806\u5728\u9760\u51fa\u53e3\u5904\uff09\u5148\u88ab\u63d0\u53d6\u51fa\u53bb\uff0c\u7b26\u5408\u201c\u5148\u8fdb\u540e\u51fa\uff0c\u540e\u8fdb\u5148\u51fa\u201d\u7684\u539f\u5219\u3002\u8fd9\u79cd\u7ed3\u6784\u72b9\u5982\u5b50\u5f39\u5939\u3002
\u5728\u6808\u4e2d\uff0c\u5143\u7d20\u7684\u63d2\u5165\u79f0\u4e3a\u538b\u5165\uff08push\uff09\u6216\u5165\u6808\uff0c\u5143\u7d20\u7684\u5220\u9664\u79f0\u4e3a\u5f39\u51fa\uff08pop\uff09\u6216\u9000\u6808\u3002
\u6808\u7684\u57fa\u672c\u8fd0\u7b97\u6709\u4e09\u79cd\uff0c\u5176\u4e2d\u5305\u62ec\u5165\u6808\u8fd0\u7b97\u3001\u9000\u6808\u8fd0\u7b97\u4ee5\u53ca\u8bfb\u6808\u9876\u5143\u7d20\uff0c\u8fd9\u4e9b\u8bf7\u53c2\u8003\u76f8\u5173\u6570\u636e\u7ed3\u6784\u8d44\u6599\u3002\u6839\u636e\u8fd9\u4e9b\u57fa\u672c\u8fd0\u7b97\u5c31\u53ef\u4ee5\u7528\u6570\u7ec4\u6a21\u62df\u51fa\u6808\u6765\u3002
\u90a3\u4e48\u4f5c\u4e3a\u6808\u7684\u8457\u540d\u5e94\u7528\uff0c\u8868\u8fbe\u5f0f\u7684\u8ba1\u7b97\u53ef\u4ee5\u6709\u4e24\u79cd\u65b9\u6cd5\u3002
\u7b2c\u4e00\u79cd\u65b9\u6cd5\u2014\u2014
\u9996\u5148\u5efa\u7acb\u4e24\u4e2a\u6808\uff0c\u64cd\u4f5c\u6570\u6808OVS\u548c\u8fd0\u7b97\u7b26\u6808OPS\u3002\u5176\u4e2d\uff0c\u64cd\u4f5c\u6570\u6808\u7528\u6765\u8bb0\u5fc6\u8868\u8fbe\u5f0f\u4e2d\u7684\u64cd\u4f5c\u6570\uff0c\u5176\u6808\u9876\u6307\u9488\u4e3atopv\uff0c\u521d\u59cb\u65f6\u4e3a\u7a7a\uff0c\u5373topv=0\uff1b\u8fd0\u7b97\u7b26\u6808\u7528\u6765\u8bb0\u5fc6\u8868\u8fbe\u5f0f\u4e2d\u7684\u8fd0\u7b97\u7b26\uff0c\u5176\u6808\u9876\u6307\u9488\u4e3atopp\uff0c\u521d\u59cb\u65f6\uff0c\u6808\u4e2d\u53ea\u6709\u4e00\u4e2a\u8868\u8fbe\u5f0f\u7ed3\u675f\u7b26\uff0c\u5373topp=1\uff0c\u4e14OPS\uff081\uff09=\u2018\uff1b\u2019\u3002\u6b64\u5904\u7684\u2018\uff1b\u2019\u5373\u8868\u8fbe\u5f0f\u7ed3\u675f\u7b26\u3002
\u7136\u540e\u81ea\u5de6\u81f3\u53f3\u7684\u626b\u63cf\u5f85\u5904\u7406\u7684\u8868\u8fbe\u5f0f\uff0c\u5e76\u5047\u8bbe\u5f53\u524d\u626b\u63cf\u5230\u7684\u7b26\u53f7\u4e3aW\uff0c\u6839\u636e\u4e0d\u540c\u7684\u7b26\u53f7W\u505a\u5982\u4e0b\u4e0d\u540c\u7684\u5904\u7406\uff1a
1\u3001 \u82e5W\u4e3a\u64cd\u4f5c\u6570
2\u3001 \u5219\u5c06W\u538b\u5165\u64cd\u4f5c\u6570\u6808OVS
3\u3001 \u4e14\u7ee7\u7eed\u626b\u63cf\u4e0b\u4e00\u4e2a\u5b57\u7b26
4\u3001 \u82e5W\u4e3a\u8fd0\u7b97\u7b26
5\u3001 \u5219\u6839\u636e\u8fd0\u7b97\u7b26\u7684\u6027\u8d28\u505a\u76f8\u5e94\u7684\u5904\u7406\uff1a
(1)\u3001\u82e5\u8fd0\u7b97\u7b26\u4e3a\u5de6\u62ec\u53f7\u6216\u8005\u8fd0\u7b97\u7b26\u7684\u4f18\u5148\u7ea7\u5927\u4e8e\u8fd0\u7b97\u7b26\u6808\u6808\u9876\u7684\u8fd0\u7b97\u7b26(\u5373OPS(top)),\u5219\u5c06\u8fd0\u7b97\u7b26W\u538b\u5165\u8fd0\u7b97\u7b26\u6808OPS\uff0c\u5e76\u7ee7\u7eed\u626b\u63cf\u4e0b\u4e00\u4e2a\u5b57\u7b26\u3002
(2)\u3001\u82e5\u8fd0\u7b97\u7b26W\u4e3a\u8868\u8fbe\u5f0f\u7ed3\u675f\u7b26\u2018\uff1b\u2019\u4e14\u8fd0\u7b97\u7b26\u6808\u6808\u9876\u7684\u8fd0\u7b97\u7b26\u4e5f\u4e3a\u8868\u8fbe\u5f0f\u7ed3\u675f\u7b26\uff08\u5373OPS(topp)=\u2019;\u2019\uff09\uff0c\u5219\u5904\u7406\u8fc7\u7a0b\u7ed3\u675f\uff0c\u6b64\u65f6\uff0c\u64cd\u4f5c\u6570\u6808\u6808\u9876\u5143\u7d20\uff08\u5373OVS\uff08topv\uff09\uff09\u5373\u4e3a\u8868\u8fbe\u5f0f\u7684\u503c\u3002
