二重积分XY型？ 高数中的二重积分如何选择x-型，y-型区域？

\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206 X\u578b\u533a\u57df\u548cY\u884c\u533a\u57df\u5982\u4f55\u9009\u62e9\uff1f

\u770b\u6709\u6ca1\u6709\u4e0d\u53ef\u5bfc\u70b9\u5b58\u5728\uff0c\u5373\u5c16\u70b9
\u5982\u4e0b\u5217\u56fe\u50cf
\u7531y =\u00b1 x\u548cy = 1\u7ec4\u6210\uff0c\u5411\u5de6\u8f6c|\u5411\u53f3\u8f6c\u3002

X\u578b\uff0c\u5c31\u662f\u5916\u5c42\u79ef\u5206\u662f\u5bf9x\u79ef\u5206\uff0c\u5373\u56fe\u4e2d\u7ea2\u8272\u7bad\u5934\u90e8\u5206
\u5728\u533a\u95f4x=- 1\u5230x=1\u4e2d\uff0c\u4f60\u4f1a\u770b\u5230-1\u2264x\u22640\u548c0\u2264x\u22641\u4e24\u4e2a\u533a\u95f4\u5bf9\u5e94\u7684\u51fd\u6570\u66f2\u7ebf\u662f\u4e0d\u540c\u7684\u3002\u6240\u4ee5\u8fd9\u4e2a\u8003\u8651X\u578b\u7684\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206\u8981\u5206\u5f00\u4e3a"\u4e24\u4e2a"\u90e8\u5206\u8ba1\u7b97\u3002\u4f46Y\u578b\uff0c\u5c31\u662f\u5916\u5c42\u5bf9y\u7684\u79ef\u5206\uff0c\u56fe\u4e2d\u84dd\u8272\u7bad\u5934\u90e8\u5206\uff0c\u540c\u6837\u5728\u533a\u95f4x=-1\u5230x=1\u4e2d\uff0c\u5bf9\u5e94y\u7684\u533a\u95f40\u2264y\u22641\u3002\u53ef\u4ee5\u770b\u5230\u53ea\u8981\u4e00\u4e2a\u7bad\u5934\u5c31\u540c\u65f6\u7a7f\u8d8a\u4e24\u4e2a\u66f2\u7ebf\uff0c\u6240\u4ee5\u53ea\u7528"\u4e00\u4e2a"\u79ef\u5206\u5f0f\u5c31\u80fd\u8ba1\u7b97\u51fa\u6765\uff0c\u6240\u4ee5Y\u578b\u6700\u9002\u5408\u3002
\u518d\u770b\u4e00\u4e2a\u4f8b\u5b50\uff1a
\u7531y = 1/x\u3001y = x\u3001y = 2\u7ec4\u6210\uff0c\u5411\u5de6\u8f6c|\u5411\u53f3\u8f6c\u3002

