高中一些有用的数学拓展公式
\u6570\u5b66\u9ad8\u4e2d\u62d3\u5c55\u516c\u5f0f\u90a3\u4e00\u90e8\u5206\u7684\u62d3\u5c55
\u4e09\u89d2\uff1a
\u4e09\u89d2\u5f62\u4e2d\u5e38\u89c1\u6052\u7b49\u5f0f
1\uff0ctanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC
2, tannA+tannB+tannC=tan(nA)tan(nB)tan(nC),
3,cot(nA/2)+cot(nB/2)+cot(nC/2)=cot(nA/2)*cot(nB/2)*cot(nC/2)
4,cot(nA)*cot(nB)+cot(nA)*cot(nC)+cot(nB)*cot(nC)=1,
5,tan(nA/2)tan(nB/2)+tan(nB/2)tan(nC/2)+tan(nA/2)tan(nC/2)=1,(n\u4e3a\u5947\u6570\uff09
6,sin(nA)+sin(nB)+sin(nC)=4sin(n\u03c0/2)*cos(nA/2)*cos(nB/2)*cos(nC/2),(n\u4e3a\u5947\u6570)
7,sin(nA)+sin(nB)+sin(nC)=4cos(n\u03c0/2)*sin(nA/2)*sin(nB/2)*sin(nC/2),(n\u4e3a\u5076\u6570)
8\uff0ccos(nA)+cos(nB)+cos(nC)=1+4sin(n\u03c0/2)*sin(nA/2)*sin(nB/2)*sin(nC/2),(n\u4e3a\u5947\u6570)
9,cos(nA)+cos(nB)+cos(nC)=-1+4cos(n\u03c0/2)*cos(nA/2)*cos(nB/2)*cos(nC/2),(n\u4e3a\u5076\u6570\uff09
10\uff0csin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)=1+4sin[(\u03c0-A)/4]sin[(\u03c0-B)/4]sin[(\u03c0-C)/4],
11,cos(A/2)+cos(B/2)+cos(C/2)=4cos[(\u03c0-A)/4]cos[(\u03c0-B)/4]cos[(\u03c0-C)/4],
12,(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcos
13,,(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC
\u5411\u91cf\u4e2d\u4f1a\u6885\u6d85\u52b3\u65af\u5b9a\u7406\u8ba1\u7b97\u76f8\u5173\u7684\u5b9a\u6bd4\u5206\u70b9\uff0c\u4e09\u70b9\u5171\u7ebf\u9898\u76ee\uff0c
\u5bfc\u6570\u4e2d\u7684\u7f57\u6bd4\u8fbe\u6cd5\u5219\u7b49
\u6d77\u4f26\u516c\u5f0f:S^2=s(s-a)(s-b)(s-c)
s\u4e3a\u4e09\u89d2\u5f62\u4e09\u8fb9\u4e4b\u548c\u7684\u4e00\u534a
\u5176\u4ed6\u4e0d\u77e5\u5230\u4f60\u9700\u8981\u7528\u4ec0\u4e48
2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b) tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b)