(3)\u3001\u82e5\u8fd0\u7b97\u7b26W\u4e3a\u53f3\u62ec\u53f7\u4e14\u8fd0\u7b97\u7b26\u6808\u6808\u9876\u7684\u8fd0\u7b97\u7b26\u4e3a\u5de6\u62ec\u53f7\uff08\u5373OPS\uff08topp\uff09=\u2019(\u2018)\uff0c\u5219\u5c06\u5de6\u62ec\u53f7\u4ece\u8fd0\u7b97\u7b26\u6808\u8c08\u51fa\uff0c\u4e14\u7ee7\u7eed\u626b\u63cf\u4e0b\u4e00\u4e2a\u7b26\u53f7\u3002
(4)\u3001\u82e5\u8fd0\u7b97\u7b26\u7684\u53f3\u4e0d\u5927\u4e8e\u8fd0\u7b97\u7b26\u6808\u6808\u9876\u7684\u8fd0\u7b97\u7b26\uff08\u5373OPS(topp)\uff09\uff0c\u5219\u4ece\u64cd\u4f5c\u6570\u6808OVS\u4e2d\u5f39\u51fa\u4e24\u4e2a\u64cd\u4f5c\u6570\uff0c\u8bbe\u5148\u540e\u5f39\u51fa\u7684\u64cd\u4f5c\u6570\u4e3aa\u3001b\uff0c\u518d\u4ece\u8fd0\u7b97\u7b26\u6808OPS\u4e2d\u5f39\u51fa\u4e00\u4e2a\u8fd0\u7b97\u7b26\uff0c\u8bbe\u4e3a+\uff0c\u7136\u540e\u4f5c\u8fd0\u7b97a+b,\u5e76\u5c06\u8fd0\u7b97\u7ed3\u679c\u538b\u5165\u64cd\u4f5c\u6570\u6808OVS\u3002\u672c\u6b21\u7684\u8fd0\u7b97\u7b26\u4e0b\u6b21\u5c06\u91cd\u65b0\u8003\u8651\u3002
\u7b2c\u4e8c\u79cd\u65b9\u6cd5\u2014\u2014
\u9996\u5148\u5bf9\u8868\u8fbe\u5f0f\u8fdb\u884c\u7ebf\u6027\u5316\uff0c\u7136\u540e\u5c06\u7ebf\u6027\u8868\u8fbe\u5f0f\u8f6c\u6362\u6210\u673a\u5668\u6307\u4ee4\u5e8f\u5217\u4ee5\u4fbf\u8fdb\u884c\u6c42\u503c\u3002
\u90a3\u4e48\u4ec0\u4e48\u662f\u8868\u8fbe\u5f0f\u7684\u7ebf\u6027\u5316\u5462\uff1f\u4eba\u4eec\u6240\u4e60\u60ef\u7684\u8868\u8fbe\u5f0f\u7684\u8868\u8fbe\u65b9\u6cd5\u79f0\u4e3a\u4e2d\u7f00\u8868\u793a\u3002\u4e2d\u7f00\u8868\u793a\u7684\u7279\u70b9\u662f\u8fd0\u7b97\u7b26\u4f4d\u4e8e\u8fd0\u7b97\u5bf9\u8c61\u7684\u4e2d\u95f4\u3002\u4f46\u8fd9\u79cd\u8868\u793a\u65b9\u5f0f\uff0c\u6709\u65f6\u5fc5\u987b\u501f\u52a9\u62ec\u53f7\u624d\u80fd\u5c06\u8fd0\u7b97\u987a\u5e8f\u8868\u8fbe\u6e05\u695a\uff0c\u800c\u4e14\u5904\u7406\u4e5f\u6bd4\u8f83\u590d\u6742\u3002
1929\u5e74\uff0c\u6ce2\u5170\u903b\u8f91\u5b66\u5bb6Lukasiewicz\u63d0\u51fa\u4e00\u79cd\u4e0d\u7528\u62ec\u53f7\u7684\u903b\u8f91\u7b26\u53f7\u4f53\u7cfb\uff0c\u540e\u6765\u4eba\u4eec\u79f0\u4e4b\u4e3a\u6ce2\u5170\u8868\u793a\u6cd5\uff08Polish notation\uff09\u3002\u6ce2\u5170\u8868\u8fbe\u5f0f\u7684\u7279\u70b9\u662f\u8fd0\u7b97\u7b26\u4f4d\u4e8e\u8fd0\u7b97\u5bf9\u8c61\u7684\u540e\u9762\uff0c\u56e0\u6b64\u79f0\u4e3a\u540e\u7f00\u8868\u793a\u3002\u5728\u5bf9\u6ce2\u5170\u8868\u8fbe\u5f0f\u8fdb\u884c\u8fd0\u7b97\uff0c\u4e25\u683c\u6309\u7167\u81ea\u5de6\u81f3\u53f3\u7684\u987a\u5e8f\u8fdb\u884c\u3002\u4e0b\u9762\u7ed9\u51fa\u4e00\u4e9b\u8868\u8fbe\u5f0f\u53ca\u5176\u76f8\u5e94\u7684\u6ce2\u5170\u8868\u8fbe\u5f0f\u3002
\u8868\u8fbe\u5f0f \u6ce2\u5170\u8868\u8fbe\u5f0f
A-B AB-
\uff08A-B\uff09*C+D AB-C*D+
A*\uff08B+C/D\uff09-E*F ABCD/+*EF*-
\uff08B+C\uff09/\uff08A-D\uff09 BC+AD-/