\u540c\u6837\u9053\u7406\uff0c\u53ef\u89c1X\u578b\u65f6\uff0c\u66f2\u7ebf\u5728(1,1)\u8fd9\u70b9\u8981\u5207\u6362\u66f2\u7ebf\u51fd\u6570\uff0c\u6240\u4ee5X\u578b\u65f6\u8981"\u4e24\u4e2a"\u79ef\u5206\u8ba1\u7b97\u3002\u800cY\u578b\u53ea\u9700\u8981\u4e00\u4e2a\u7bad\u5934\u5c31\u80fd\u540c\u65f6\u7a7f\u8d8a\u4e24\u4e2a\u66f2\u7ebf\uff0c\u6240\u4ee5Y\u578b\u65f6\u53ea\u9700\u8981"\u4e00\u4e2a"\u79ef\u5206\u5c31\u80fd\u7b97\u51fa\u6765\u3002
\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206\u5176\u5b9e\u627e\u5230\u89c4\u5f8b\u975e\u5e38\u5bb9\u6613
\u7b2c\u4e00\u3001\u8bf7\u641e\u6e05\u695a\u4f60\u662f\u5148\u79efx\u8fd8\u662f\u5148\u79efy\uff0c\u4e0b\u9762\u6211\u4ee5\u5148\u79efx\uff0c\u540e\u79efy\u4e3a\u4f8b\uff08\u5f53\u7136\u53cd\u8fc7\u6765\u4e00\u6837\uff09
\u7b2c\u4e8c\u3001\u5c06\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206\u5199\u6210\u222b\u222bdxdy=\u222bdy\u222bdx\u7684\u5f62\u5f0f\u3002\u81f3\u4e8ey\u7684\u79ef\u5206\u533a\u57df\u53ef\u4ee5\u5148\u786e\u5b9a\u4e86\uff0c\u8bb0\u4f4f\uff0c\u540e\u79ef\u7684y\u7684\u79ef\u5206\u4e0a\u4e0b\u9650\u4e00\u5b9a\u662f\u5e38\u6570\uff0c\u800c\u51b3\u4e0d\u80fd\u51fa\u73b0\u53d8\u91cf\u3002\u975e\u5e38\u7b80\u5355\uff1a\u5c06\u5e73\u9762\u533a\u57df\u5411y\u8f74\u4f5c\u5782\u7ebf\uff0c\u6574\u4e2a\u5e73\u9762\u533a\u57df\u7684\u4e0a\u4e0b\u9650\u5c31\u662fy\u7684\u4e0a\u4e0b\u9650\u3002
\u7b2c\u4e09\u3001\u786e\u5b9ax\u7684\u79ef\u5206\u4e0a\u4e0b\u9650\u7a0d\u5fae\u9ebb\u70e6\u4e00\u4e9b\uff0c\u4f46\u4e5f\u4e0d\u96be\u3002\u5047\u5982x\u7684\u4e0a\u4e0b\u9650\u90fd\u662f\u5e38\u6570\uff0c\u90a3\u4e48\u6574\u4e2a\u533a\u57df\u4e00\u5b9a\u662f\u77e9\u5f62\uff0c\u9664\u6b64\u4e4b\u5916\uff0c\u4e0a\u4e0b\u9650\u4e00\u5b9a\u8981\u81f3\u5c11\u51fa\u73b0\u4e00\u6b21\u81ea\u53d8\u91cfy\u3002\u90a3\u4e48\u5177\u4f53\u600e\u4e48\u786e\u5b9a\u5462\uff1f\u5728\u533a\u57df\u5185\u4efb\u610f\u70b9\u505a\u4e00\u6761\u5e73\u884c\u4e8ex\u8f74\u7684\u76f4\u7ebf\uff0c\u76f4\u7ebf\u4f1a\u548c\u5de6\u8fb9\u754c\u548c\u53f3\u8fb9\u754c\u6709\u4e24\u4e2a\u4ea4\u70b9\u3002\u628a\u5de6\u8fb9\u754c\u7684\u65b9\u7a0b\u5199\u51fa\u6765\uff0c\u89e3\u51fay\uff0c\u4f5c\u4e3a\u4e0b\u9650\u3002\u7136\u540e\u540c\u6837\u89e3\u51fa\u4e0a\u9650\u3002\u7b2c\u56db\u3001\u8ba1\u7b97\uff0c\u5148\u79efx\uff0c\u79ef\u51fa\u6765\u7684\u51fd\u6570\uff0c\u5c06x\u6362\u6210\u4e0a\u9650\u51cf\u4e0b\u9650\uff08\u4e00\u822c\u662f\u5173\u4e8ey\u7684\u65b9\u7a0b\uff09\uff0c\u7136\u540e\u518d\u79ef\u5206\u8fd9\u4e2a\u5173\u4e8ey\u7684\u51fd\u6570\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a

\u79ef\u5206\u7684\u7ebf\u6027\u6027\u8d28
\u6027\u8d281 \uff08\u79ef\u5206\u53ef\u52a0\u6027\uff09 \u51fd\u6570\u548c\uff08\u5dee\uff09\u7684\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206\u7b49\u4e8e\u5404\u51fd\u6570\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206\u7684\u548c\uff08\u5dee\uff09\uff0c\u5373

\u6027\u8d282 \uff08\u79ef\u5206\u6ee1\u8db3\u6570\u4e58\uff09 \u88ab\u79ef\u51fd\u6570\u7684\u5e38\u7cfb\u6570\u56e0\u5b50\u53ef\u4ee5\u63d0\u5230\u79ef\u5206\u53f7\u5916\uff0c\u5373
(k\u4e3a\u5e38\u6570\uff09
\u6027\u8d283 \u5982\u679c\u5728\u533a\u57dfD\u4e0a\u6709f(x,y)\u2266g(x,y)\uff0c\u5219

\u6027\u8d284 \u8bbeM\u548cm\u5206\u522b\u662f\u51fd\u6570f(x,y)\u5728\u6709\u754c\u95ed\u533a\u57dfD\u4e0a\u7684\u6700\u5927\u503c\u548c\u6700\u5c0f\u503c\uff0c\u03c3\u4e3a\u533a\u57dfD\u7684\u9762\u79ef\uff0c
\u5219
\u6027\u8d285 \u5982\u679c\u5728\u6709\u754c\u95ed\u533a\u57dfD\u4e0af(x,y)=k\uff08k\u4e3a\u5e38\u6570)\uff0c\u03c3\u4e3aD\u7684\u9762\u79ef\uff0c\u5219S\u03c3=k\u222b\u222bd\u03c3=k\u03c3\u3002[2]
\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206\u4e2d\u503c\u5b9a\u7406
\u8bbe\u51fd\u6570f(x,y)\u5728\u6709\u754c\u95ed\u533a\u57dfD\u4e0a\u8fde\u7eed\uff0c\u03c3\u4e3a\u533a\u57df\u7684\u9762\u79ef\uff0c\u5219\u5728D\u4e0a\u81f3\u5c11\u5b58\u5728\u4e00\u70b9\uff08\u03be\uff0c\u03b7\uff09\uff0c\u4f7f\u5f97