3.和差化积公式 sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2) sin(a)−sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2) cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2) cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2)
4.二倍角公式 sin(2a)=2sin(a)cos(b) cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a) 5.半角公式 sin2(a2)=1-cos(a)2 cos2(a2)=1+cos(a)2 tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a)
6.万能公式 sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2) cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2) tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2)
7.其它公式(推导出来的 ) a⋅sin(a)+b⋅cos(a)=a2+b2sin(a+c) 其中 tan(c)=ba a⋅sin(a)+b⋅cos(a)=a2+b2cos(a-c) 其中 tan(c)=ab 1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2))2 1-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2))2
坐标几何
一对垂直相交于平面的轴线，可以让平面上的任意一点用一组实数来表示。轴线的交点是 (0, 0)，称为 原点。水平与垂直方向的位置，分别用x与y代表。
一条直线可以用方程式y＝mx＋c来表示，m是直线的斜率（gradient）。这条直线与y轴相交于 (0, c)，与x轴则相交于(–c/m, 0)。垂直线的方程式则是x＝k，x为定值。 通过(x0, y0)这一点，且斜率为n的直线是 y–y0＝n(x–x0)
一条直线若垂直于斜率为n的直线，则其斜率为–1/n。通过(x1, y1)与(x2, y2)两点的直线是 y＝(y2–y1／x2–x1)(x–x2)＋y2 x1≠x2 若两直线的斜率分别为m与n，则它们的夹角θ满足于 tanθ＝m–n／1＋mn 半径为r、圆心在(a, b)的圆，以(x–a) 2＋(y–b) 2＝r2表示。
三维空间里的坐标与二维空间类似，只是多加一个z轴而已，例如半径为r、中心位置在(a, b, c)的球， 以(x–a) 2＋(y–b) 2＋(z–c) 2＝r2表示。 三维空间平面的一般式为ax＋by＋cz＝d。 三角学 边长为a、b、c的直角三角形，其中一个夹角为θ。它的六个三角函数分别为：正弦（sine）、余弦 （cosine）、正切（tangent）、余割（cosecant）、正割（secant）和余切（cotangent）。 sinθ＝b/c cosθ＝a/c tanθ＝b/a cscθ＝c/b secθ＝c/a cotθ＝a/b
若圆的半径是1，则其正弦与余弦分别为直角三角形的高与底。 a＝cosθ b＝sinθ 依照勾股定理,我们知道a2＋b2＝c2。因此对于圆上的任何角度θ，我们都可得出下列的全等式： cos2θ＋sin2θ＝1
三角恒等式
根据前几页所述的定义，可得到下列恒等式（identity）： tanθ＝sinθ/cosθ，cotθ＝cosθ/sinθ secθ＝1/cosθ，cscθ＝1/sinθ
分别用cos 2θ与sin 2θ来除cos 2θ＋sin 2θ＝1，可得： sec 2θ–tan 2θ＝1 及 csc 2θ–cot 2θ＝1 对于负角度，六个三角函数分别为： sin(–θ)＝ –sinθ csc(–θ)＝ –cscθ cos(–θ)＝ cosθ sec(–θ)＝ secθ tan(–θ)＝ –tanθ cot(–θ)＝ –cotθ