OK\uff0c\u6240\u8c13\u8868\u8fbe\u5f0f\u7684\u7ebf\u6027\u5316\u662f\u6307\u5c06\u4e2d\u7f00\u8868\u8fbe\u7684\u8868\u8fbe\u5f0f\u8f6c\u5316\u4e3a\u6ce2\u5170\u8868\u8fbe\u5f0f\u3002\u5bf9\u4e8e\u6bcf\u4e00\u4e2a\u8868\u8fbe\u5f0f\uff0c\u5229\u7528\u6808\u53ef\u4ee5\u628a\u8868\u8fbe\u5f0f\u53d8\u6362\u6210\u6ce2\u5170\u8868\u8fbe\u5f0f\uff0c\u4e5f\u53ef\u4ee5\u5229\u7528\u6808\u6765\u8ba1\u7b97\u6ce2\u5170\u8868\u8fbe\u5f0f\u7684\u503c\u3002
\u81f3\u4e8e\u8f6c\u6362\u548c\u8ba1\u7b97\u7684\u8fc7\u7a0b\u548c\u7b2c\u4e00\u79cd\u65b9\u6cd5\u5927\u540c\u5c0f\u5f02\uff0c\u8fd9\u91cc\u5c31\u4e0d\u518d\u8d58\u8ff0\u4e86\u3002
\u4e0b\u9762\u7ed9\u51fa\u8f6c\u6362\u548c\u8ba1\u7b97\u7684\u5177\u4f53\u5b9e\u73b0\u7a0b\u5e8f\u2014\u2014
/* first\u51fd\u6570\u7ed9\u51fa\u5404\u4e2a\u8fd0\u7b97\u7b26\u7684\u4f18\u5148\u7ea7\uff0c\u5176\u4e2d=\u4e3a\u8868\u8fbe\u5f0f\u7ed3\u675f\u7b26 */
int first(char c)
{ int p;
switch(c)
{ case '*': p=2; break;
case '/': p=2; break;
case '+': p=1; break;
case '-': p=1; break;
case '(': p=0; break;
case '=': p=-1; break;
}
return(p);
}
/* \u6b64\u51fd\u6570\u5b9e\u73b0\u4e2d\u7f00\u5230\u540e\u7f00\u7684\u8f6c\u6362 */
/* M\u7684\u503c\u5b8f\u5b9a\u4e49\u4e3a20 */
/* sp[]\u4e3a\u8868\u8fbe\u5f0f\u6570\u7ec4 */
int mid_last()
{ int i=0,j=0; char c,sm[M];
c=s[0]; sm[0]='='; top=0;
while(c!='\0')
{ if(islower(c)) sp[j++]=c;
else switch(c)
{ case '+':
case '-':
case '*':
case '/': while(first(c)<=first(sm[top]))
sp[j++]=sm[top--];
sm[++top]=c; break;
case '(': sm[++top]=c; break;
case ')': while(sm[top]!='(')
sp[j++]=sm[top--];
top--; break;
default :return(1);
}
c=s[++i];
}
while(top>0) sp[j++]=sm[top--];
sp[j]='\0'; return(0);
}
/* \u7531\u540e\u7f00\u8868\u8fbe\u5f0f\u6765\u8ba1\u7b97\u8868\u8fbe\u5f0f\u7684\u503c */
int calc()
{ int i=0,sm[M],tr; char c;
c=sp[0]; top=-1;
while(c!='\0')
{ if(islower(c)) sm[++top]=ver[c-'a'];/*\u5728\u8f6c\u6362\u8fc7\u7a0b\u4e2d\u7528abcd\u7b49\u6765\u4ee3\u66ff\u6570\uff0c
\u8fd9\u6837\u624d\u53ef\u4ee5\u66f4\u65b9\u4fbf\u7684\u5904\u7406\u975e\u4e00\u4f4d\u6570\uff0c
ver\u6570\u7ec4\u4e2d\u5b58\u653e\u7740\u8fd9\u4e9b\u5b57\u6bcd\u6240\u4ee3\u66ff\u7684\u6570*/
else switch(c)
{ case '+': tr=sm[top--]; sm[top]+=tr; break;
case '-': tr=sm[top--]; sm[top]-=tr; break;
case '*': tr=sm[top--]; sm[top]*=tr; break;
case '/': tr=sm[top--];sm[top]/=tr;break;
default : return(1);
}
c=sp[++i];
}
if(top>0) return(1);
else { result=sm[top]; return(0); }
}
\u8fd9\u6837\u8fd9\u4e2a\u7a0b\u5e8f\u57fa\u672c\u4e0a\u5c31\u7b97\u89e3\u51b3\u4e86\uff0c\u56de\u8fc7\u5934\u6765\u62ff\u8fd9\u4e2a\u7a0b\u5e8f\u6765\u7b97\u4e00\u7b97\u6587\u7ae0\u5f00\u59cb\u7684\u90a3\u4e2a\u95ee\u9898\u3002\u54c8\u54c8\uff0c\u7b97\u51fa\u6765\u4e86\uff0c\u539f\u6765\u5982\u6b64\u7b80\u5355\u2014\u2014\uff086-3\uff09*10-6=24\u3002
\u6700\u540e\u6211\u603b\u7ed3\u4e86\u4e00\u4e0b\u8fd9\u5176\u4e2d\u5bb9\u6613\u51fa\u9519\u7684\u5730\u65b9\u2014\u2014
