实对称矩阵为什么可以对角化
答：因为实际上对称矩阵相似于由其特征值构成的对角矩阵，所以实对称矩阵的特征值相同时,它们相似于同一个对角矩阵，由相似的传递性知它们相似，一般矩阵不一定可对角化。但当这两个矩阵是实对称矩阵时， 有相同的特征值必相似，比如当矩阵A与B的特征值相同，A可对角化，但B不可以对角化时，A和B就不相似...
答：原因：实对称阵的特征值都是实数，所以n阶阵在实数域中就有n个特征值（包括重数），并且实对称阵的每个特征值的重数和属于它的无关的特征向量的个数是一样的，从而n阶矩阵共有n个无关特征向量，所以可对角化。判断一个矩阵是否可对角化：先求特征值,如果没有相重的特征值,一定可对角化。如果有相...
答：实对称阵的特征值都是实数，所以n阶阵在实数域中就有n个特征值（包括重数），并且实对称阵的每个特征值的重数和属于它的无关的特征向量的个数是一样的，从而n阶矩阵共有n个无关特征向量，所以可对角化。矩阵，数学术语。在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于...
答：矩阵可对角化的充分必要条件是：1、n阶方阵存在n个线性无关的特征向量。推论：如果这个n阶方阵有n个不同的特征值，那么矩阵必然存在相似矩阵。2、如果阶n方阵存在重复的特征值，每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重。实对称矩阵的主要性质如下：1、实对称矩阵A的不同特征值对应...
答：直至我们完全揭示矩阵的特征空间。综上所述，实对称矩阵之所以能对角化，是由于其内在的几何结构和代数特性相互作用。通过单位圆上的极值点、拉格朗日乘子法，以及对称性带来的不变子空间，我们一步一步揭示了对角化的秘密，证明了实对称矩阵总是可以通过正交变换转换为对角矩阵。
答：4、实对称矩阵可以通过正交相似变换对角化。也就是说，存在一个正交矩阵P，使得 P^T·A·P 等于D，其中D是对角矩阵，对角线上的元素是A的特征值。实对称矩阵在数学和工程领域中有广泛的应用，例如在线性代数、最优化问题、物理学以及信号处理等领域。实对称矩阵的性质保证了在处理和求解实对称矩阵时...
答：实对称矩阵一定可以对角化，因为相似对角化的充要条件是n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，充分条件是A有n个不同的特征值，而n个不同的特征值一定对应n个线性无关的特征向量，实对称矩阵n重特征值对应n个线性无关的特征向量，所以实对称矩阵一定可以对角化。
答：纠正一下，实对称矩阵特征值在对角化之后的对角线上，也就是需要对角化一下才成立（对角化就是相似矩阵，相似矩阵特征值相同），不然就跟楼下说的一样，只是方阵的对角线之和等于特征值之和；矩阵不一定都可以对角化但是对称矩阵一定可以对角化，对角化后对角线的值就是特征值。
答：不一定。实对称矩阵一定可对角化，且可正交对角化，先求特征值，如果没有相重的特征值，所有特征根都不相等，那么可以对角化。如果有相重的特征值λk。其重数为k，那么通过解方程（λkE-A）X=0得到的基础解系中的解向量若也为k个，则A可对角化，若小于k，则A不可对角化。
答：根据正交对角化的定义，可以将实对称矩阵通过一个正交矩阵相似变换，得到一个对角矩阵，这个正交矩阵的列就是实对称矩阵的特征向量，而对角矩阵的对角元就是实对称矩阵的特征值，因此实对称矩阵一定可以通过正交对角化得到一个对角矩阵，而且这个对角矩阵的对角元就是实对称矩阵的特征值。
网友评论：
幸伟17264791662：
为什么实对称矩阵可以对角化 -
50142全轮
：[答案] 这涉及到一系列的定理,不是在这里可以详细解答的,告诉你这些定理,并注明在同济《线性代数》第三版中的位置,你可以详细阅读,其它版本的《线性代数》可以到相应地方去找. 定理1:n阶矩阵A能与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的...
