求不定积分 ∫ sin²xcosx dx. 求不定积分∫xcosx dx

\u6c42\u222bsinx\u00d7cosxdx\u7684\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206

\u89e3\uff1a\u539f\u5f0f=sinxcosx
=1/2sin2x
=1/4\u222bxsin2xdx
=1/4\u222bxsin2xd2x
=-1/4\u222bxdcos2x
=-xcos2x/4+1/4\u222bcos2xdx
= -xcos2x/4+sin2x/8+C
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\u6c42\u51fd\u6570\u79ef\u5206\u7684\u65b9\u6cd5\uff1a
\u5982\u679c\u4e00\u4e2a\u51fd\u6570f\u5728\u67d0\u4e2a\u533a\u95f4\u4e0a\u9ece\u66fc\u53ef\u79ef\uff0c\u5e76\u4e14\u5728\u6b64\u533a\u95f4\u4e0a\u5927\u4e8e\u7b49\u4e8e\u96f6\u3002\u90a3\u4e48\u5b83\u5728\u8fd9\u4e2a\u533a\u95f4\u4e0a\u7684\u79ef\u5206\u4e5f\u5927\u4e8e\u7b49\u4e8e\u96f6\u3002\u5982\u679cf\u52d2\u8d1d\u683c\u53ef\u79ef\u5e76\u4e14\u51e0\u4e4e\u603b\u662f\u5927\u4e8e\u7b49\u4e8e\u96f6\uff0c\u90a3\u4e48\u5b83\u7684\u52d2\u8d1d\u683c\u79ef\u5206\u4e5f\u5927\u4e8e\u7b49\u4e8e\u96f6\u3002
\u4f5c\u4e3a\u63a8\u8bba\uff0c\u5982\u679c\u4e24\u4e2a \u4e0a\u7684\u53ef\u79ef\u51fd\u6570f\u548cg\u76f8\u6bd4\uff0cf\uff08\u51e0\u4e4e\uff09\u603b\u662f\u5c0f\u4e8e\u7b49\u4e8eg\uff0c\u90a3\u4e48f\u7684\uff08\u52d2\u8d1d\u683c\uff09\u79ef\u5206\u4e5f\u5c0f\u4e8e\u7b49\u4e8eg\u7684\uff08\u52d2\u8d1d\u683c\uff09\u79ef\u5206\u3002
\u51fd\u6570\u7684\u79ef\u5206\u8868\u793a\u4e86\u51fd\u6570\u5728\u67d0\u4e2a\u533a\u57df\u4e0a\u7684\u6574\u4f53\u6027\u8d28\uff0c\u6539\u53d8\u51fd\u6570\u67d0\u70b9\u7684\u53d6\u503c\u4e0d\u4f1a\u6539\u53d8\u5b83\u7684\u79ef\u5206\u503c\u3002\u5bf9\u4e8e\u9ece\u66fc\u53ef\u79ef\u7684\u51fd\u6570\uff0c\u6539\u53d8\u6709\u9650\u4e2a\u70b9\u7684\u53d6\u503c\uff0c\u5176\u79ef\u5206\u4e0d\u53d8\u3002
\u5bf9\u4e8e\u52d2\u8d1d\u683c\u53ef\u79ef\u7684\u51fd\u6570\uff0c\u67d0\u4e2a\u6d4b\u5ea6\u4e3a0\u7684\u96c6\u5408\u4e0a\u7684\u51fd\u6570\u503c\u6539\u53d8\uff0c\u4e0d\u4f1a\u5f71\u54cd\u5b83\u7684\u79ef\u5206\u503c\u3002\u5982\u679c\u4e24\u4e2a\u51fd\u6570\u51e0\u4e4e\u5904\u5904\u76f8\u540c\uff0c\u90a3\u4e48\u5b83\u4eec\u7684\u79ef\u5206\u76f8\u540c\u3002\u5982\u679c\u5bf9 \u4e2d\u4efb\u610f\u5143\u7d20A\uff0c\u53ef\u79ef\u51fd\u6570f\u5728A\u4e0a\u7684\u79ef\u5206\u603b\u7b49\u4e8e\uff08\u5927\u4e8e\u7b49\u4e8e\uff09\u53ef\u79ef\u51fd\u6570g\u5728A\u4e0a\u7684\u79ef\u5206\uff0c\u90a3\u4e48f\u51e0\u4e4e\u5904\u5904\u7b49\u4e8e\uff08\u5927\u4e8e\u7b49\u4e8e\uff09g\u3002

\u539f\u5f0f=\u222bxdsinx
=xsinx-\u222bsinxdx
=xsinx+cosx+C

令t=sinx
原式=∫ t²dt

=1/3t³+C

再把t=sinx带入
=1/3sin³x+C

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