有关高中不等式的例题 求高中不等式题目及答案
\u5173\u4e8e\u9ad8\u4e2d\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u5e94\u7528\u9898\u8bbe\u957f\u4e3aX,\u5219\u5bbd\u4e3a200/X,
\u603b\u9020\u4ef7\u4e3aY,\u5219
Y=(X*1*2+200/X*1*2)*400+200*80+200/X*2*248
=800(X+324/X)+16000
\u7531\u5747\u503c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u5f97\u6b64\u5f0f\u5927\u4e8e\u7b49\u4e8e
800*\u6839\u53f7\u4e0b\uff08324x/x)+16000
\u5f53\u4e14\u4ec5\u5f53x=18\u65f6\u7b49\u53f7\u6210\u7acb\uff0cX\u53d6\u6b64\u503c\u65f6\u6709\u5b9e\u9645\u610f\u4e49
\u6700\u5c0f\u503c44800
\uff3b\u4f8b1\uff3d\u8bc1\u660e\u4e0d\u7b49\u5f0f (n\u2208N*) \u547d\u9898\u610f\u56fe\uff1a\u672c\u9898\u662f\u4e00\u9053\u8003\u67e5\u6570\u5b66\u5f52\u7eb3\u6cd5\u3001\u4e0d\u7b49\u5f0f\u8bc1\u660e\u7684\u7efc\u5408\u6027\u9898\u76ee\uff0c\u8003\u67e5\u5b66\u751f\u89c2\u5bdf\u80fd\u529b\u3001\u6784\u9020\u80fd\u529b\u4ee5\u53ca\u903b\u8f91\u5206\u6790\u80fd\u529b\uff0c\u5c5e\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605\u7ea7\u9898\u76ee. \u77e5\u8bc6\u4f9d\u6258\uff1a\u672c\u9898\u662f\u4e00\u4e2a\u4e0e\u81ea\u7136\u6570n\u6709\u5173\u7684\u547d\u9898\uff0c\u9996\u5148\u60f3\u5230\u5e94\u7528\u6570\u5b66\u5f52\u7eb3\u6cd5\uff0c\u53e6\u5916\u8fd8\u6d89\u53ca\u4e0d\u7b49\u5f0f\u8bc1\u660e\u4e2d\u7684\u653e\u7f29\u6cd5\u3001\u6784\u9020\u6cd5\u7b49. \u9519\u89e3\u5206\u6790\uff1a\u6b64\u9898\u6613\u51fa\u73b0\u4e0b\u5217\u653e\u7f29\u9519\u8bef\uff1a \u8fd9\u6837\u53ea\u6ce8\u91cd\u5f62\u5f0f\u7684\u7edf\u4e00\uff0c\u800c\u5ffd\u7565\u5927\u5c0f\u5173\u7cfb\u7684\u9519\u8bef\u4e5f\u662f\u7ecf\u5e38\u53d1\u751f\u7684. \u6280\u5de7\u4e0e\u65b9\u6cd5\uff1a\u672c\u9898\u8bc1\u6cd5\u4e00\u91c7\u7528\u6570\u5b66\u5f52\u7eb3\u6cd5\u4ecen=k\u5230n=k+1\u7684\u8fc7\u6e21\u91c7\u7528\u4e86\u653e\u7f29\u6cd5\uff1b\u8bc1\u6cd5\u4e8c\u5148\u653e\u7f29\uff0c\u540e\u88c2\u9879\uff0c\u6709\u7684\u653e\u77e2\uff0c\u76f4\u8fbe\u76ee\u6807\uff1b\u800c\u8bc1\u6cd5\u4e09\u8fd0\u7528\u51fd\u6570\u601d\u60f3\uff0c\u501f\u52a9\u5355\u8c03\u6027\uff0c\u72ec\u5177\u5320\u5fc3\uff0c\u53d1\u4eba\u6df1\u7701. \u8bc1\u6cd5\u4e00\uff1a(1)\u5f53n\u7b49\u4e8e1\u65f6\uff0c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u5de6\u7aef\u7b49\u4e8e1\uff0c\u53f3\u7aef\u7b49\u4e8e2\uff0c\u6240\u4ee5\u4e0d\u7b49\u5f0f\u6210\u7acb\uff1b (2)\u5047\u8bben=k(k\u22651)\u65f6\uff0c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u6210\u7acb\uff0c\u53731+ \uff1c2 \uff0c \u2234\u5f53n=k+1\u65f6\uff0c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u6210\u7acb. \u7efc\u5408(1)\u3001(2)\u5f97\uff1a\u5f53n\u2208N*\u65f6\uff0c\u90fd\u67091+ \uff1c2 . \u53e6\u4ecek\u5230k+1\u65f6\u7684\u8bc1\u660e\u8fd8\u6709\u4e0b\u5217\u8bc1\u6cd5\uff1a \u8bc1\u6cd5\u4e8c\uff1a\u5bf9\u4efb\u610fk\u2208N*\uff0c\u90fd\u6709\uff1a \u8bc1\u6cd5\u4e09\uff1a\u8bbef(n)= \u90a3\u4e48\u5bf9\u4efb\u610fk\u2208N�* \u90fd\u6709\uff1a \u2234f(k+1)\uff1ef(k) \u56e0\u6b64\uff0c\u5bf9\u4efb\u610fn\u2208N* \u90fd\u6709f(n)\uff1ef(n\uff0d1)\uff1e\u2026\uff1ef(1)=1\uff1e0\uff0c \u2234 \uff3b\u4f8b2\uff3d\u6c42\u4f7f \u2264a (x\uff1e0\uff0cy\uff1e0)\u6052\u6210\u7acb\u7684a\u7684\u6700\u5c0f\u503c. \u547d\u9898\u610f\u56fe\uff1a\u672c\u9898\u8003\u67e5\u4e0d\u7b49\u5f0f\u8bc1\u660e\u3001\u6c42\u6700\u503c\u51fd\u6570\u601d\u60f3\u3001\u4ee5\u53ca\u5b66\u751f\u903b\u8f91\u5206\u6790\u80fd\u529b\uff0c\u5c5e\u4e8e\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605\u7ea7\u9898\u76ee. \u77e5\u8bc6\u4f9d\u6258\uff1a\u8be5\u9898\u5b9e\u8d28\u662f\u7ed9\u5b9a\u6761\u4ef6\u6c42\u6700\u503c\u7684\u9898\u76ee\uff0c\u6240\u6c42a\u7684\u6700\u503c\u8574\u542b\u4e8e\u6052\u6210\u7acb\u7684\u4e0d\u7b49\u5f0f\u4e2d\uff0c\u56e0\u6b64\u9700\u5229\u7528\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u6709\u5173\u6027\u8d28\u628aa\u5448\u73b0\u51fa\u6765\uff0c\u7b49\u4ef7\u8f6c\u5316\u7684\u601d\u60f3\u662f\u89e3\u51b3\u9898\u76ee\u7684\u7a81\u7834\u53e3\uff0c\u7136\u540e\u518d\u5229\u7528\u51fd\u6570\u601d\u60f3\u548c\u91cd\u8981\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7b49\u6c42\u5f97\u6700\u503c. \u9519\u89e3\u5206\u6790\uff1a\u672c\u9898\u89e3\u6cd5\u4e09\u5229\u7528\u4e09\u89d2\u6362\u5143\u540e\u786e\u5b9aa\u7684\u53d6\u503c\u8303\u56f4\uff0c\u6b64\u65f6\u6211\u4eec\u4e60\u60ef\u662f\u5c06x\u3001y\u4e0ecos\u03b8\u3001sin\u03b8\u6765\u5bf9\u5e94\u8fdb\u884c\u6362\u5143\uff0c\u5373\u4ee4 =cos\u03b8\uff0c =sin\u03b8(0\uff1c\u03b8\uff1c )\uff0c\u8fd9\u6837\u4e5f\u5f97a\u2265sin\u03b8+cos\u03b8\uff0c\u4f46\u662f\u8fd9\u79cd\u6362\u5143\u662f\u9519\u8bef\u7684.\u5176\u539f\u56e0\u662f\uff1a(1)\u7f29\u5c0f\u4e86x\u3001y\u7684\u8303\u56f4\uff1b(2)\u8fd9\u6837\u6362\u5143\u76f8\u5f53\u4e8e\u672c\u9898\u53c8\u589e\u52a0\u4e86\u201cx\u3001y=1\u201d\u8fd9\u6837\u4e00\u4e2a\u6761\u4ef6\uff0c\u663e\u7136\u8fd9\u662f\u4e0d\u5bf9\u7684. \u6280\u5de7\u4e0e\u65b9\u6cd5\uff1a\u9664\u4e86\u89e3\u6cd5\u4e00\u7ecf\u5e38\u7528\u7684\u91cd\u8981\u4e0d\u7b49\u5f0f\u5916\uff0c\u89e3\u6cd5\u4e8c\u7684\u65b9\u6cd5\u4e5f\u5f88\u5178\u578b\uff0c\u5373\u82e5\u53c2\u6570a\u6ee1\u8db3\u4e0d\u7b49\u5173\u7cfb\uff0ca\u2265f(x)\uff0c\u5219amin=f(x)max\uff1b\u82e5 a\u2264f(x)\uff0c\u5219amax=f(x)min\uff0c\u5229\u7528\u8fd9\u4e00\u57fa\u672c\u4e8b\u5b9e\uff0c\u53ef\u4ee5\u8f83\u8f7b\u677e\u5730\u89e3\u51b3\u8fd9\u4e00\u7c7b\u4e0d\u7b49\u5f0f\u4e2d\u6240\u542b\u53c2\u6570\u7684\u503c\u57df\u95ee\u9898.