幸伟17264791662：
实对称矩阵为什么一定可以对角化? -
50142全轮
： 不仅可以对角化,还可以正交对角化. 证明很容易,任取一个单位特征向量x满足Ax=cx,x'x=1,把x张成正交阵Q=[x,*],那么 Q'AQ= c 0 0 * 对右下角归纳即可.
幸伟17264791662：
为什么是实称矩阵一定能对角化 -
50142全轮
： 实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必正交.做一个线性变换就能证明.书上一般都有证明的.另外相似对角化不是行列式不为0,行列式不为0那叫可逆矩阵.行列式为0对角化以后对角线上有0而已
幸伟17264791662：
为什么是实称矩阵一定能对角化当实对称矩阵的行列式为零时,不是说一个矩阵的行列式不为零才有相似的么 -
50142全轮
：[答案] 实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必正交.做一个线性变换就能证明.书上一般都有证明的.另外相似对角化不是行列式不为0,行列式不为0那叫可逆矩阵.行列式为0对角化以后对角线上有0而已
幸伟17264791662：
为什么实对称矩阵一定可相似对角化 -
50142全轮
：[答案] 实对称阵一定是Hermite阵 假定Hermite阵A有特征值λ,相应的单位特征向量x,那么取一个以x为第一列的酉阵Q=[x,*],可得 Q^H * A * Q = λ 0 0 B 这样B仍然是Hermite阵,可以对B用归纳法做酉对角化
幸伟17264791662：
实对称矩阵为什么能相似对角化? -
50142全轮
： 有N个不同的特征值或是实对称矩阵是相似对角化的充分条件有N个线性无关的特征向量是相似对角化的充要条件 查看原帖>> 采纳哦
幸伟17264791662：
为什么对称阵一定有N 个线性无关的特征向量? -
50142全轮
： 你的问题是不是A实对称为什么一定可以相似对角化? 这个问题要严格证明比较麻烦.我可以给你大概解释一下.因为实对称矩阵沿对角线对称,因此你对它进行行变换的同时对它进行相应的列变换,及左乘一系列初等矩阵,同时右乘相应的一系列初等矩阵后,一定可以把它化成只有对角上有元素的矩阵,这个时候你就会发现这个对应的关系就是你左乘的初等矩阵和右乘的初等矩阵之间有可逆的关系,按照相似的定义及相似于对角矩阵. [ ]
幸伟17264791662：
n阶实对称矩阵对角化1、实对称矩阵一定可以相似对角化,因为它一定有n个线性无关的特征向量.并且它还可以用正交矩阵相似对角化.那么当一个普通矩阵有... -
50142全轮
：[答案] 1.因为特征向量经过施密特正交化之后不一定是原来矩阵(线性变换)的特征向量,也即在经过正交化的基表示下不一定是对角的.在酉空间中,矩阵可以正交对角化的充要条件是矩阵满足AA*=A*A (A*是A的共轭转置) 2.这要从变换的角度来理解.左乘...
幸伟17264791662：
为什麽实对称矩阵一定可以对角化?或者证明一下实对称矩阵的n个特徵值一定有n个线性无关的特徵向量? -
50142全轮
： 对于n阶实对称矩阵Q,设以它的k个线性无关的特征向量为列构成的矩阵为U(U是n行k列) 下证明,如果k<n,总可以找到一个新的特征向量,这样可以不断添加直到找到Q的n个线性无关特征向量 将U补全为一个n阶正交方阵P=[U V],则V是n行n-...
幸伟17264791662：
一般的对称矩阵一定可以相似对角化吗? -
50142全轮
： 实对称阵的特征值都是实数,所以n阶阵在实数域中就有n个特征值(包括重数),并且实对称阵的每个特征值的重数和属于它的无关的特征向量的个数是一样的,从而n阶矩阵共有n个无关特征向量,所以可对角化.判断方阵是否可相似对角化...
