线性代数 向量空间维数 线性代数向量空间维数判断？
\u7ebf\u6027\u4ee3\u6570\u4e2d\uff0c\u5411\u91cf\u7a7a\u95f4\u7684\u7ef4\u6570\u548c\u89e3\u7a7a\u95f4\u7ef4\u6570\u6709\u4ec0\u4e48\u533a\u522b\u7ebf\u6027\u4ee3\u6570\u4e2d\uff0c\u5411\u91cf\u7a7a\u95f4\u7684\u7ef4\u6570\u548c\u89e3\u7a7a\u95f4\u7ef4\u6570\u6ca1\u6709\u533a\u522b\u3002\u89e3\u7a7a\u95f4\u4e5f\u662f\u5411\u91cf\u7a7a\u95f4\uff0c\u662f\u9488\u5bf9\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4\u800c\u8a00\u7684\u89e3\u7a7a\u95f4\uff0c\u7ef4\u6570\u5c31\u662f\u57fa\u7840\u89e3\u7cfb\u4e2d\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u7684\u5411\u91cf\u6570\u3002
\u800c\u5411\u91cf\u7684\u7ef4\u6570\u6307\u7684\u5411\u91cf\u5206\u91cf\u7684\u4e2a\u6570\u3002\u7528\u5927\u767d\u8bdd\u6765\u8bb2\u5c31\u662f\u63cf\u8ff0\u4e00\u4e2a\u5411\u91cf\u9700\u8981\u7528\u5230\u597d\u51e0\u4e2a\u5143\u7d20\uff0c\u6709\u51e0\u4e2a\u5143\u7d20\u8fd9\u4e2a\u5411\u91cf\u5c31\u6709\u51e0\u7ef4\u3002\u6bd4\u5982\u6700\u76f4\u89c2\u7684\u4e09\u7ef4\u5411\u91cf\uff0c\u5206\u522b\u7528x\u3001y\u3001z\u63cf\u8ff0\uff0c\u6240\u4ee5\u8fd9\u4e2a\u5411\u91cf\u5c31\u662f\u4e09\u7ef4\u7684\u3002
\u5411\u91cf\u7a7a\u95f4\u662f\u7531\u597d\u591a\u4e2a\u5411\u91cf\u7ec4\u6210\u7684\u7a7a\u95f4\u3002\u7a7a\u95f4\u81f3\u5c11\u7531v1\uff0cv2\u4e24\u4e2a\u5411\u91cf\u7ec4\u6210\u7684\u4e8c\u7ef4\u7a7a\u95f4\u3002\u5176\u5b9e\u8fd9\u4e2a\u7a7a\u95f4\u662f\u53ef\u4ee5\u7531\u65e0\u6570\u4e2a\u5411\u91cf\u8868\u793a\u7684\uff0c\u4f46\u662f\u7edd\u5bf9\u4e0d\u80fd\u5c11\u4e8e\u4e24\u4e2a\uff0c\u8fd9\u4e2a\u201c\u80fd\u63cf\u8ff0\u7a7a\u95f4\u7684\u6700\u5c0f\u5411\u6765\u4e2a\u6570\u201d\u5c31\u662f\u5411\u91cf\u7a7a\u95f4\u7684\u7ef4\u6570\uff0c\u540c\u65f6\u4e5f\u662f\u8fd9\u4e2a\u5411\u91cf\u7a7a\u95f4\u7684\u79e9\u6570\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u5411\u91cf\u7a7a\u95f4\u7684\u6027\u8d28\uff1a
1.\u5728V\u4e2d\u5b9a\u4e49\u4e86\u4e00\u79cd\u8fd0\u7b97\uff0c\u79f0\u4e3a\u52a0\u6cd5\uff0c\u5373\u5bf9V\u4e2d\u4efb\u610f\u4e24\u4e2a\u5143\u7d20\u03b1\u4e0e\u03b2\u90fd\u6309\u67d0\u4e00\u6cd5\u5219\u5bf9\u5e94\u4e8eV\u5185\u60df\u4e00\u786e\u5b9a\u7684\u4e00\u4e2a\u5143\u7d20\u03b1+\u03b2\uff0c\u79f0\u4e3a\u03b1\u4e0e\u03b2\u7684\u548c\u3002
2.\u5728P\u4e0eV\u7684\u5143\u7d20\u95f4\u5b9a\u4e49\u4e86\u4e00\u79cd\u8fd0\u7b97\uff0c\u79f0\u4e3a\u7eaf\u91cf\u4e58\u6cd5(\u4ea6\u79f0\u6570\u91cf\u4e58\u6cd5)\uff0c\u5373\u5bf9V\u4e2d\u4efb\u610f\u5143\u7d20\u03b1\u548cP\u4e2d\u4efb\u610f\u5143\u7d20k\uff0c\u90fd\u6309\u67d0\u4e00\u6cd5\u5219\u5bf9\u5e94V\u5185\u60df\u4e00\u786e\u5b9a\u7684\u4e00\u4e2a\u5143\u7d20k\u03b1\uff0c\u79f0\u4e3ak\u4e0e\u03b1\u7684\u79ef\u3002
3.\u52a0\u6cd5\u4e0e\u7eaf\u91cf\u4e58\u6cd5\u6ee1\u8db3\u4ee5\u4e0b\u6761\u4ef6\uff1a
1) \u03b1+\u03b2=\u03b2+\u03b1\uff0c\u5bf9\u4efb\u610f\u03b1\uff0c\u03b2\u2208V.