1\u3001 \u6392\u5217\u7684\u65f6\u5019\u7531\u4e8e\u4e00\u4e2a\u6570\u53ea\u80fd\u51fa\u73b0\u4e00\u6b21\uff0c \u6240\u4ee5\u5fc5\u7136\u6709\u4e00\u4e2a\u5224\u65ad\u8bed\u53e5\u3002\u4f46\u662f\u7528\u4ec0\u4e48\u6765\u5224\u65ad\uff0c\u7528\u5927\u5c0f\u663e\u7136\u4e0d\u884c\uff0c\u56e0\u4e3a\u6709\u53ef\u80fd\u8fd9\u56db\u4e2a\u6570\u4e2d\u6709\u4e24\u4e2a\u6216\u8005\u4ee5\u4e0a\u7684\u6570\u662f\u76f8\u540c\u7684\u3002\u6211\u7684\u65b9\u6cd5\u662f\u7ed9\u6bcf\u4e00\u4e2a\u6570\u8bbe\u7f6e\u4e00\u4e2a\u4ee3\u53f7\uff0c\u5728\u6392\u5217\u7ed3\u675f\u65f6\uff0c\u901a\u8fc7\u8fd9\u4e2a\u4ee3\u53f7\u627e\u5230\u8fd9\u4e2a\u6570\u3002
2\u3001\u5728\u5e94\u7528\u5d4c\u5957\u51fd\u6570\u65f6\uff0c\u9700\u4ed4\u7ec6\u5206\u6790\u7a0b\u5e8f\u7684\u6267\u884c\u8fc7\u7a0b\uff0c\u5e76\u5bf9\u4e2a\u522b\u53d8\u91cf\u8fdb\u884c\u9002\u5f53\u7684\u8c03\u6574\uff08\u5982j\u7684\u503c\uff09,\u7a0b\u5e8f\u624d\u80fd\u6b63\u786e\u7684\u6267\u884c\u3002
3\u3001\u5728\u5206\u6790\u62ec\u53f7\u95ee\u9898\u7684\u65f6\u5019\u8981\u8ba4\u771f\u4ed4\u7ec6\uff0c\u4e0d\u8981\u9519\u8fc7\u4efb\u4f55\u4e00\u4e2a\u53ef\u80fd\u7684\u673a\u4f1a\uff0c\u4e5f\u8981\u5c3d\u91cf\u4f7f\u7a0b\u5e8f\u53d8\u5f97\u7b80\u5355\u4e00\u4e9b\u3002\u4e0d\u8fc7\u6211\u7684\u5206\u6790\u53ef\u80fd\u4e5f\u6709\u95ee\u9898\uff0c\u8fd8\u8bf7\u9ad8\u624b\u6307\u70b9\u3002
4\u3001\u5728\u7528\u51fd\u6570\u5bf9\u4e00\u4e2a\u6570\u7ec4\u8fdb\u884c\u5904\u7406\u7684\u65f6\u5019\uff0c\u4e00\u5b9a\u8981\u6ce8\u610f\u5982\u679c\u8fd9\u4e2a\u6570\u7ec4\u8fd8\u9700\u8981\u518d\u5e94\u7528\uff0c\u5c31\u5fc5\u987b\u5c06\u5b83\u5148\u4fdd\u5b58\u8d77\u6765\uff0c\u5426\u5219\u4f1a\u51fa\u9519\uff0c\u800c\u4e14\u662f\u5f88\u4e25\u91cd\u7684\u9519\u8bef\u3002
5\u3001\u5728\u5904\u7406\u7528\u6237\u8f93\u5165\u7684\u8868\u8fbe\u5f0f\u65f6\uff0c\u7531\u4e8e\u4e00\u4e2a\u5341\u4f4d\u6570\u6216\u8005\u66f4\u9ad8\u4f4d\u6570\u662f\u88ab\u5206\u89e3\u6210\u5404\u4f4d\u6570\u5b58\u653e\u5728\u6570\u7ec4\u4e2d\uff0c\u6240\u4ee5\u9700\u5bf9\u5b83\u4eec\u8fdb\u884c\u5904\u7406\uff0c\u5c06\u5b83\u4eec\u8f6c\u5316\u6210\u5b9e\u9645\u7684\u6574\u578b\u53d8\u91cf\u3002\u53e6\u5916\uff0c\u5728\u8f6c\u5316\u8fc7\u7a0b\u4e2d\uff0c\u7528\u4e00\u4e2a\u5b57\u6bcd\u6765\u4ee3\u66ff\u8fd9\u4e2a\u6570\uff0c\u5e76\u5c06\u8fd9\u4e2a\u6570\u5b58\u5728\u4e00\u4e2a\u6570\u7ec4\u4e2d\uff0c\u4e14\u5b83\u5728\u6570\u7ec4\u4e2d\u7684\u4f4d\u7f6e\u548c\u4ee3\u66ff\u5b83\u7684\u8fd9\u4e2a\u5b57\u6bcd\u6709\u4e00\u5b9a\u7684\u8054\u7cfb\uff0c\u8fd9\u6837\u624d\u80fd\u53d6\u56de\u8fd9\u4e2a\u6570\u3002
6\u3001\u7531\u4e8e\u5728\u7a77\u4e3e\u8fc7\u7a0b\u96be\u514d\u4f1a\u51fa\u73b0\u8ba1\u7b97\u8fc7\u7a0b\u4e2d\u6709\u9664\u4ee50\u7684\u8ba1\u7b97\uff0c\u6240\u4ee5\u6211\u4eec\u5fc5\u987b\u5bf9calc\u51fd\u6570\u79cd\u5bf9\u4e8e\u9664\u7684\u8fd0\u7b97\u52a0\u4ee5\u5904\u7406\uff0c\u5426\u5219\u7a0b\u5e8f\u4f1a\u56e0\u4e3a\u51fa\u9519\u800c\u9000\u51fa\uff08Divide by 0\uff09\u3002
