如何求x趋于无穷大时sinx的极限?
=sin1/x除以1/x上下趋于无穷大时
1/x趋于零
所以上下均趋于零
可利用洛必达法则,上下分别求导得
-1/x²×cos1/x除以-1/x²
约分得cos0=1
洛必达法则:
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。众所周知,两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在,也可能不存在。
因此,求这类极限时往往需要适当的变形,转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法 。
绛旓細=sin1/x闄や互1/x 涓婁笅瓒嬩簬鏃犵┓澶ф椂 1/x瓒嬩簬闆 鎵浠ヤ笂涓嬪潎瓒嬩簬闆 鍙埄鐢ㄦ礇蹇呰揪娉曞垯锛屼笂涓嬪垎鍒眰瀵煎緱 -1/x²脳cos1/x闄や互-1/x²绾﹀垎寰梒os0=1
绛旓細=sin1/x闄や互1/x涓婁笅瓒嬩簬鏃犵┓澶ф椂 1/x瓒嬩簬闆 鎵浠ヤ笂涓嬪潎瓒嬩簬闆 鍙埄鐢ㄦ礇蹇呰揪娉曞垯锛屼笂涓嬪垎鍒眰瀵煎緱 -1/x²脳cos1/x闄や互锛1/x²绾﹀垎寰梒os0=1 娲涘繀杈炬硶鍒欙細娲涘繀杈炬硶鍒欐槸鍦ㄤ竴瀹氭潯浠朵笅閫氳繃鍒嗗瓙鍒嗘瘝鍒嗗埆姹傚鍐嶆眰鏋侀檺鏉ョ‘瀹氭湭瀹氬紡鍊肩殑鏂规硶銆備紬鎵鍛ㄧ煡锛屼袱涓棤绌峰皬涔嬫瘮鎴栦袱涓棤绌峰ぇ涔嬫瘮...
绛旓細x瓒嬩簬鏃犻檺鐨勬椂鍊锛sinx 鐨鏋侀檺鏄湪 -1鍒1涔嬮棿涓嶆柇鎸崱鐨勶紝鍥犳涓嶈秼浜庢煇涓浐瀹氱殑瀹炴暟銆傜ず渚嬶細|sin(1/x)|<=1 lim(x->鈭) (1/x) =0 => lim(x->鈭) (1/x) sin(1/x) =0
绛旓細sinx瓒嬭繎浜庢棤绌峰ぇ鐨勬瀬闄愭槸0銆傛瀬闄愪负0锛屽洜涓哄綋x瓒嬭繎浜庢棤绌峰ぇ鐨勬椂鍊檚inx鐨鍙栧艰寖鍥存槸銆-1锛1銆戙傝寈涓哄垎姣嶏紝褰撹秼杩戜簬鏃犵┓澶х殑鏃跺檚inx/x鐨勬瀬闄愭槸0銆傝嫢鏁板垪鐨勬瀬闄愬瓨鍦紝鍒欐瀬闄愬兼槸鍞竴鐨勶紝涓斿畠鐨勪换浣曞瓙鍒楃殑鏋侀檺涓庡師鏁板垪鐨勭浉绛夈俿in鏃犵┓绛変簬sinx锛氭寮︼紙sine锛夊湪鐩磋涓夎褰腑锛屼换鎰忎竴閿愯鈭燗鐨勫杈逛笌...
绛旓細渚嬪锛屽綋x瓒嬩簬鏃犵┓鏃讹紝sinx鍦╗-1,1]涔嬮棿鎸崱锛屾病鏈夋瀬闄愬笺傝屽綋x瓒嬩簬鏃犵┓鏃讹紝osx鐨勬瀬闄愬间笉瀛樺湪銆3銆佹瀬闄愮殑璁$畻鏂规硶銆傝绠椾笁瑙掑嚱鏁板湪鏃犵┓澶ф椂鐨鏋侀檺锛岄渶瑕佽繍鐢ㄤ竴浜涙暟瀛︽妧宸у拰鏂规硶銆備緥濡傦紝鍙互鍒╃敤澶归煎畾鐞嗗拰娲涘繀杈炬硶鍒欑瓑鏂规硶鏉姹傝В銆4銆佸簲鐢ㄩ鍩熴備笁瑙掑嚱鏁扮殑鏋侀檺鍦ㄦ暟瀛︺佺墿鐞嗐佸伐绋嬬瓑棰嗗煙閮芥湁骞挎硾鐨...