\u8fd8\u6709\u4e09\u89d2\u6362\u5143\u6cd5\u6c42\u6700\u503c\u7528\u7684\u6070\u5f53\u597d\u5904\uff0c\u53ef\u4ee5\u628a\u539f\u95ee\u9898\u8f6c\u5316. \u89e3\u6cd5\u4e00\uff1a\u7531\u4e8ea\u7684\u503c\u4e3a\u6b63\u6570\uff0c\u5c06\u5df2\u77e5\u4e0d\u7b49\u5f0f\u4e24\u8fb9\u5e73\u65b9\uff0c\u5f97\uff1a x+y+2 \u2264a2(x+y)\uff0c\u53732 \u2264(a2\uff0d1)(x+y)\uff0c \u2460 \u2234x\uff0cy\uff1e0\uff0c\u2234x+y\u22652 \uff0c \u2461 \u5f53\u4e14\u4ec5\u5f53x=y\u65f6\uff0c\u2461\u4e2d\u6709\u7b49\u53f7\u6210\u7acb. \u6bd4\u8f83\u2460\u3001\u2461\u5f97a\u7684\u6700\u5c0f\u503c\u6ee1\u8db3a2\uff0d1=1\uff0c \u2234a2=2\uff0ca= (\u56e0a\uff1e0)\uff0c\u2234a\u7684\u6700\u5c0f\u503c\u662f . \u89e3\u6cd5\u4e8c\uff1a\u8bbe . \u2235x\uff1e0\uff0cy\uff1e0\uff0c\u2234x+y\u22652 (\u5f53x=y\u65f6\u201c=\u201d\u6210\u7acb)\uff0c \u2234 \u22641\uff0c \u7684\u6700\u5927\u503c\u662f1. \u4ece\u800c\u53ef\u77e5\uff0cu\u7684\u6700\u5927\u503c\u4e3a \uff0c \u53c8\u7531\u5df2\u77e5\uff0c\u5f97a\u2265u\uff0c\u2234a\u7684\u6700\u5c0f\u503c\u4e3a . \u89e3\u6cd5\u4e09\uff1a\u2235y\uff1e0\uff0c \u2234\u539f\u4e0d\u7b49\u5f0f\u53ef\u5316\u4e3a +1\u2264a \uff0c \u8bbe =tan\u03b8\uff0c\u03b8\u2208(0\uff0c ). \u2234tan\u03b8+1\u2264a \uff1b\u5373tan\u03b8+1\u2264asec\u03b8 \u2234a\u2265sin\u03b8+cos\u03b8= sin(\u03b8+ )\uff0c \u2462 \u53c8\u2235sin(\u03b8+ )\u7684\u6700\u5927\u503c\u4e3a1(\u6b64\u65f6\u03b8= ). \u7531\u2462\u5f0f\u53ef\u77e5a\u7684\u6700\u5c0f\u503c\u4e3a . \u25cf\u9526\u56ca\u5999\u8ba1 1.\u4e0d\u7b49\u5f0f\u8bc1\u660e\u5e38\u7528\u7684\u65b9\u6cd5\u6709\uff1a\u6bd4\u8f83\u6cd5\u3001\u7efc\u5408\u6cd5\u548c\u5206\u6790\u6cd5\uff0c\u5b83\u4eec\u662f\u8bc1\u660e\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u6700\u57fa\u672c\u7684\u65b9\u6cd5. (1)\u6bd4\u8f83\u6cd5\u8bc1\u4e0d\u7b49\u5f0f\u6709\u4f5c\u5dee(\u5546)\u3001\u53d8\u5f62\u3001\u5224\u65ad\u4e09\u4e2a\u6b65\u9aa4\uff0c\u53d8\u5f62\u7684\u4e3b\u8981\u65b9\u5411\u662f\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u3001\u914d\u65b9\uff0c\u5224\u65ad\u8fc7\u7a0b\u5fc5\u987b\u8be6\u7ec6\u53d9\u8ff0\uff1b\u5982\u679c\u4f5c\u5dee\u4ee5\u540e\u7684\u5f0f\u5b50\u53ef\u4ee5\u6574\u7406\u4e3a\u5173\u4e8e\u67d0\u4e00\u4e2a\u53d8\u91cf\u7684\u4e8c\u6b21\u5f0f\uff0c\u5219\u8003\u8651\u7528\u5224\u522b\u5f0f\u6cd5\u8bc1. (2)\u7efc\u5408\u6cd5\u662f\u7531\u56e0\u5bfc\u679c\uff0c\u800c\u5206\u6790\u6cd5\u662f\u6267\u679c\u7d22\u56e0\uff0c\u4e24\u6cd5\u76f8\u4e92\u8f6c\u6362\uff0c\u4e92\u76f8\u6e17\u900f\uff0c\u4e92\u4e3a\u524d\u63d0\uff0c\u5145\u5206\u8fd0\u7528\u8fd9\u4e00\u8fa9\u8bc1\u5173\u7cfb\uff0c\u53ef\u4ee5\u589e\u52a0\u89e3\u9898\u601d\u8def\uff0c\u5f00\u6269\u89c6\u91ce. 2.\u4e0d\u7b49\u5f0f\u8bc1\u660e\u8fd8\u6709\u4e00\u4e9b\u5e38\u7528\u7684\u65b9\u6cd5\uff1a\u6362\u5143\u6cd5\u3001\u653e\u7f29\u6cd5\u3001\u53cd\u8bc1\u6cd5\u3001\u51fd\u6570\u5355\u8c03\u6027\u6cd5\u3001\u5224\u522b\u5f0f\u6cd5\u3001\u6570\u5f62\u7ed3\u5408\u6cd5\u7b49.\u6362\u5143\u6cd5\u4e3b\u8981\u6709\u4e09\u89d2\u4ee3\u6362\uff0c\u5747\u503c\u4ee3\u6362\u4e24\u79cd\uff0c\u5728\u5e94\u7528\u6362\u5143\u6cd5\u65f6\uff0c\u8981\u6ce8\u610f\u4ee3\u6362\u7684\u7b49\u4ef7\u6027.