7\u3001\u6700\u540e\u4e00\u4e2a\u95ee\u9898\uff0c\u672c\u7a0b\u5e8f\u5c1a\u672a\u89e3\u51b3\u3002\u5bf9\u4e8e\u4e00\u4e9b\u6bd4\u8f83\u8457\u540d\u7684\u9898\u76ee\uff0c\u672c\u7a0b\u5e8f\u65e0\u6cd5\u89e3\u7b54\u3002\u6bd4\u5982\u8bf45\u30015\u30015\u30011\u6216\u80058\u30018\u30013\u30013\u3002\u8fd9\u662f\u7531\u4e8e\u8fd9\u4e9b\u9898\u76ee\u5728\u8ba1\u7b97\u7684\u8fc7\u7a0b\u7528\u5230\u4e86\u5c0f\u6570\uff0c\u800c\u672c\u7a0b\u5e8f\u5e76\u6ca1\u6709\u8003\u8651\u5230\u5c0f\u6570\u3002

1.\u5341\u51e0\u4e58\u5341\u51e0\uff1a
\u53e3\u8bc0\uff1a\u5934\u4e58\u5934\uff0c\u5c3e\u52a0\u5c3e\uff0c\u5c3e\u4e58\u5c3e\u3002
\u4f8b\uff1a12\u00d714=\uff1f
\u89e3: 1\u00d71=1
2\uff0b4\uff1d6
2\u00d74\uff1d8
12\u00d714=168
\u6ce8\uff1a\u4e2a\u4f4d\u76f8\u4e58\uff0c\u4e0d\u591f\u4e24\u4f4d\u6570\u8981\u75280\u5360\u4f4d\u3002

2.\u5934\u76f8\u540c\uff0c\u5c3e\u4e92\u8865(\u5c3e\u76f8\u52a0\u7b49\u4e8e10)\uff1a
\u53e3\u8bc0\uff1a\u4e00\u4e2a\u5934\u52a01\u540e\uff0c\u5934\u4e58\u5934\uff0c\u5c3e\u4e58\u5c3e\u3002
\u4f8b\uff1a23\u00d727=\uff1f
\u89e3\uff1a2\uff0b1\uff1d3
2\u00d73\uff1d6
3\u00d77\uff1d21
23\u00d727=621
\u6ce8\uff1a\u4e2a\u4f4d\u76f8\u4e58\uff0c\u4e0d\u591f\u4e24\u4f4d\u6570\u8981\u75280\u5360\u4f4d\u3002

3.\u7b2c\u4e00\u4e2a\u4e58\u6570\u4e92\u8865\uff0c\u53e6\u4e00\u4e2a\u4e58\u6570\u6570\u5b57\u76f8\u540c\uff1a
\u53e3\u8bc0\uff1a\u4e00\u4e2a\u5934\u52a01\u540e\uff0c\u5934\u4e58\u5934\uff0c\u5c3e\u4e58\u5c3e\u3002
\u4f8b\uff1a37\u00d744=\uff1f
\u89e3\uff1a3+1=4
4\u00d74=16
7\u00d74=28
37\u00d744=1628
\u6ce8\uff1a\u4e2a\u4f4d\u76f8\u4e58\uff0c\u4e0d\u591f\u4e24\u4f4d\u6570\u8981\u75280\u5360\u4f4d\u3002

4.\u51e0\u5341\u4e00\u4e58\u51e0\u5341\u4e00\uff1a
\u53e3\u8bc0\uff1a\u5934\u4e58\u5934\uff0c\u5934\u52a0\u5934\uff0c\u5c3e\u4e58\u5c3e\u3002
\u4f8b\uff1a21\u00d741=\uff1f
\u89e3\uff1a2\u00d74=8
2+4=6
1\u00d71=1
21\u00d741=861

5.11\u4e58\u4efb\u610f\u6570\uff1a
\u53e3\u8bc0\uff1a\u9996\u5c3e\u4e0d\u52a8\u4e0b\u843d\uff0c\u4e2d\u95f4\u4e4b\u548c\u4e0b\u62c9\u3002
\u4f8b\uff1a11\u00d723125=\uff1f
\u89e3\uff1a2+3=5
3+1=4
1+2=3
2+5=7
2\u548c5\u5206\u522b\u5728\u9996\u5c3e
11\u00d723125=254375
\u6ce8\uff1a\u548c\u6ee1\u5341\u8981\u8fdb\u4e00\u3002

6.\u5341\u51e0\u4e58\u4efb\u610f\u6570\uff1a
\u53e3\u8bc0\uff1a\u7b2c\u4e8c\u4e58\u6570\u9996\u4f4d\u4e0d\u52a8\u5411\u4e0b\u843d\uff0c\u7b2c\u4e00\u56e0\u6570\u7684\u4e2a\u4f4d\u4e58\u4ee5\u7b2c\u4e8c\u56e0\u6570\u540e\u9762\u6bcf\u4e00\u4e2a\u6570\u5b57\uff0c\u52a0\u4e0b\u4e00\u4f4d\u6570\uff0c\u518d\u5411\u4e0b\u843d\u3002
\u4f8b\uff1a13\u00d7326=\uff1f
\u89e3\uff1a13\u4e2a\u4f4d\u662f3
3\u00d73+2=11
3\u00d72+6=12
3\u00d76=18
13\u00d7326=4238
\u6ce8\uff1a\u548c\u6ee1\u5341\u8981\u8fdb\u4e00\u3002