绛旓細涓嶄竴瀹氥傚綋x瓒嬩簬鏃犵┓澶ф椂锛屽嚱鏁sinx鐨鍊间负[-1锛1]涓殑姣忎竴涓疄鏁般傝繖浜涘疄鏁板湪x瓒嬩簬鏃犵┓澶х殑杩囩▼涓紝鎴戜滑鍙皢鍏跺垎涓轰袱绫伙細涓绫绘槸浣垮緱sinx涓嶇瓑浜0鐨剎锛屼竴绫绘槸浣垮緱sinx绛変簬0鐨剎銆傚綋x涓嶇瓑浜0鏃讹紝鍑芥暟xsinx瓒嬩簬鏃犵┓澶э紙鍙兘鏄鏃犵┓澶э紝涔熷彲鑳芥槸璐熸棤绌峰ぇ锛夈傚綋x=0鏃讹紝鍑芥暟xsinx=0銆傚彲瑙侊紝鍦▁瓒嬩簬...
绛旓細鏋侀檺涓嶅瓨鍦ㄣ傚綋x瓒嬭繎浜庢棤绌鏃跺彲鑳戒娇寰梮=2k蟺+蟺/2锛屽綋k鍙鏃犵┓澶ф椂锛寈涔熶负鏃犵┓澶с傛鏃讹紝f锛坸锛=1锛涘綋x瓒嬭繎浜庢棤绌锋椂鍙兘浣垮緱x=2k蟺锛屽綋k鍙栨棤绌峰ぇ鏃讹紝x涔熶负鏃犵┓澶с傛鏃讹紝f锛坸锛=0锛涙牴鎹瀬闄愮殑鍞竴鎬э紝涓婅堪鎯呭喌鏄剧劧涓嶅敮涓锛屾墍浠ユ瀬闄愪笉瀛樺湪銆
绛旓細x瓒嬩簬鏃犵┓澶鍒sinx鍦-1鍒1涔嬮棿闇囪崱 鍗硈inx鏈夌晫 鑰1/x鏄棤绌峰皬 鏈夌晫涔樻棤绌峰皬杩樻槸鏃犵┓灏 鎵浠ユ瀬闄愮瓑浜0
绛旓細x瓒嬩簬鏃犵┓澶鍒sinx鍦-1鍒1涔嬮棿闇囪崱锛屽嵆sinx鏈夌晫锛岃1/x鏄棤绌峰皬锛屾湁鐣屼箻鏃犵┓灏忚繕鏄棤绌峰皬锛屾墍浠ユ瀬闄愮瓑浜0銆傛眰鏋侀檺鍩烘湰鏂规硶鏈夛細1銆佸垎寮忎腑锛屽垎瀛愬垎姣嶅悓闄や互鏈楂樻锛屽寲鏃犵┓澶т负鏃犵┓灏璁$畻锛屾棤绌峰皬鐩存帴浠0浠e叆銆2銆佹棤绌峰ぇ鏍瑰紡鍑忓幓鏃犵┓澶ф牴寮忔椂锛屽垎瀛愭湁鐞嗗寲銆3銆佽繍鐢ㄦ礇蹇呰揪娉曞垯锛屼絾鏄礇蹇呰揪娉曞垯鐨勮繍鐢...
绛旓細褰x瓒嬩簬鏃犵┓澶ф椂锛sinx鐨鏋侀檺涓嶅瓨鍦ㄣ倄=2k蟺+蟺/2锛屽綋k鍙栨棤绌峰ぇ鏃讹紝x涔熶负鏃犵┓澶с傛鏃讹紝f锛坸锛=1锛泋=2k蟺锛屽綋k鍙栨棤绌峰ぇ鏃讹紝x涔熶负鏃犵┓澶э紝锛宖锛坸锛=0锛涙牴鎹瀬闄愮殑鍞竴鎬э紝鍙煡褰搙瓒嬩簬鏃犵┓澶ф椂锛宻inx鐨勬瀬闄愪笉瀛樺湪銆傛瀬闄愮殑鎬ц川锛1銆佸敮涓鎬э細鑻ユ暟鍒楃殑鏋侀檺瀛樺湪锛屽垯鏋侀檺鍊兼槸鍞竴鐨勶紝涓斿畠鐨...