\u653e\u7f29\u6027\u662f\u4e0d\u7b49\u5f0f\u8bc1\u660e\u4e2d\u6700\u91cd\u8981\u7684\u53d8\u5f62\u65b9\u6cd5\u4e4b\u4e00\uff0c\u653e\u7f29\u8981\u6709\u7684\u653e\u77e2\uff0c\u76ee\u6807\u53ef\u4ee5\u4ece\u8981\u8bc1\u7684\u7ed3\u8bba\u4e2d\u8003\u67e5.\u6709\u4e9b\u4e0d\u7b49\u5f0f\uff0c\u4ece\u6b63\u9762\u8bc1\u5982\u679c\u4e0d\u6613\u8bf4\u6e05\u695a\uff0c\u53ef\u4ee5\u8003\u8651\u53cd\u8bc1\u6cd5.\u51e1\u662f\u542b\u6709\u201c\u81f3\u5c11\u201d\u201c\u60df\u4e00\u201d\u6216\u542b\u6709\u5176\u4ed6\u5426\u5b9a\u8bcd\u7684\u547d\u9898\uff0c\u9002\u5b9c\u7528\u53cd\u8bc1\u6cd5. \u8bc1\u660e\u4e0d\u7b49\u5f0f\u65f6\uff0c\u8981\u4f9d\u636e\u9898\u8bbe\u3001\u9898\u76ee\u7684\u7279\u70b9\u548c\u5185\u5728\u8054\u7cfb\uff0c\u9009\u62e9\u9002\u5f53\u7684\u8bc1\u660e\u65b9\u6cd5\uff0c\u8981\u719f\u6089\u5404\u79cd\u8bc1\u6cd5\u4e2d\u7684\u63a8\u7406\u601d\u7ef4\uff0c\u5e76\u638c\u63e1\u76f8\u5e94\u7684\u6b65\u9aa4\u3001\u6280\u5de7\u548c\u8bed\u8a00\u7279\u70b9. \u4e00\u3001\u586b\u7a7a\u9898 1.(\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605)\u5df2\u77e5x\u3001y\u662f\u6b63\u53d8\u6570\uff0ca\u3001b\u662f\u6b63\u5e38\u6570\uff0c\u4e14 =1\uff0cx+y\u7684\u6700\u5c0f\u503c\u4e3a__________. 2.(\u2605\u2605\u2605\u2605)\u8bbe\u6b63\u6570a\u3001b\u3001c\u3001d\u6ee1\u8db3a+d=b+c\uff0c\u4e14|a\uff0dd|\uff1c|b\uff0dc|\uff0c\u5219ad\u4e0ebc\u7684\u5927\u5c0f\u5173\u7cfb\u662f__________. 3.(\u2605\u2605\u2605\u2605)\u82e5m\uff1cn\uff0cp\uff1cq\uff0c\u4e14(p\uff0dm)(p\uff0dn)\uff1c0\uff0c(q\uff0dm)(q\uff0dn)\uff1c0\uff0c\u5219m\u3001n\u3001p\u3001q\u7684\u5927\u5c0f\u987a\u5e8f\u662f__________. \u4e8c\u3001\u89e3\u7b54\u9898 4.(\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605)\u5df2\u77e5a\uff0cb\uff0cc\u4e3a\u6b63\u5b9e\u6570\uff0ca+b+c=1. \u6c42\u8bc1\uff1a(1)a2+b2+c2\u2265 (2) \u22646 5.(\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605)\u5df2\u77e5x\uff0cy\uff0cz\u2208R\uff0c\u4e14x+y+z=1\uff0cx2+y2+z2= \uff0c\u8bc1\u660e\uff1ax\uff0cy\uff0cz\u2208\uff3b0\uff0c \uff3d 6.(\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605)\u8bc1\u660e\u4e0b\u5217\u4e0d\u7b49\u5f0f\uff1a (1)\u82e5x\uff0cy\uff0cz\u2208R\uff0ca\uff0cb\uff0cc\u2208R+\uff0c\u5219 z2\u22652(xy+yz+zx) (2)\u82e5x\uff0cy\uff0cz\u2208R+\uff0c\u4e14x+y+z=xyz\uff0c \u5219 \u22652( ) 7.(\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605)\u5df2\u77e5i\uff0cm\u3001n\u662f\u6b63\u6574\u6570\uff0c\u4e141\uff1ci\u2264m\uff1cn. (1)\u8bc1\u660e\uff1aniA \uff1cmiA \uff1b(2)\u8bc1\u660e\uff1a(1+m)n\uff1e(1+n)m8.(\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605)\u82e5a\uff1e0\uff0cb\uff1e0\uff0ca3+b3=2\uff0c\u6c42\u8bc1\uff1aa+b\u22642\uff0cab\u22641. \u53c2\u8003\u7b54\u6848 \u8bc1\u6cd5\u4e00\uff1a(\u5206\u6790\u7efc\u5408\u6cd5\uff09\u6b32\u8bc1\u539f\u5f0f\uff0c\u5373\u8bc14(ab)2+4(a2+b2)\uff0d25ab+4\u22650\uff0c\u5373\u8bc14(ab)2\uff0d33(ab)+8\u22650\uff0c\u5373\u8bc1ab\u2264 \u6216ab\u22658.