\u53c2\u8003\u8d44\u6599\uff1a\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206_\u767e\u5ea6\u767e\u79d1

\u53ea\u8981\u770b\u79ef\u5206\u533a\u57df\uff1a
1\uff1a\u5982\u679c\u8be5\u533a\u57df\u4e00\u4e2ax\u5bf9\u5e94\u4e86\u51e0\u4e2ay\uff0c\u90a3\u4e48\u4e3ax\u578b\u533a\u57df\uff1b
2\uff1a\u5982\u679c\u8be5\u533a\u57df\u4e00\u4e2ay\u5bf9\u5e94\u4e86\u51e0\u4e2ax,\u90a3\u4e48\u4e3ay\u578b\u533a\u57df\uff1b
3\uff1a\u5982\u679c\u4e00\u4e2a\u533a\u57df\u65e2\u6709x\u578b\u53c8\u6709y\u578b\uff0c\u5219\u9700\u5206\u5f00\u8003\u8651
X\u578b\uff1a\u4efb\u610f\u4e00\u6761\u5e73\u884c\u4e8eY\u8f74\u7684\u76f4\u7ebf\u4e0e\u56fe\u5f62\u53ea\u6709\u4e00\u4e2a\u6216\u4e24\u4e2a\u4ea4\u70b9\u3002
Y\u578b\uff1a\u4efb\u610f\u4e00\u6761\u5e73\u884c\u4e8eX\u8f74\u7684\u76f4\u7ebf\u4e0e\u56fe\u5f62\u53ea\u6709\u4e00\u4e2a\u6216\u4e24\u4e2a\u4ea4\u70b9\uff08\u5728\u8fb9\u754c\u624d\u53ef\u80fd\u5b58\u5728\u4e00\u4e2a\u70b9\uff09\u3002

\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u5f53\u88ab\u79ef\u51fd\u6570\u5927\u4e8e\u96f6\u65f6\uff0c\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206\u662f\u67f1\u4f53\u7684\u4f53\u79ef\u3002
\u5f53\u88ab\u79ef\u51fd\u6570\u5c0f\u4e8e\u96f6\u65f6\uff0c\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206\u662f\u67f1\u4f53\u4f53\u79ef\u8d1f\u503c\u3002
\u79ef\u5206\u53d1\u5c55\u7684\u52a8\u529b\u6e90\u81ea\u5b9e\u9645\u5e94\u7528\u4e2d\u7684\u9700\u6c42\u3002\u5b9e\u9645\u64cd\u4f5c\u4e2d\uff0c\u6709\u65f6\u5019\u53ef\u4ee5\u7528\u7c97\u7565\u7684\u65b9\u5f0f\u8fdb\u884c\u4f30\u7b97\u4e00\u4e9b\u672a\u77e5\u91cf\uff0c\u4f46\u968f\u7740\u79d1\u6280\u7684\u53d1\u5c55\uff0c\u5f88\u591a\u65f6\u5019\u9700\u8981\u77e5\u9053\u7cbe\u786e\u7684\u6570\u503c\u3002
\u8981\u6c42\u7b80\u5355\u51e0\u4f55\u5f62\u4f53\u7684\u9762\u79ef\u6216\u4f53\u79ef\uff0c\u53ef\u4ee5\u5957\u7528\u5df2\u77e5\u7684\u516c\u5f0f\u3002\u6bd4\u5982\u4e00\u4e2a\u957f\u65b9\u4f53\u72b6\u7684\u6e38\u6cf3\u6c60\u7684\u5bb9\u79ef\u53ef\u4ee5\u7528\u957f\u00d7\u5bbd\u00d7\u9ad8\u6c42\u51fa\u3002
\u4f46\u5982\u679c\u6e38\u6cf3\u6c60\u662f\u5375\u5f62\u3001\u629b\u7269\u578b\u6216\u66f4\u52a0\u4e0d\u89c4\u5219\u7684\u5f62\u72b6\uff0c\u5c31\u9700\u8981\u7528\u79ef\u5206\u6765\u6c42\u51fa\u5bb9\u79ef\u3002\u7269\u7406\u5b66\u4e2d\uff0c\u5e38\u5e38\u9700\u8981\u77e5\u9053\u4e00\u4e2a\u7269\u7406\u91cf\uff08\u6bd4\u5982\u4f4d\u79fb\uff09\u5bf9\u53e6\u4e00\u4e2a\u7269\u7406\u91cf\uff08\u6bd4\u5982\u529b\uff09\u7684\u7d2f\u79ef\u6548\u679c\uff0c\u8fd9\u65f6\u4e5f\u9700\u8981\u7528\u5230\u79ef\u5206\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206

那要看你把区域看作是x型还是y型，要是x型的，则积分上下限一般是关于y的函数，要是y型的，则积分上下限一般是关于x的函数

积分想以后，再积分y。就是把y写错了，写成了x

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浜岄噸绉垎f(x,y)= 2,0銆=x銆=1,0銆=y銆=x (=0,鍏朵粬)姹俻{x+y<=1} 鎬 ...
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