当两角度相加时，运用和角公式： sin(α＋β)＝ sinαcosβ＋cosαsinβ cos(α＋β)＝ cosαcosβ–sinαsinβ tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ／1–tanαtanβ 若遇到两倍角或三倍角，运用倍角公式： sin2α＝ 2sinαcosα sin3α＝ 3sinαcos2α–sin3α cos2α＝ cos 2α–sin 2α cos3α＝ cos 3α–3sin 2αcosα tan 2α＝ 2tanα／1–tan 2α tan3α＝ 3tanα–tan 3α／1–3tan 2α 二维图形
下面是一些二维图形的周长与面积公式。 圆： 半径＝ r 直径d＝2r 圆周长＝ 2πr ＝πd 面积＝πr2 (π＝3.1415926…….) 椭圆： 面积＝πab a与b分别代表短轴与长轴的一半。 矩形： 面积＝ ab 周长＝ 2a＋2b 平行四边形（parallelogram）： 面积＝ bh ＝ ab sinα 周长＝ 2a＋2b 梯形： 面积＝ 1/2h (a＋b) 周长＝ a＋b＋h (secα＋secβ) 正n边形： 面积＝ 1/2nb2 cot (180°/n) 周长＝ nb 四边形（i）： 面积＝ 1/2ab sinα 四边形（ii）： 面积＝ 1/2 (h1＋h2) b＋ah1＋ch2
三维图形 以下是三维立体的体积与表面积（包含底部）公式。 球体： 体积＝ 4/3πr3 表面积＝ 4πr2 方体： 体积＝ abc 表面积＝ 2(ab＋ac＋bc) 圆柱体： 体积＝ πr2h 表面积＝ 2πrh＋2πr2
绛旓細鎵囧舰鐨勯潰绉鍏紡鏈変袱绉嶈〃杈炬柟寮忥細锛1锛塖鎵=锛坣/360锛壪R²锛坣涓哄渾蹇冭鐨勫害鏁帮紝R涓烘墖褰㈢殑鍗婂緞锛夛紙2锛塖鎵=1/2lr锛堝綋鐭ラ亾寮ч暱鏃讹級l涓哄姬闀匡紝R涓烘墖褰㈢殑鍗婂緞銆傛敞锛毾涓哄渾鍛ㄧ巼绾︾瓑浜3.1415926535 涓鑸彇3.14銆
绛旓細绔嬫柟宸,绔嬫柟鍜鍏紡绛旀濡備笅锛1.绔嬫柟鍜屽叕寮廰^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2锛2.绔嬫柟宸叕寮廰^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2锛3.绔嬫柟鍏紡灞曞紑锛(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
绛旓細鈭玔a锛宐] f(x)dx 琛ㄧず鏇茬嚎 f(x) 銆佺洿绾 x=a銆佺洿绾 x=b銆佺洿绾 y=0 鍥存垚鐨勯潰绉傝 F(x) 鏄 f(x) 鐨勪竴涓師鍑芥暟锛屽垯 鈭玔a锛宐] f(x)dx = F(b) - F(a) 銆傚洜姝わ紝瑕佹眰瀹氱Н鍒嗭紝鍙』姹備笉瀹氱Н鍒嗭紝鐒跺悗鐢ㄥ嚱鏁板肩浉鍑忋楂樹腑闃舵锛屾湁浠ヤ笅涓嶅畾绉垎鍏紡锛1銆佲埆1dx = x + C 锛圕 ...
绛旓細1銆佸渾鐨勬爣鍑嗘柟绋 (x-a)2+(y-b)2=r2 娉細锛坅,b锛夋槸鍦嗗績鍧愭爣銆2銆佸渾鐨勪竴鑸柟绋 x2+y2+Dx+Ey+F=0 娉細D2+E2-4F>0銆3銆佷笁瑙掑嚱鏁帮細涓よ鍜鍏紡锛歴in(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=...
绛旓細濂ユ暟鏄湪鎵庡疄鐨勬暟瀛鍩虹涓婅繘琛鎷撳睍鍜屾繁鍖栫殑锛屽洜姝ら鍏堣纭繚鑷繁瀵瑰垵涓暟瀛﹁绋嬫湁鐗㈠浐鐨勬帉鎻°傝浠庡熀纭鐨勬暟瀛︾煡璇嗗紑濮嬶紝閫愭鎺屾彙鏁板鐨勫悇涓煡璇嗙偣锛屽寘鎷暟鐨勬ц川銆佹柟绋嬪紡銆佸嚑浣曞浘褰㈢瓑锛岀‘淇濆熀纭鎵庡疄銆2銆侀珮鏁堢殑瀛︿範鏂规硶锛氬ゥ鏁颁笉浠呰姹傛帉鎻℃暟瀛︾煡璇嗭紝杩樿鍩瑰吇瑙ｉ鐨勬濈淮鑳藉姏鍜岃В棰樻妧宸с傚彲浠ラ氳繃瀛︿範涓浜瑙ｉ鏂规硶鍜...
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绛旓細浜屽嶈鍏紡鏄暟瀛︿笁瑙掑嚱鏁颁腑甯哥敤鐨勪竴缁勫叕寮忥紝閫氳繃瑙捨辩殑涓夎鍑芥暟鍊肩殑涓浜鍙樻崲鍏崇郴鏉ヨ〃绀哄叾浜屽嶈2伪鐨勪笁瑙掑嚱鏁板硷紝浜屽嶈鍏紡鍖呮嫭姝ｅ鸡浜屽嶈鍏紡銆佷綑寮︿簩鍊嶈鍏紡浠ュ強姝ｅ垏浜屽嶈鍏紡銆傚湪璁＄畻涓彲浠ョ敤鏉ュ寲绠璁＄畻寮忋佸噺灏戞眰涓夎鍑芥暟鐨勬鏁帮紝鍦ㄥ伐绋嬩腑涔熸湁骞挎硾鐨勮繍鐢ㄣ鎷撳睍闃呰锛楂樹腑鏁板瑙ｉ鏂规硶锛氣憼鐗瑰兼楠...