\u2235a\uff1e0\uff0cb\uff1e0\uff0ca+b=1\uff0c\u2234ab\u22658\u4e0d\u53ef\u80fd\u6210\u7acb\u22351=a+b\u22652 \uff0c\u2234ab\u2264 \uff0c\u4ece\u800c\u5f97\u8bc1.\u8bc1\u6cd5\u4e8c\uff1a(\u5747\u503c\u4ee3\u6362\u6cd5)\u8bbea= +t1\uff0cb= +t2.\u2235a+b=1\uff0ca\uff1e0\uff0cb\uff1e0\uff0c\u2234t1+t2=0\uff0c|t1|\uff1c \uff0c|t2|\uff1c \u663e\u7136\u5f53\u4e14\u4ec5\u5f53t=0\uff0c\u5373a=b= \u65f6\uff0c\u7b49\u53f7\u6210\u7acb.\u8bc1\u6cd5\u4e09\uff1a(\u6bd4\u8f83\u6cd5\uff09\u2235a+b=1\uff0ca\uff1e0\uff0cb\uff1e0\uff0c\u2234a+b\u22652 \uff0c\u2234ab\u2264 \u8bc1\u6cd5\u56db\uff1a(\u7efc\u5408\u6cd5)\u2235a+b=1\uff0c a\uff1e0\uff0cb\uff1e0\uff0c\u2234a+b\u22652 \uff0c\u2234ab\u2264 .\u8bc1\u6cd5\u4e94\uff1a(\u4e09\u89d2\u4ee3\u6362\u6cd5\uff09\u2235 a\uff1e0\uff0cb\uff1e0\uff0ca+b=1\uff0c\u6545\u4ee4a=sin2\u03b1\uff0cb=cos2\u03b1\uff0c\u03b1\u2208(0\uff0c )2 \u4e00\u30011.\u89e3\u6790\uff1a\u4ee4 =cos2\u03b8\uff0c =sin2\u03b8\uff0c\u5219x=asec2\u03b8\uff0cy=bcsc2\u03b8\uff0c\u2234x+y=asec2\u03b8+bcsc2\u03b8=a+b+atan2\u03b8+bcot2\u03b8\u2265a+b+2 .\u7b54\u6848\uff1aa+b+2 2.\u89e3\u6790\uff1a\u75310\u2264|a\uff0dd|\uff1c|b\uff0dc| (a\uff0dd)2\uff1c(b\uff0dc)2 (a+b)2\uff0d4ad\uff1c(b+c)2\uff0d4bc�\u2235a+d=b+c\uff0c\u2234\uff0d4ad\uff1c\uff0d4bc\uff0c\u6545ad\uff1ebc.\u7b54\u6848\uff1aad\uff1ebc3.\u89e3\u6790\uff1a\u628ap\u3001q\u770b\u6210\u53d8\u91cf\uff0c\u5219m\uff1cp\uff1cn\uff0cm\uff1cq\uff1cn.\u7b54\u6848\uff1am\uff1cp\uff1cq\uff1cn\u4e8c\u30014.(1)\u8bc1\u6cd5\u4e00\uff1aa2+b2+c2\uff0d = (3a2+3b2+3c2\uff0d1)= \uff3b3a2+3b2+3c2\uff0d(a+b+c)2\uff3d= \uff3b3a2+3b2+3c2\uff0da2\uff0db2\uff0dc2\uff0d2ab\uff0d2ac\uff0d2bc\uff3d= \uff3b(a\uff0db)2+(b\uff0dc)2+(c\uff0da)2\uff3d\u22650 \u2234a2+b2+c2\u2265 \u8bc1\u6cd5\u4e8c\uff1a\u2235(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc\u2264a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2\u22343(a2+b2+c2)\u2265(a+b+c)2=1 \u2234a2+b2+c2\u2265 \u8bc1\u6cd5\u4e09\uff1a\u2235 \u2234a2+b2+c2\u2265 \u2234a2+b2+c2\u2265 \u8bc1\u6cd5\u56db\uff1a\u8bbea= +\u03b1\uff0cb= +\u03b2\uff0cc= +\u03b3.\u2235a+b+c=1\uff0c\u2234\u03b1+\u03b2+\u03b3=0\u2234a2+b2+c2=( +\u03b1)2+( +\u03b2)2+( +\u03b3)2= + (\u03b1+\u03b2+\u03b3)+\u03b12+\u03b22+\u03b32= +\u03b12+\u03b22+\u03b32\u2265 \u2234a2+b2+c2\u2265 \u2234\u539f\u4e0d\u7b49\u5f0f\u6210\u7acb.\u8bc1\u6cd5\u4e8c\uff1a \u2234 \u2264 \uff1c6\u2234\u539f\u4e0d\u7b49\u5f0f\u6210\u7acb.5.