2) \u03b1+(\u03b2+\u03b3)=(\u03b1+\u03b2)+\u03b3\uff0c\u5bf9\u4efb\u610f\u03b1\uff0c\u03b2\uff0c\u03b3\u2208V.
3) \u5b58\u5728\u4e00\u4e2a\u5143\u7d200\u2208V\uff0c\u5bf9\u4e00\u5207\u03b1\u2208V\u6709\u03b1+0=\u03b1\uff0c\u5143\u7d200\u79f0\u4e3aV\u7684\u96f6\u5143.
4) \u5bf9\u4efb\u4e00\u03b1\u2208V\uff0c\u90fd\u5b58\u5728\u03b2\u2208V\u4f7f\u03b1+\u03b2=0\uff0c\u03b2\u79f0\u4e3a\u03b1\u7684\u8d1f\u5143\u7d20\uff0c\u8bb0\u4e3a-\u03b1.
5) \u5bf9P\u4e2d\u5355\u4f4d\u51431\uff0c\u67091\u03b1=\u03b1(\u03b1\u2208V).
6) \u5bf9\u4efb\u610fk\uff0cl\u2208P\uff0c\u03b1\u2208V\u6709(kl)\u03b1=k(l\u03b1).
7) \u5bf9\u4efb\u610fk\uff0cl\u2208P\uff0c\u03b1\u2208V\u6709(k+l)\u03b1=k\u03b1+l\u03b1.
8) \u5bf9\u4efb\u610fk\u2208P\uff0c\u03b1\uff0c\u03b2\u2208V\u6709k(\u03b1+\u03b2)=k\u03b1+k\u03b2\uff0c
\u5219\u79f0V\u4e3a\u57dfP\u4e0a\u7684\u4e00\u4e2a\u7ebf\u6027\u7a7a\u95f4\uff0c\u6216\u5411\u91cf\u7a7a\u95f4\u3002V\u4e2d\u5143\u7d20\u79f0\u4e3a\u5411\u91cf\uff0cV\u7684\u96f6\u5143\u79f0\u4e3a\u96f6\u5411\u91cf\uff0cP\u79f0\u4e3a\u7ebf\u6027\u7a7a\u95f4\u7684\u57fa\u57df.\u5f53P\u662f\u5b9e\u6570\u57df\u65f6\uff0cV\u79f0\u4e3a\u5b9e\u7ebf\u6027\u7a7a\u95f4.\u5f53P\u662f\u590d\u6570\u57df\u65f6\uff0cV\u79f0\u4e3a\u590d\u7ebf\u6027\u7a7a\u95f4\u3002\u4f8b\u5982\uff0c\u82e5V\u4e3a\u4e09\u7ef4\u51e0\u4f55\u7a7a\u95f4\u4e2d\u5168\u4f53\u5411\u91cf(\u6709\u5411\u7ebf\u6bb5)\u6784\u6210\u7684\u96c6\u5408\uff0cP\u4e3a\u5b9e\u6570\u57dfR\u3002
\u5219V\u5173\u4e8e\u5411\u91cf\u52a0\u6cd5(\u5373\u5e73\u884c\u56db\u8fb9\u5f62\u6cd5\u5219)\u548c\u6570\u4e0e\u5411\u91cf\u7684\u4e58\u6cd5\u6784\u6210\u5b9e\u6570\u57dfR\u4e0a\u7684\u7ebf\u6027\u7a7a\u95f4\u3002\u53c8\u5982\uff0c\u82e5V\u4e3a\u6570\u57dfP\u4e0a\u5168\u4f53m\u00d7n\u77e9\u9635\u7ec4\u6210\u7684\u96c6\u5408Mmn(P)\uff0cV\u7684\u52a0\u6cd5\u4e0e\u7eaf\u91cf\u4e58\u6cd5\u5206\u522b\u4e3a\u77e9\u9635\u7684\u52a0\u6cd5\u548c\u6570\u4e0e\u77e9\u9635\u7684\u4e58\u6cd5\uff0c\u5219Mmn(P)\u662f\u6570\u57dfP\u4e0a\u7684\u7ebf\u6027\u7a7a\u95f4\u3002V\u4e2d\u5411\u91cf\u5c31\u662fm\u00d7n\u77e9\u9635\u3002