例1计算：例2已知有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C(如右图).化简.分析从数轴上可直接得到a、b、c的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a-b0.解由数轴知，a0所以，=-a-(a-b)+(c-b)=-a-a+b+c-b=-2a+c例3计算：分析本题看似复杂，其实是纸老虎，只要你敢计算，马上就会发现其中的技巧，问题会变得很简便.　　解原式==　例4计算：2-22-23-24-……-218-219+220.　　分析本题把每一项都算出来再相加，显然太麻烦.怎么让它们“相互抵消”呢？我们可先从最简单的情况考虑.2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.再考虑2-22-23+24=2-22+23（-1+2）=2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.这怎么又等于6了呢？是否可以把这种方法应用到原题呢？显然是可以的.解原式=2-22-23-24-……-218+219（-1+2）=2-22-23-24-……-218+219=2-22-23-24-……-217+218（-1+2）=2-22-23-24-……-217+218=……=2-22+23=6【核心练习】1、已知│ab-2│与│b-1│互为相反数，试求：的值.（提示：此题可看作例1的升级版，求出a、b的值代入就成为了例1.）2、代数式的所有可能的值有（）个（2、3、4、无数个）【参考答案】1、2、3字母表示数篇【核心提示】用字母表示数部分核心知识是求代数式的值和找规律.求代数式的值时，单纯代入一个数求值是很简单的.如果条件给的是方程，我们可把要求的式子适当变形，采用整体代入法或特殊值法.【典型例题】例1已知：3x-6y-5=0,则2x-4y+6=_____分析对于这类问题我们通常用“整体代入法”，先把条件化成最简，然后把要求的代数式化成能代入的形式，代入就行了.这类问题还有一个更简便的方法，可以用“特殊值法”，取y=0,由3x-6y-5=0，可得,把x、y的值代入2x-4y+6可得答案.这种方法只对填空和选择题可用，解答题用这种方法是不合适的.解由3x-6y-5=0，得所以2x-4y+6=2(x-2y)+6==例2已知代数式，其中n为正整数，当x=1时，代数式的值是，当x=-1时，代数式的值是.分析当x=1时，可直接代入得到答案.但当x=-1时，n和(n-1)奇偶性怎么确定呢？因n和(n-1)是连续自然数，所以两数必一奇一偶.解当x=1时，==3当x=-1时，==1例3152=225=100×1（1+1）+25，252=625=100×2（2+1）+25352=1225=100×3（3+1）+25，452=2025=100×4（4+1）+25……752=5625=，852=7225=（1）找规律，把横线填完整；（2）请用字母表示规律;（3）请计算20052的值.　　分析这类式子如横着不好找规律，可竖着找，规律会一目了然.100是不变的，加25是不变的，括号里的加1是不变的，只有括号内的加数和括号外的因数随着平方数的十位数在变.　　解(1)752=100×7（7+1）+25，852=100×8（8+1）+25(2)(10n+5)2=100×n（n+1）+25(3)20052=100×200（200+1）+25=4020025例4如图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③.S表示三角形的个数.（1）当n=4时，S=，（2）请按此规律写出用n表示S的公式.分析当n=4时，我们可以继续画图得到三角形的个数.怎么找规律呢？单纯从结果有时我们很难看出规律，要学会从变化过程找规律.如本题，可用列表法来找，规律会马上显现出来的.解(1)S=13(2)可列表找规律：n123…nS159…4(n-1)+1S的变化过程11+4=51+4+4=9…1+4+4+…+4=4(n-1)+1所以S=4(n-1)+1.(当然也可写成4n-3.)【核心练习】1、观察下面一列数，探究其中的规律：—1，，，，，①填空：第11，12，13三个数分别是，，；②第2008个数是什么？③如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越近？.2、观察下列各式:1+1×3=22,1+2×4=32,1+3×5=42,……请将你找出的规律用公式表示出来:【参考答案】1、①，，;②;③0.2、1+n×(n+2)=(n+1)2平面图形及其位置关系篇【核心提示】平面图形是简单的几何问题.几何问题学起来很简单，但有时不好表述，也就是写不好过程.所以这部分的核心知识是写求线段、线段交点或求角的过程.每个人写的可能都不一样，但只要表述清楚了就可以了，不过在写清楚的情况下要尽量简便.【典型例题】例1平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为______个，最多为______个.　分析6条直线两两相交交点个数最少是1个，最多怎么求呢？我们可让直线由少到多一步步找规律.列出表格会更清楚.解找交点最多的规律：直线条数234…n交点个数136…交点个数变化过程11+2=31+2+3=6…1+2+3+…+(n-1)图形图1图2图3…例2两条平行直线m、n上各有4个点和5个点，任选9点中的两个连一条直线，则一共可以连（）条直线.A．20B．36C．34D．22分析与解让直线m上的4个点和直线n上的5个点分别连可确定20条直线，再加上直线m上的4个点和直线n上的5个点各确定的一条直线，共22条直线.故选D.例3如图，OM是∠AOB的平分线.射线OC在∠BOM内，ON是∠BOC的平分线，已知∠AOC=80°，那么∠MON的大小等于_______.　分析求∠MON有两种思路.可以利用和来求，即∠MON=∠MOC+∠CON.也可利用差来求，方法就多了，∠MON=∠MOB-∠BON=∠AON-∠AOM=∠AOB-∠AOM-∠BON.根据两条角平分线，想法和已知的∠AOC靠拢.解这类问题要敢于尝试，不动笔是很难解出来的.解因为OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，　　　所以∠MOB=∠AOB，∠NOB=∠COB　所以∠MON=∠MOB-∠NOB=∠AOB-∠COB=（∠AOB-∠COB）=∠AOC=×80°=40°例4如图，已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC.（1）求∠DOE的大小；（2）当OC在∠AOB内绕O点旋转时，OD、OE仍是∠BOC和∠AOC的平分线，问此时∠DOE的大小是否和（1）中的答案相同，通过此过程你能总结出怎样的结论.　　分析此题看起来较复杂，OC还要在∠AOB内绕O点旋转，是一个动态问题.当你求出第（1）小题时，会发现∠DOE是∠AOB的一半，也就是说要求的∠DOE，和OC在∠AOB内的位置无关.解(1)因为OC是∠AOB的平分线，OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC.所以∠DOC=∠BOC，∠COE=∠COA所以∠DOE=∠DOC+∠COE=∠BOC+∠COA=（∠BOC+∠COA）=∠AOB因为∠AOB=60°所以∠DOE=∠AOB=×60°=30°(2)由（1）知∠DOE=∠AOB，和OC在∠AOB内的位置无关.故此时∠DOE的大小和（1）中的答案相同.【核心练习】1、A、B、C、D、E、F是圆周上的六个点，连接其中任意两点可得到一条线段，这样的线段共可连出_______条.2、在1小时与2小时之间，时钟的时针与分针成直角的时刻是1时分.