\u8bc1\u6cd5\u4e00\uff1a\u7531x+y+z=1\uff0cx2+y2+z2= \uff0c\u5f97x2+y2+(1\uff0dx\uff0dy)2= \uff0c\u6574\u7406\u6210\u5173\u4e8ey\u7684\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u5f97\uff1a2y2\uff0d2(1\uff0dx)y+2x2\uff0d2x+ =0\uff0c\u2235y\u2208R\uff0c\u6545\u0394\u22650\u22344(1\uff0dx)2\uff0d4\u00d72(2x2\uff0d2x+ )\u22650\uff0c\u5f970\u2264x\u2264 \uff0c\u2234x\u2208\uff3b0\uff0c \uff3d\u540c\u7406\u53ef\u5f97y\uff0cz\u2208\uff3b0\uff0c \uff3d\u8bc1\u6cd5\u4e8c\uff1a\u8bbex= +x\u2032\uff0cy= +y\u2032\uff0cz= +z\u2032\uff0c\u5219x\u2032+y\u2032+z\u2032=0\uff0c\u4e8e\u662f =( +x\u2032)2+( +y\u2032)2+( +z\u2032)2= +x\u20322+y\u20322+z\u20322+ (x\u2032+y\u2032+z\u2032)= +x\u20322+y\u20322+z\u20322\u2265 +x\u20322+ = + x\u20322\u6545x\u20322\u2264 \uff0cx\u2032\u2208\uff3b\uff0d \uff0c \uff3d\uff0cx\u2208\uff3b0\uff0c \uff3d\uff0c\u540c\u7406y\uff0cz\u2208\uff3b0\uff0c \uff3d\u8bc1\u6cd5\u4e09\uff1a\u8bbex\u3001y\u3001z\u4e09\u6570\u4e2d\u82e5\u6709\u8d1f\u6570\uff0c\u4e0d\u59a8\u8bbex\uff1c0\uff0c\u5219x2\uff1e0\uff0c =x2+y2+z2\u2265x2+ \uff1e \uff0c\u77db\u76fe.x\u3001y\u3001z\u4e09\u6570\u4e2d\u82e5\u6709\u6700\u5927\u8005\u5927\u4e8e \uff0c\u4e0d\u59a8\u8bbex\uff1e \uff0c\u5219 =x2+y2+z2\u2265x2+ =x2+ = x2\uff0dx+ = x(x\uff0d )+ \uff1e \uff1b\u77db\u76fe.\u6545x\u3001y\u3001z\u2208\uff3b0\uff0c \uff3d\u2235\u4e0a\u5f0f\u663e\u7136\u6210\u7acb\uff0c\u2234\u539f\u4e0d\u7b49\u5f0f\u5f97\u8bc1.7.\u8bc1\u660e\uff1a(1)\u5bf9\u4e8e1\uff1ci\u2264m\uff0c\u4e14A =m\u00b7\u2026\u00b7(m\uff0di+1)\uff0c\uff0c\u7531\u4e8em\uff1cn\uff0c\u5bf9\u4e8e\u6574\u6570k=1\uff0c2\uff0c\u2026\uff0ci\uff0d1\uff0c\u6709 \uff0c\u6240\u4ee5 (2)\u7531\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406\u6709\uff1a(1+m)n=1+C m+C m2+\u2026+C mn\uff0c(1+n)m=1+C n+C n2+\u2026+C nm\uff0c\u7531(1)\u77e5miA \uff1eniA (1\uff1ci\u2264m \uff0c\u800cC = \u2234miCin\uff1eniCim(1\uff1cm\uff1cn \u2234m0C =n0C =1\uff0cmC =nC =m\u00b7n\uff0cm2C \uff1en2C \uff0c\u2026\uff0cmmC \uff1enmC \uff0cmm+1C \uff1e0\uff0c\u2026\uff0cmnC \uff1e0\uff0c\u22341+C m+C m2+\u2026+C mn\uff1e1+C n+C2mn2+\u2026+C nm\uff0c\u5373(1+m)n\uff1e(1+n)m\u6210\u7acb.8.\u8bc1\u6cd5\u4e00\uff1a\u56e0a\uff1e0\uff0cb\uff1e0\uff0ca3+b3=2\uff0c\u6240\u4ee5(a+b)3\uff0d23=a3+b3+3a2b+3ab2\uff0d8=3a2b+3ab2\uff0d6=3\uff3bab(a+b)\uff0d2\uff3d=3\uff3bab(a+b)\uff0d(a3+b3)\uff3d=\uff0d3(a+b)(a\uff0db)2\u22640.\u5373(a+b)3\u226423\uff0c\u53c8a+b\uff1e0\uff0c\u6240\u4ee5a+b\u22642\uff0c\u56e0\u4e3a2 \u2264a+b\u22642\uff0c\u6240\u4ee5ab\u22641.\u8bc1\u6cd5\u4e8c\uff1a\u8bbea\u3001b\u4e3a\u65b9\u7a0bx2\uff0dmx+n=0\u7684\u4e24\u6839\uff0c\u5219 \uff0c\u56e0\u4e3aa\uff1e0\uff0cb\uff1e0\uff0c\u6240\u4ee5m\uff1e0\uff0cn\uff1e0\uff0c\u4e14\u0394=m2\uff0d4n\u22650 \u2460\u56e0\u4e3a2=a3+b3=(a+b)(a2\uff0dab+b2)=(a+b)\uff3b(a+b)2\uff0d3ab\uff3d=m(m2\uff0d3n)\u6240\u4ee5n= \u2461\u5c06\u2461\u4ee3\u5165\u2460\u5f97m2\uff0d4( )\u22650\uff0c\u5373 \u22650\uff0c\u6240\u4ee5\uff0dm3+8\u22650\uff0c\u5373m\u22642\uff0c\u6240\u4ee5a+b\u22642\uff0c\u75312\u2265m \u5f974\u2265m2\uff0c\u53c8m2\u22654n\uff0c\u6240\u4ee54\u22654n\uff0c\u5373n\u22641\uff0c\u6240\u4ee5ab\u22641.