\u518d\u5982\uff0c\u57dfP\u4e0a\u6240\u6709n\u5143\u5411\u91cf(a1\uff0ca2\uff0c\u2026\uff0can)\u6784\u6210\u7684\u96c6\u5408P\u5bf9\u4e8e\u52a0\u6cd5\uff1a(a1\uff0ca2\uff0c\u2026\uff0can)+(b1\uff0cb2\uff0c\u2026\uff0cbn)=(a1+b1\uff0ca2+b2\uff0c\u2026\uff0can+bn)\u4e0e\u7eaf\u91cf\u4e58\u6cd5\uff1a\u03bb(a1\uff0ca2\uff0c\u2026\uff0can)=(\u03bba1\uff0c\u03bba2\uff0c\u2026\uff0c\u03bban)\u6784\u6210\u57dfP\u4e0a\u7684\u7ebf\u6027\u7a7a\u95f4\uff0c\u79f0\u4e3a\u57dfP\u4e0an\u5143\u5411\u91cf\u7a7a\u95f4\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u89e3\u7a7a\u95f4
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1- \u7ebf\u6027\u4ee3\u6570\uff08\u6570\u5b66\u5206\u652f\u5b66\u79d1\uff09
\u7a7a\u95f4\u7684\u7ef4\u6570\u5c31\u662f\u6781\u5927\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u7ec4\u4e2d\u5411\u91cf\u7684\u4e2a\u6570,\u800c\u89e3\u7a7a\u95f4\u7684\u6781\u5927\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u7ec4\u5c31\u662f\u5b83\u7684\u57fa\u7840\u89e3\u7cfb,\u5176\u6240\u542b\u89e3\u5411\u91cf\u7684\u4e2a\u6570\u4e3an-r,n\u662f\u672a\u77e5\u5411\u91cf\u4e2d\u5143\u7d20\u7684\u4e2a\u6570,r\u662f\u7cfb\u6570\u77e9\u9635\u7684\u79e9.
实在看不下去了，楼上在瞎搞些什么。。。这里a1和a2线性无关，所以L1=span{a1,a2}是2维线性空间
如果要把L1看作一个4维空间的2维子空间也没什么问题，但决不能说L1本身是4维的
支持2楼的
4维空间的基一定是4个4维向量，不可能由2个生成
这是2维空间
我觉得回答这个问题，应该搞清楚以下几个关系：
1、向量空间，包括子空间要满足加法和数乘两个运算，不能说向量组生成的向量空间或者子空间就是一个平面，该空间一定包括零向量；
2、向量的维数和向量空间的维数是不同的，向量空间的维数是有该向量空间的基的秩数决定的；
3、向量组a1、a2生成的是4维向量空间中的2维子空间，他的基的秩数是2，所以叫做2维子空间。
你追问的问题。 2个4维列向量是怎么生成4维空间的2维子空间？ 我拿3维的来说 这样直观。 取三维中一个平面 这个平面就是三维空间中的二维子空间 而子空间的基是的确有3个变量的。 所以你问题中2个4维生成一个二维子空间，他们只是恰好在一个平面中而已 分量取啥无所谓 关键是方向 向量就是有长度的方向。
电灯剑客回答得很好
四维
四个互不相关的分量.
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