【参考答案】1、15条2、.一元一次方程篇【核心提示】一元一次方程的核心问题是解方程和列方程解应用题。解含分母的方程时要找出分母的最小公倍数，去掉分母，一定要添上括号，这样不容易出错.解含参数方程或绝对值方程时，要学会代入和分类讨论。列方程解应用题，主要是列方程，要注意列出的方程必须能解、易解，也就是列方程时要选取合适的等量关系。【典型例题】例1已知方程2x+3=2a与2x+a=2的解相同，求a的值.分析因为两方程的解相同，可以先解出其中一个，把这个方程的解代入另一个方程，即可求解.认真观察可知，本题不需求出x，可把2x整体代入.解由2x+3=2a，得2x=2a-3.把2x=2a-3代入2x+a=2得2a-3+a=2，3a=5,所以例2解方程分析这是一个非常好的题目，包括了去分母容易错的地方，去括号忘变号的情况.解两边同时乘以6，得6x-3(x-1)=12-2(x+1)去分母，得6x-3x+3=12-2x-26x-3x+2x=12-2-35x=7x=例3某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率.分析这类问题我们应首先搞清楚利润率、销售价、进价之间的关系，因销售价=进价×（1+利润率），故还需设出进价，利用销售价不变，辅助设元建立方程.解：设原进价为x元，销售价为y元，那么按原进价销售的利润率为,原进价降低后在销售时的利润率为,由题意得：+8%=解得y=1.17x故这种商品原来的利润率为=17%.例4解方程│x-1│+│x-5│=4分析对于含一个绝对值的方程我们可分两种情况讨论，而对于含两个绝对值的方程，道理是一样的.我们可先找出两个绝对值的“零点”，再把“零点”放中数轴上对x进行讨论.解：由题意可知，当│x-1│=0时，x=1；当│x-5│=0时，x=5.1和5两个“零点”把x轴分成三部分，可分别讨论：1）当x5时，原方程可化为(x-1)+(x-5)=4，解得x=5.因x>5，故应舍去.所以，1≤x≤5是比不过的。【核心练习】1、已知关于x的方程3[x-2(x-)]=4x和有相同的解，那么这个解是.（提示：本题可看作例1的升级版）2、某人以4千米/小时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小时的速度从乙地返回甲地，那么某人往返一次的平均速度是____千米/小时.【参考答案】1、2、4.8生活中的数据篇【核心提示】生活中的数据问题，我们要分清三种统计图的特点，条形图表示数量多少，折线图表示变化趋势，扁形图表示所占百分比.学会观察，学会思考，这类问题相对是比较简单的.【典型例题】例1下面是两支篮球队在上一届省运动会上的4场对抗赛的比赛结果：（单位：分）研究一下可以用哪些统计图来分析比较这两支球队，并回答下列问题：（1）你是怎样设计统计图的？（2）你是怎样评价这两支球队的？和同学们交流一下自己的想法.分析选择什么样的统计图应根据数据的特点和要达到的目的来决定.本题可以用复式条形统计图，达到直观、有效地目的.解用复式条形统计图：（如下图）从复式条形图可知乙球队胜了3场输了1场.例2根据下面三幅统计图（如下图），回答问题：（1）三幅统计图分别表示了什么内容？（2）从哪幅统计图你能看出世界人口的变化情况？（3）2050年非洲人口大约将达到多少亿？你是从哪幅统计图中得到这个数据的？（4）2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，你从哪幅统计图中可以明显地得到这个结论？分析这类问题可根据三种统计图的特点来解答.解（1）折线统计图表示世界人囗的变化趋势，条形统计图表示各洲人囗的多少，扇形统计图表示各洲占世界人囗的百分比.（2）折线统计图（3）80亿，折线统计图.（4）扇形统计图【核心练习】1、如下图为第27届奥运会金牌扇形统计图，根据图中提供的信息回答下列问题：（1）哪国金牌数最多？（2）中国可排第几位？（3）如果你是中国队的总教练，将会以谁为下一次奥运会的追赶目标？【参考答案】1、（1）美国（2）第3位（3）俄罗斯.平行线与相交线篇【核心提示】平行线与相交线核心知识是平行线的性质与判定.单独使用性质或判定的题目较简单，当交替使用时就不太好把握了，有时不易分清何时用性质，何时用判定.我们只要记住因为是条件，所以得到的是结论，再对照性质定理和判定定理就容易分清了.这部分另一核心知识是写证明过程.有时我们认为会做了，但如何写出来呢？往往不知道先写什么，后写什么.写过程是为了说清楚一件事，是为了让别人能看懂，我们带着这种目的去写就能把过程写好了.【典型例题】例1平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（）条.A．7B．6C．9D．8分析与解这样的5个点我们可以画出来，直接查就可得到直线的条数.也可以设只有A、B、C三点在一条直线上，D、E两点分别和A、B、C各确定3条直线共6条，A、B、C三点确定一条直线，D、E两点确定一条直线，这样5个点共确定8条直线.故选D.例2已知∠BED=60°,∠B=40°,∠D=20°,求证：AB∥CD.分析要证明两条直线平行，可考虑使用哪种判定方法得到平行？已知三个角的度数，但这三个角并不是同位角或内错角.因此可以考虑作辅助线让他们建立联系.延长BE可用内错角证明平行.过点E作AB的平行线，可证明FG与CD也平行，由此得到AB∥CD.连接BD，利用同旁内角互补也可证明.解延长BE交CD于O，∵∠BED=60°,∠D=20°，∴∠BOD=∠BED-∠D=60°-20°=40°,∵∠B=40°，∴∠BOD=∠B，∴AB∥CD.其他方法，可自己试试！例3如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线，求证：∠EDF=∠BDF.分析由CE、DF同垂直于AB可得CE∥DF，又知AC∥ED，利用内错角和同位角相等可得到结论.解∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴CE∥DF∴∠EDF=∠DEC，∠BDF=∠DCE，∵AC∥ED，∴∠DEC=∠ACE，∴∠EDF=∠ACE.∵CE是∠ACB的平分线，∴∠DCE=∠ACE，∴∠EDF=∠BDF.例4如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB与∠CBA的平分线相交于O点，求∠AOB的度数.分析已知∠C=90°，由此可知∠CAB与∠CBA的和为90°，由角平分线性质可得∠OAB与∠OBA和为45°，所以可得∠AOB的度数.解∵OA是∠CAB的平分线，OB是∠CBA的平分线，∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA，∴∠OAB+∠OBA=∠CAB+∠CBA=（∠CAB+∠CBA）=（180°-∠C）=45°，∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=135°.