\u8bc1\u6cd5\u4e09\uff1a\u56e0a\uff1e0\uff0cb\uff1e0\uff0ca3+b3=2\uff0c\u6240\u4ee52=a3+b3=(a+b)(a2+b2\uff0dab)\u2265(a+b)(2ab\uff0dab)=ab(a+b)\u4e8e\u662f\u67096\u22653ab(a+b)\uff0c\u4ece\u800c8\u22653ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=�(a+b)3\uff0c\u6240\u4ee5a+b\u22642\uff0c(\u4e0b\u7565\uff09\u8bc1\u6cd5\u56db\uff1a\u56e0\u4e3a \u22650\uff0c\u6240\u4ee5\u5bf9\u4efb\u610f\u975e\u8d1f\u5b9e\u6570a\u3001b\uff0c\u6709 \u2265 \u56e0\u4e3aa\uff1e0\uff0cb\uff1e0\uff0ca3+b3=2\uff0c\u6240\u4ee51= \u2265 \uff0c\u2234 \u22641\uff0c\u5373a+b\u22642\uff0c(\u4ee5\u4e0b\u7565\uff09\u8bc1\u6cd5\u4e94\uff1a\u5047\u8bbea+b\uff1e2\uff0c\u5219a3+b3=(a+b)(a2\uff0dab+b2)=(a+b)\uff3b(a+b)2\uff0d3ab\uff3d\uff1e(a+b)ab\uff1e2ab\uff0c\u6240\u4ee5ab\uff1c1\uff0c\u53c8a3+b3=(a+b)\uff3ba2\uff0dab+b2\uff3d=(a+b)\uff3b(a+b)2\uff0d3ab\uff3d\uff1e2(22\uff0d3ab)\u56e0\u4e3aa3+b3=2\uff0c\u6240\u4ee52\uff1e2(4\uff0d3ab)\uff0c\u56e0\u6b64ab\uff1e1\uff0c\u524d\u540e\u77db\u76fe\uff0c\u6545a+b\u22642(\u4ee5\u4e0b\u7565)
例4 解答题(2)求不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解．
分析：对(1)小题中要明白“不小于”即“大于或等于”，用符号表示即为“≥”；(2)小题非负整数，即指正数或零中的整数，所以此题的不等式的解必须是正整数或零．在求解过程中注意正确运用不等式性质．
解：
∴ 120-8x≥84-3(4x+1)
(2)∵10(x+4)+x≤84
∴10x+40+x≤84
∴11x≤44
∴x≤4
因为不大于4的非负整数有0，1，2，3，4五个，所以不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解是4，3，2，1，0．
例5 解关于x的不等式
(1)ax+2≤bx-1 (2)m(m-x)＞n(n-x)
分析：解字母系数的不等式与解数字系数不等式的方法、步骤都是类似的，只是在求解过程中常要对字母系数进行讨论，这就增加了题目的难度．此类问题主要考察了对问题的分析、分类的能力：它不但要知道什么时候该进行分类讨论，而且还要求能准确地分出类别来进行讨论(结合例题解法再给与说明)．
解：(1)∵ax+2≤bx-1
∴ax-bx≤-1-2
即 (a-b)x≤-3
此时要依x字母系数的不同取值，分别求出不等式的解的形式．
即(n-m)x＞n2-m2
当m＞n时，n-m＜0，∴x＜n+m；
当m＜n时，n-m＞0，∴x＞n+m；
当m=n时，n-m=0，n2=m2，n2-m2=0，原不等式无解．这是因为此时无论x取任何值时，不等式两边的值都为零，只能是相等的，所以不等式不成立．
例6 解关于x的不等式
3(a+1)x+3a≥2ax+3．
分析：由于x是未知数，所以把a看作已知数，又由于a可以是任意有理数，所以在应用同解原理时，要区别情况，分别处理．
解：去括号，得
3ax+3x+3a≥2ax+3
移项，得
3ax+3x-2ax≥3-3a
合并同类项，得
(a+3)x≥3-3a
(3)当a+3=0，即a=-3，得0·x≥12
这个不等式无解．
说明：在处理字母系数的不等式时，首先要弄清哪一个字母是未知数，而把其它字母看作已知数，在运用同解原理把未知数的系数化为1时，应作合理的分类，逐一讨论．
例7 m为何值时，关于x的方程3(2x-3m)-2(x+4m)＝4(5-x)的解是非正数．
分析：根据题意，应先把m当作已知数解方程，然后根据解的条件列出关于m的不等式，再解这个不等式求出m的值或范围．注意：“非正数”是小于或等于零的数．
解：由已知方程有6x-9m-2x-8m=20-4x
可解得 8x=20+17m
已知方程的解是非正数，所以
例8 若关于x的方程5x-(4k-1)=7x+4k-3的解是：(1)非负数，(2)负数，试确定k的取值范围．
分析：要确定k的范围，应将k作为已知数看待，按解一元一次方程的步骤求得方程的解x(用k的代数式表示之)．这时再根据题中已知方程的解是非负数或是负数得到关于k的不等式，求出k的取值范围．这里要强调的是本题不是直接去解不等式，而是依已知条件获得不等式，属于不等式的应用．
解：由已知方程有5x-4k+1=7x+4k-3
可解得 -2x=8k-4
即 x=2(1-2k)
(1)已知方程的解是非负数，所以
(2)已知方程的解是负数，所以
例9 当x在什么范围内取值时，代数式-3x+5的值：
(1)是负数 (2)大于-4
(3)小于-2x+3 (4)不大于4x-9
分析：解题的关键是把“是负数”，“大于”，“小于”，“不大于”等文字语言准确地翻译成数字符号．
解：(1)根据题意，应求不等式
-3x+5＜0的解集
解这个不等式，得
(2)根据题意，应求不等式
-3x+5＞-4的解集
解这个不等式，得
x＜3
所以当x取小于3的值时，-3x+5的值大于-4．
(3)根据题意，应求不等式
-3x+5＜-2x+3的解集
-3x+2x＜3-5
-x＜-2
x＞2
所以当x取大于2的值时，-3x+5的值小于-2x+3．
(4)根据题意，应求不等式
-3x+5≤4x-9的解集
-3x-4x≤-9-5
-7x≤-14
x≥2
所以当x取大于或等于2的值时，-3x+5的值不大于4x-9．
例10
分析：
解不等式，求出x的范围．
解：
