简谐运动证明中的微分方程怎么解? 怎么解的?
这是二阶常系数齐次线性微分方程它的通解等于两个线性无关的特解和的形式
它的特征方程为
x^2+ω^2=0
那么它有两个共轭复根iω和-iω
所以该微分方程的通解为
x=C1*cosωt+C2*sinωt
绛旓細1銆佹棤闃诲凹鐨勭畝璋愯嚜鐢辫繍鍔ㄧ殑寰垎鏂圭▼锛歮x''+kx=0 (1)2銆佸垵濮嬫潯浠:x(0)=x0 x'(0)=x'0 (2)(1)鐨勭壒寰佹柟绋嬶細ms^2+k=0 (3)瑙ｅ嚭锛 s1=(k/m)^0.5 s2=-(k/m)^0.5 (4)3銆(1)鐨勯歺(t)=C1e^(s1t)+C2e^(s2t) 锛5锛夋牴鎹紙2锛-> C1+C2=x0 C1s1+C2s2=x'0 绠璋愯繍...
绛旓細鏍囧噯鍋氭硶 y''=-kx--->y''+kx=0鐗瑰緛鏂圭▼位^2+k=0--->位=卤i鈭歬-->閫氳В锛歽=C1*exp(i鈭歬)+C2*exp(-i鈭歬)=C1*sin(鈭歬t)+C2*cos(鈭歬t)褰撶劧杩樻湁鏇寸畝鍗曠殑璇曟帰娉曪紝涓嶈禈杩般
绛旓細鐜版牴鎹绠璋愯繍鍔ㄧ殑杩愬姩瀛鏂圭▼x=Asin(蠅t+ø)骞跺皢浣嶇Щ瀵规椂闂存眰涓娆″鏁癲x/dt锛屼粠鑰屾眰寰楋細v=dx/dt=A蠅cos(蠅t+ø)锛屽嵆绠璋愯繍鍔ㄧ殑閫熷害涓簐=vm cos(蠅t+ø),鍏朵腑vm浠ｈ〃绠璋愯繍鍔ㄧ殑鏈澶ч熷害锛坴m=A蠅锛夈傛樉鐒秞=Asin(蠅t+ø)銆乿=vm cos(蠅t+ø)娓呮櫚鍦板弽鏄犲嚭锛...
绛旓細甯﹀叆绗竴涓紡瀛愬氨鍙互寰楀埌-kx= m * d^2x / dt^2 涔︿笂涓轰簡绠鍖栬繍绠椾护k/m=蠅^2 瑙ｈ繖涓井鍒嗘柟绋嬪彲浠ョ湅鍋氫簩闃剁嚎鎬у父绯绘暟榻愭寰垎鏂圭▼锛岀洿鎺ユ眰鍏剁壒寰佹柟绋 涔熷彲浠ョ湅鍋氱己x,y'鍨嬬殑寰垎鏂圭▼锛鍒╃敤闂存帴鎹㈠厓娉曡繘琛屾眰瑙
绛旓細杩欎釜鍙互鍖栨垚 x''(t)+蠅²x(t)=0 杩欐槸涓涓簩闃跺父绯绘暟绾挎ф柟绋 鍙互鍏堣В鐗瑰緛鏂圭▼ 位² + 蠅² =0 寰楀埌 位= 蠅i 鎴 位= -蠅i 鍏朵腑i鏄櫄鏁板崟浣 鎵浠鏂圭▼鐨勮В涓 x(t)= C1*cos蠅t + C2*sin蠅t C1,C2涓哄父鏁般傜‘瀹氳繖涓父鏁帮紝闇瑕佸垵濮嬬姸鎬佺殑鍙傛暟銆
绛旓細鏈鐨勮В棰樿繃绋嬪涓嬶細1銆佹棤闃诲凹鐨绠璋鑷敱杩愬姩鐨勫井鍒嗘柟绋锛歮x''+kx=0 (1)2銆佸垵濮嬫潯浠:x(0)=x0 x'(0)=x'0 (2)(1)鐨勭壒寰佹柟绋嬶細ms^2+k=0 (3)瑙ｅ嚭锛 s1=(k/m)^0.5 s2=-(k/m)^0.5 (4)3銆(1)鐨勯歺(t)=C1e^(s1t)+C2e^(s2t) 锛5锛夋牴鎹紙2锛-> C1+C2=x0C1s1+...
绛旓細a=-k.y/m , 璁鞠塣2=k./m --> a+蠅^2.y=0--杩欐槸鏍囧噯鐨绠璋愭尟鍔ㄥ井鍒嗘柟绋锛屽彲瑙侊紝m浠嶅湪闈欏钩琛′綅缃檮杩戜綔绠璋愭尟鍔紝鍙槸澧炲姞涓涓父鍔涳紝鑰屽奖鍝嶅钩琛′綅缃殑鏀瑰彉锛岃屼笉褰卞搷鎸姩鐨勮寰嬨傚緱璇 姝鏂圭▼鐨勮В锛氭尟鍔ㄨ〃杈惧紡锛氶氳Вy=A.cos(蠅.t+蠁0)锛屽叾涓紝A=0.1m , 蠁0=0 , 蠅=鈭(k/m)=...
绛旓細鍙傝冧竴涓嬨傘傘
绛旓細杩愬姩寰垎鏂圭▼d²x/dt²+蠅²x=0鐨勮В涓:x=Acos(蠅t+蠁)锛屽嵆涓虹墿浣撶殑杩愬姩鏂圭▼銆傝鏂圭▼琛ㄦ槑鐗╀綋杩愬姩涓虹畝璇ｈ繍鍔
绛旓細绠璋愯繍鍔鐨勫井鍒嗘柟绋媥''+蠅^2=0鐗瑰緛鏂圭▼r^2+蠅^2=0瀹冪殑涓や釜鏍逛负卤蠅i寰垎鏂圭▼鐨勮В涓簒=Asin(蠅t+a)杩欐牱鍋氬氨鎶绠璋愭尟鍔涓庢暟瀛涓殑寰垎鏂圭▼鑱旂郴璧锋潵浜嗭紝寰垎鏂圭▼鐨勮В鏄寮﹀嚱鏁帮紝蠅灏辨槸瑙掗熷害锛岀畝璋愯繍鍔ㄧ殑鎸箙锛岄鐜囷紝瑙掗熷害绛夐兘鍙互鍦ㄦ寮﹀嚱鏁扮殑鍥惧儚涓〃绀哄嚭鏉ャ傝繖鏍蜂竴鏉ュ浜庣畝璋愯繍鍔ㄧ殑鍒嗘瀽鏇翠负...
