实对称矩阵对角化过程
答：1，求出一个矩阵的全部互异的特征值a1,a2……2，对每个特征值，求特征矩阵a1I-A的秩，判断每个特征值的几何重数q=n-r(a1I-A),是否等于它的代数重数p，只要有一个不相等，A就不可 以相似对角化，否则， 就可以相似对角化 3，当可以相似对角化时，对每个特征值，求方程组，（aiI-A）X=0的...
答：若两个向量属于A的同一特征值，可知他们也是正交的。这句话不对!如果 a1, a2 是A的属于同一特征值λ的特征向量 那么 k1a1+k2a2 不等于0时 也是A的属于特征值λ的特征向量 如: a1,2a1,3a1 都是A的属于特征值λ的特征向量 它们不正交!知识点: A的属于同一个特征值λ的 线性无关的 ...
答：因为实际上对称矩阵相似于由其特征值构成的对角矩阵，所以实对称矩阵的特征值相同时,它们相似于同一个对角矩阵，由相似的传递性知它们相似，一般矩阵不一定可对角化。但当这两个矩阵是实对称矩阵时， 有相同的特征值必相似，比如当矩阵A与B的特征值相同，A可对角化，但B不可以对角化时，A和B就不相似...
答：实对称可以相似对角化是因为实对称阵的特征值都是实数，所以n阶阵在实数域中就有n个特征值（包括重数），并且实对称阵的每个特征值的重数和属于无关的特征向量的个数是一样的，从而n阶矩阵共有n个无关特征向量，所以可对角化。实对称矩阵的主要性质：1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是...
答：主要性质：1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。2.实对称矩阵A的特征值都是实数。3.n阶实对称矩阵A必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。4.若A具有k重特征值λ0 必有k个线性无关的特征向量，或者说秩r(λ0E-A)必为n-k，其中E为单位矩阵。5.实对称矩阵...
答：这意味着存在一个正交变换，可以将实对称矩阵转换为一个对角矩阵，对角线上的元素就是实对称矩阵的特征值。这一性质对于简化矩阵运算和求解线性方程组具有重要的应用价值。此外，正交对角化过程也有助于我们更好地理解和分析实对称矩阵的性质和特征。综上所述，实对称矩阵具有转置等于本身、特征值为实数...
答：对。实对称矩阵具有一个重要的特性，其特征值都是实数，而且根据线性代数的结论，实对称矩阵的特征向量对应不同特征值的特征向量是正交的，根据正交对角化的定义，可以将实对称矩阵通过一个正交矩阵相似变换，得到一个对角矩阵，这个正交矩阵的列就是实对称矩阵的特征向量，而对角矩阵的对角元就是实对称矩阵...
答：理论上讲对任何实反对称矩阵(或者反Hermite阵)都可以用酉变换将其对角化，且特征值实部为0。如果需要数值算法的话首先可以用正交变换来进行三对角化，然后有各种数值算法对反对称三对角阵进行对角化，一般来讲和对称矩阵的算法类似，只是需要注意特征值成对的结构。
答：如果一个矩阵与一个对角矩阵相似，我们就称这个矩阵可经相似变换对角化，简称可对角化。与之对应的线性变换就称为可对角化的线性变换。实对称矩阵的主要性质如下：1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。3、n阶实对称矩阵A必可对角...
答：AQ也是对称矩阵，所以它第一行除了第一列以外也都是0，而除了第一行第一列剩下的一大块矩阵还是一个对称矩阵，所以最后可以反复进行这个过程整成对角矩阵。证毕然而正交矩阵一定是可逆矩阵，对方阵而言可逆等价于满秩，乘以一个方阵满秩方阵以后秩不变，这就证明了你的实对称矩阵一定可以相似对角化 ...
网友评论：
宓韦19388531962：
简单实对称矩阵的对角化如:0 11 0 对角化 -
495惠昆
：[答案] |A-λE| = -λ 11 -λ= λ^2-1= (λ+1)(λ-1)A的特征值为1,-1A-E=-1 11 -1-->1 -10 0(A-E)x=0的基础解系为 (1,1)^TA+E=1 11 1(A+E)x=0的基础解系为 (1,-1)^T令 P=1 11 -1则P可逆,且 P^-1AP = 1 00 -1...