说明：应用不等式知识解决数学问题时，要弄清题意，分析问题中数量之间的关系，正确地表示出数学式子．如“不超过”即为“小于或等于”，“至少小2”，表示不仅少2，而且还可以少得比2更多．
例11 三个连续正整数的和不大于17，求这三个数．
分析：
解：设三个连续正整数为n-1，n，n+1
根据题意，列不等式，得
n-1+n+n+1≤17
所以有四组：1、2、3；2、3、4；3、4、5；4、5、6．
说明：解此类问题时解集的完整性不容忽视．如不等式x＜3的正整数解是1、2，它的非负整数解是0、1、2．
例12 将18.4℃的冷水加入某种电热淋浴器内，现要求热水温度不超过40℃，如果淋浴器每分钟可把水温上升0.9℃，问通电最多多少分钟，水温才适宜？
分析：设通电最多x分钟，水温才适宜．则通电x分钟水温上升了0.9x℃，这时水温是(18.4+0.9x)℃，根据题意，应列出不等式18.4+0.9x≤40，解得，x≤24．
答案：通电最多24分，水温才适宜．
说明：解答此类问题时，对那些不确定的条件一定要充分考虑，并“翻译”成数学式子，以免得出失去实际意义或不全面的结论．
例13 矿山爆破时，为了确保安全，点燃引火线后，人要在爆破前转移到300米以外的安全地区．引火线燃烧的速度是0.8厘米/秒，人离开速度是5米/秒，问引火线至少需要多少厘米？
解：设引火线长为x厘米，
根据题意，列不等式，得
解之得，x≥48(厘米)
答：引火线至少需要48厘米．
*例14 解不等式|2x+1|＜4．
解：把2x+1看成一个整体y，由于当-4＜y＜4时，有|y|＜4，即-4＜2x+1＜4，
巧解一元一次不等式
怎样才能正确而迅速地解一元一次不等式？现结合实例介绍一些技巧，供参考．
1．巧用乘法
例1 解不等式0.25x＞10.5．
分析 因为0.25×4=1，所以两边同乘以4要比两边同除以0.25来得简便．
解 两边同乘以4，得x＞42．
2．巧用对消法
例2 解不等式
解 原不等式变为
3．巧用分数加减法法则
故 y＜-1．
4．逆用分数加减法法则
解 原不等式化为
，
5．巧用分数基本性质
例5 解不等式
约去公因数2后，两边的分母相同；②两个常数项移项合并得整数．
例6 解不等式
分析 由分数基本性质，将分母化为整数和去分母一次到位可避免繁琐的运算．
解 原不等式为
整理，得8x-3-25x+4＜12-10x，
思考：例5可这样解吗？请不妨试一试．
6．巧去括号
去括号一般是内到外，即按小、中、大括号的顺序进行，但有时反其道而行之即由外到内去括号往往能另辟捷径．
7．逆用乘法分配律
例8 解不等式
278(x-3)+351(6-2x)-463(3-x)＞0．
分析 直接去括号较繁，注意到左边各项均含有因式x-3而逆用分配律可速解此题．
解 原不等式化为
(x-3)(278-351×2+463)＞0，
即 39(x-3)＞0，故x＞3．
8．巧用整体合并
例9 解不等式
3｛2x-1-[3(2x-1)+3]｝＞5．
解 视2x-1为一整体，去大、中括号，得3(2x-1)-9(2x-1)-9＞5，整体合并，得-6(2x-1)＞14，
9．巧拆项
例10 解不等式
分析 将-3拆为三个负1，再分别与另三项结合可巧解本题．
解 原不等式变形为
得x-1≥0，故x≥1．
练习题
解下列一元一次不等式
③3｛3x+2-[2(3x+2)-1]｝≥3x+1．
答案
回答者：匿名 7-31 09:24
代数不等式的解法�6�1例题
例5-3-1 解不等式16x+x4-x5＜16。
解 原不等式可同解变形为
x5-x4-16x+16＞0。
左边分解因式，得同解不等式
(x-1)(x2+4)(x-2)(x+2)＞0
用数轴标根法，得不等式的解集为{x|-2＜x＜1或x＞2}。
注 解实系数一元高次不等式，可先把最高次项的系数化为正数，并使右边为0，再通过因式分解，将左边变形，最后用数轴标根法求解集。
例5-3-2 (1)已知关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为(-∞，α)∪(β，+∞)。求ax2+bx+c＞的解集，并说明b的取值范围a，c的关系；
(2)若a＜0，解不等式(a-1)x2+b(2-a)x-b2＞0。
解 (1)由题设知，a＜0。所以，
(x-α)(x-β)＜0
由此可知，当α≠β时，不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|α＜x＜β}；当α=β时，不等式无解。
又由题设a＜0，且b2-4ac≥0，即b2≥4ac。因此，当c≥0时，有4ac≤0，这时b可取任意实数；当c＜0时，则4ac＞0，这时
(2)由于a＜0，从而a-1＜0，故所给不等式同解于
若b=0，此不等式即为x2＜0。这时无解；
解集为
注 解一元二次不等式时，应充分利用二次函数的图象，通过形数结合，提高解题的速度。
解 [法一] 移项、化简，原不等式同解于
(x+1)x(x-1)(x-3)＜0
由下图可知，原不等式的解集是
{x|-1＜x＜0或1＜x＜3}
[法二] 原不等式同解于不等式组
故(Ⅰ)的解集为{x|1＜x＜3}；(Ⅱ)的解集为x|-1＜x＜0。从而所求解集为
{x|1＜x＜3}∪{x|-1＜x＜0}={x|1＜x＜3或-1＜x＜0}
注 将不等式同解变形为不等式组时，要注意区分解集的“交”、“并”关系。
例5-3-4 解下列不等式：
解 (1)原不等式同解于不等式组
解不等式组(Ⅰ)，得0＜x＜1，(Ⅱ)无解。故原不等式的解集是
{x|0＜x＜1}
(2)令t=x2-x，则原不等式化为
此不等式的允许值集确定于不等式组
另一方面，不等式(i)可化为
注 解含根式的不等式，关键在于去掉根号，使之化为有理不等式。去掉二次根号的常用方法是平方法，有时也采用变量代换的方法或配成完全平方的方法。无论采用哪种方法，都要注意转化的同解性。
例5-3-5 解下列不等式：
解 (1)原不等式可化为
(2)原不等式的允许值集为{x|x≥3}。原不等式可化为
两边立方，得
化简并整理后即为
解前一不等式组得x＞4；后一不等式组无解。故原不等式的解集为{x|x＞4}。
例5-3-6 解关于x的不等式：
当a＜0时，由(i)得t＞1-a＞0，即
当a=0时，(i)无解；
于是，
当a≥1时，(i)无解。
综上所述，当a＜0时，原不等式的解集为
当a=0或a≥1时，原不等式无解。
注 本例既涉及变量代换，又涉及参数的讨论，综合性较强，但并不需要高超的技巧，按常规方法即可解决。关键是变量代换，难点是严
间，要认真领会。
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