（注：其实∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=180°-（180°-∠C）=90°+∠C.所以∠AOB的度数只和∠C的度数有关，可以作为结论记住.）【核心练习】1、如图，AB∥ED,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D,求证：β=2α.(提示：本题可看作例2的升级版)2、如图，E是DF上一点，B是AC上一点，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F.【参考答案】1、可延长BC或DC，也可连接BD，也可过C做平行线.2、先证BD∥CE，再证DF∥AC.三角形篇【核心提示】三角形全等的核心问题是证全等.根据全等的5种判定方法，找出对应的边和角，注意一定要对应，不然会很容易出错.如用SAS证全等，必须找出两边和其夹角对应相等.有时为了证全等，条件中不具备两个全等的三角形，我们就需要适当作辅助构造全等.【典型例题】例1如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上，且∠1=∠B，AD=DE.求证：△ADB≌△DEC.分析要证△ADB和△DEC全等，已具备AD=DE一对边，由AB=AC可知∠B=∠C，还需要一对边或一对角.由条件∠1=∠B知，找角比较容易.通过外角可得到∠BDA=∠CED.证明∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠1=∠B，∴∠1=∠C，∵∠BDA=∠DAC+∠C，∠CED=∠DAC+∠1∴∠BDA=∠CED.在△ADB和△DEC中，∴△ADB≌△DEC（AAS）.例2如图，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD.分析要证AB=AC+BD有两种思路，可以把AB分成两段分别和AC、BD相等，也可以把AC、BD平移连接成一条线段，证明其与AB相等.下面给出第一种思路的过程.证明在AB上截取AF=AC，连接EF，∵EA别平分∠CAB，∴∠CAE=∠FAE，在△ACE和△AFE中，∴△ACE≌△AFE（SAS），∴∠C=∠AFE.∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，∵∠AFE+∠BFE=180°，∴∠BFE=∠D.∵EB平分∠DBA,∴∠FBE=∠DBE在△BFE和△BDE中∴△BFE≌△BDE(AAS),∴BF=BD.∵AB=AF+BF,∴AB=AC+BD.例3如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB.求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ.分析观察AP和AQ所在的三角形，明显要证△ABP和△QCA全等.证出全等AP=AQ可直接得到，通过角之间的等量代换可得∠ADP=90°.证明（1）∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，∴∠AEC=∠ADB=90°，∴∠ABP+∠BAC=∠QCA+∠CAB=90°，∴∠ABP=∠QCA在△ABP和△QCA中∴△ABP≌△QCA(SAS),∴AP=AQ.（2）由（1）△ABP≌△QCA，∴∠P=∠QAC，∵∠P+∠PAD=90°，∴∠QAC+∠PAD=90°，∴AP⊥AQ.【核心练习】1、如图，在△ABC中，AB=BC=CA，CE=BD，则∠AFE=_____度.2、如图，在△ABC中，∠BAC=90°AB=AC.D为AC中点，AE⊥BD，垂足为E.延长AE交BC于F.求证：∠ADB=∠CDF【参考答案】1、602、提示：作∠BAC的平分线交BD于P，可先证△ABP≌△CAF，再证△APD≌△CFD.生活中的轴对称篇【核心提示】轴对称核心问题是轴对称性质和等腰三角形.轴对称问题我们要会画对称点和对称图形，会通过对称点找最短线路.等腰三角形的两腰相等及三线合一，好记但更要想着用，有时往往忽略性质的应用.【典型例题】例1判断下面每组图形是否关于某条直线成轴对称.分析与解根据轴对称的定义和性质，仔细观察，可知（1）是错误的，（2）是成轴对称的.例2下列图形中对称轴条数最多的是()A.正方形B.长方形C.等腰三角形D.等腰梯形E.等边三角形F.角G.线段H.圆I.正五角星分析与解有一条对称轴的是C、D、F、G，有三条对称轴是E，有四条对称轴的是A，有两条对称轴的是B，有五条对称轴的是I，有无数条对称轴的是H.故选H.例3如图，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管______根.分析由添加的钢管长度都与OE相等，可知每增加一根钢管，就增加一个等腰三角形.由点到直线的所有线段中垂线段最短可知，当添加的钢管和OA或OB垂直时，就不能再添加了.解每添加一根钢管，就形成一个外角.如添加EF形成外角∠FEA，添加FG形成外角∠GFB.可列表找规律：添加钢管数1234…8形成的外角度数20304050…90当形成的外角是90°时，已添加8根这样的钢管，不能再添加了.故最多能添加这样的钢管8根.例4小明利用暑假时间去居住在山区的外公家，每天外公都带领小明去放羊，早晨从家出发，到一片草场放羊，天黑前再把羊牵到一条小河边饮水，然后再回家，如图所示，点A表示外公家，点B表示草场，直线l表示小河，请你帮助小明和他外公设计一个方案，使他们每天所走路程最短？分析本题A（外公家）和B（草场）的距离已确定，只需找从B到l（小河）再到A的距离如何最小.因A和B在l的同侧，直接确定饮水处（C点）的位置不容易.本题可利用轴对称的性质把A点转化到河流的另一侧，设为A′，不论饮水处在什么位置，A点与它的对称点A′到饮水处前距离都相等，当A′到B的距离最小时，饮水处到A和B的距离和最小.也可作B的对称点确定C点.解如图所示，C点即为所求饮水处的位置.【核心练习】1、请用1个等腰三角形，2个矩形，3个圆在下面的方框内设计一个轴对称图形，并用简练的语言文字说明你的创意.2、如图所示，AB=AC，D是BC的中点，DE=DF，BC∥EF.这个图形是轴对称图形吗？为什么？【参考答案】1、略2、是轴对称图形，△ABC与△DEF的对称轴都过点D，都与BC垂直，所以是两条对称轴是同一条直线.通过这些核心题目的练习，如能做到举一反三，触类旁通，灵活应变.不仅会节约很多时间和精力，或许这样的练习会很有效.

8+8+8=24

8+8+8 3∧3－3

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