宓韦19388531962：
怎么求实对称矩阵的对角化?? -
495惠昆
： 首先求出矩阵的特征值和相应的特征向量;其次把特征向量组成矩阵,即为所求的矩阵;最后用相应的特征值组成对角矩阵. 若是求正交矩阵,在第二步把特征向量单位正交化即可.
宓韦19388531962：
对称矩阵的对角化(有图) -
495惠昆
： 第2,3行加到第1行, 由(1)得第1行都是6-3=3 第1行乘 1/3 即得上述结果.另: 不知道这样求A下面该怎么做. 我的思路是这样. 对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的. 可设 X=(x1,x2,x3)' 是A的属于特征值3的特征向量, 则X与a1=(1,1,1)'正交. 即有 x1+x2+x3 = 0. 解得基础解系: a2=(1,-1,0)', a3=(1,0,-1)' 构造矩阵 P = (a1,a2,a3) 则有 A = P diag(6,3,3) P^(-1)[若不想求P逆, 就把 a2,a3正交化, 把a1,a2,a3单位化, P逆就等于P的转置]有疑问请追问 满意请采纳^_^
宓韦19388531962：
简单实对称矩阵的对角化 -
495惠昆
： |A-λE| = -λ 1 1 -λ= λ^2-1= (λ+1)(λ-1) A的特征值为1,-1 A-E=-1 1 1 -1-->1 -10 0(A-E)x=0的基础解系为 (1,1)^T A+E=1 11 1(A+E)x=0的基础解系为 (1,-1)^T 令 P=1 11 -1 则P可逆, 且 P^-1AP = 1 00 -1
宓韦19388531962：
怎么用正交矩阵把这个实对称矩阵化为对角形 -
495惠昆
： 如果按你这样叙述,只能说可能,但是叙述得精细一点可以变成一定首先,如果a可以用实正交变换q化为实对角阵d,那么a=qdq'一定是实对称矩阵,所以非实对称矩阵是一定不能用“实”正交变换化为“实”对角形但是如果你不对正交变换和对角阵加上实数的约束的话那就不能保证了,比如d含有虚对角元的话一定不可能相似于实对称阵
宓韦19388531962：
求大神解答线性代数矩阵对角化的题目,万分感谢!! -
495惠昆
： 【分析】 n阶矩阵A可对角化的 充分必要条件是: A有n个线性无关的特征向量.当矩阵A是实对称矩阵时,一定满足上述条件,即实对称矩阵必可对角化.【评注】 求A相似标准形的方法1、求A的特征值λ1,λ2,……,λs (通过特征方程|λE-A|=0)2、对每一个特征值λi,求(λiE-A)x=0的基础解系,设为Xi1,Xi2,……,Xini;3、令P=(X11,X12,...,X1n1,X21,X22,...X2n2,…,Xs1,Xs2,...Xsns) 则P^-1AP= B (B为对角阵) newmanhero 2015年1月26日22:07:20 希望对你有所帮助,望采纳.
宓韦19388531962：
实对称矩阵的相似对角化解题技巧 -
495惠昆
： 根据二次型理论,实对称矩阵,必然与对角阵合同 对其特征向量,进行施密特正交化,可以得到正交矩阵,使其对角化
宓韦19388531962：
实对称矩阵对角化问题 -
495惠昆
： 必须单位化!因为正交矩阵P是由A的特征向量构成的 而矩阵P是正交矩阵的充分必要条件是它的列(行)向量组是标准正交向量组, 即两两正交且长度为1. 所以必须单位化.不对. 单位化后得到的P才是正交矩阵. PS. 用追问方式能使回答者快速收到你的疑问
宓韦19388531962：
如何证明实对称矩阵一定可以对角化? -
495惠昆
： 不仅可以对角化,还可以正交对角化. 证明很容易,任取一个单位特征向量x满足Ax=cx,x'x=1,把x张成正交阵Q=[x,*],那么 Q'AQ= c 0 0 * 对右下角归纳即可.
宓韦19388531962：
为什么实对称矩阵对角化要经过施密特正交化 -
495惠昆
： 实对称矩阵对角化也可以不要经过施密特正交化,施密特正交化的目的是进行保型变换.
