1方加2方加3方……一直加到n方等于几？（写出推算过程） 1方加2方加3方……一直加到n方等于几?（写出推算过程）
1\u65b9\u52a02\u65b9\u52a03\u65b9\u2026\u2026\u4e00\u76f4\u52a0\u5230n\u65b9\u7b49\u4e8e\u51e0\uff1f\uff08\u5199\u51fa\u63a8\u7b97\u8fc7\u7a0b\uff09\u5982\u679c\u4f60\u662f\u5c0f\u5b66\u6216\u521d\u4e2d\u7684\u5e74\u7ea7\u7684\u8bdd\uff0c\u8fd9\u5c31\u76f4\u63a5\u4fdd\u7559\u7740\u5c31\u884c\u4e86
\u8bc1\u660e\u5982\u4e0b
\u53ef\u5f97\u51fa\u662f
n(n+1)(2n+1)/6
\u60f3\u50cf\u4e00\u4e2a\u6709\u5706\u5708\u6784\u6210\u7684\u6b63\u4e09\u89d2\u5f62\uff0c
\u7b2c\u4e00\u884c1\u4e2a\u5708\uff0c\u5708\u5185\u7684\u6570\u5b57\u4e3a1
\u7b2c\u4e8c\u884c2\u4e2a\u5708\uff0c\u5708\u5185\u7684\u6570\u5b57\u90fd\u4e3a2\uff0c
\u4ee5\u6b64\u7c7b\u63a8
\u7b2cn\u884cn\u4e2a\u5708\uff0c\u5708\u5185\u7684\u6570\u5b57\u90fd\u4e3an\uff0c
\u6211\u4eec\u8981\u6c42\u7684\u5e73\u65b9\u548c\uff0c\u5c31\u8f6c\u5316\u4e3a\u4e86\u6c42\u8fd9\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u6240\u6709\u5708\u5185\u6570\u5b57\u7684\u548c\u3002\u8bbe\u8fd9\u4e2a\u6570\u4e3ar
\u4e0b\u9762\u5c06\u8fd9\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u987a\u65f6\u9488\u65cb\u8f6c60\u5ea6\uff0c\u5f97\u5230\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62
\u518d\u5c06\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u987a\u65f6\u9488\u65cb\u8f6c60\u5ea6\uff0c\u5f97\u5230\u7b2c\u4e09\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62
\u7136\u540e\uff0c\u5c06\u8fd9\u4e09\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u5bf9\u5e94\u7684\u5706\u5708\u5185\u7684\u6570\u5b57\u76f8\u52a0\uff0c
\u6211\u4eec\u795e\u5947\u7684\u53d1\u73b0\u6240\u6709\u5708\u5185\u7684\u6570\u5b57\u90fd\u53d8\u6210\u4e862n+1
\u800c\u603b\u5171\u6709\u51e0\u4e2a\u5708\u5462\uff0c\u8fd9\u662f\u4e00\u4e2a\u7b80\u5355\u7684\u7b49\u5dee\u6570\u5217\u6c42\u548c
1+2+\u2026\u2026+n=n(n+1)/2
\u4e8e\u662f3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6
\u5982\u679c\u4f60\u662f\u5c0f\u5b66\u6216\u521d\u4e2d\u7684\u5e74\u7ea7\u7684\u8bdd,\u8fd9\u5c31\u76f4\u63a5\u4fdd\u7559\u7740\u5c31\u884c\u4e86 \u8bc1\u660e\u5982\u4e0b \u53ef\u5f97\u51fa\u662f n(n+1)(2n+1)/6
\u60f3\u50cf\u4e00\u4e2a\u6709\u5706\u5708\u6784\u6210\u7684\u6b63\u4e09\u89d2\u5f62, \u7b2c\u4e00\u884c1\u4e2a\u5708,\u5708\u5185\u7684\u6570\u5b57\u4e3a1 \u7b2c\u4e8c\u884c2\u4e2a\u5708,\u5708\u5185\u7684\u6570\u5b57\u90fd\u4e3a2, \u4ee5\u6b64\u7c7b\u63a8 \u7b2cn\u884cn\u4e2a\u5708,\u5708\u5185\u7684\u6570\u5b57\u90fd\u4e3an, \u6211\u4eec\u8981\u6c42\u7684\u5e73\u65b9\u548c,\u5c31\u8f6c\u5316\u4e3a\u4e86\u6c42\u8fd9\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u6240\u6709\u5708\u5185\u6570\u5b57\u7684\u548c.\u8bbe\u8fd9\u4e2a\u6570\u4e3ar \u4e0b\u9762\u5c06\u8fd9\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u987a\u65f6\u9488\u65cb\u8f6c60\u5ea6,\u5f97\u5230\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62 \u518d\u5c06\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u987a\u65f6\u9488\u65cb\u8f6c60\u5ea6,\u5f97\u5230\u7b2c\u4e09\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62 \u7136\u540e,\u5c06\u8fd9\u4e09\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u5bf9\u5e94\u7684\u5706\u5708\u5185\u7684\u6570\u5b57\u76f8\u52a0, \u6211\u4eec\u795e\u5947\u7684\u53d1\u73b0\u6240\u6709\u5708\u5185\u7684\u6570\u5b57\u90fd\u53d8\u6210\u4e862n+1 \u800c\u603b\u5171\u6709\u51e0\u4e2a\u5708\u5462,\u8fd9\u662f\u4e00\u4e2a\u7b80\u5355\u7684\u7b49\u5dee\u6570\u5217\u6c42\u548c 1+2+\u2026\u2026+n=n(n+1)/2 \u4e8e\u662f3r=[n(n+1)/2]*(2n+1) r=n(n+1)(2n+1)/6
1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6。可以用(n+1)³-n³=3n²+3n+1累加得到。
证明过程：
根据立方差公式(a+1)³-a³=3a²+3a+1，则有：
a=1时：2³-1³=3×1²+3×1+1
a=2时：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3时：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4时：5³-4³=3×4²+3×4+1
.
·
·
a=n时：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式两边相加：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+······+n²）+3（1+2+3+······+n）+（1+1+1+······+1）
3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+······+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1)
所以1²+2²+······+n²=n（n+1)（2n+1）/6。
绛旓細a=n鏃讹細锛坣+1锛³-n³=3脳n²+3脳n+1 绛夊紡涓よ竟鐩稿姞锛氾紙n+1)³-1=3锛1²+2²+3²+路路路+n²锛+3锛1+2+3+路路路+n锛+锛1+1+1+路路路+1锛3锛1²+2²+3²+路路路+n²锛=锛坣+1锛³-1-3锛1+...
绛旓細浜庢槸3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)r=n(n+1)(2n+1)/6
绛旓細1+2+3+...+n鐨勫叕寮忔槸锛1+2+3+...+n =锛1+n锛壝梟/2 =n/2+n²/2 绛夊樊鏁板垪鏄寚浠庣浜椤硅捣锛屾瘡涓椤逛笌瀹冪殑鍓嶄竴椤圭殑宸瓑浜庡悓涓涓父鏁扮殑涓绉嶆暟鍒楋紝甯哥敤A銆丳琛ㄧず銆傝繖涓父鏁板彨鍋氱瓑宸暟鍒楃殑鍏樊锛屽叕宸父鐢ㄥ瓧姣峝琛ㄧず銆傜浉鍏虫ц川锛氬湪鏈夌┓绛夊樊鏁板垪涓紝涓庨鏈袱椤硅窛绂荤浉绛夌殑涓ら」鍜岀浉绛夈傚苟...
绛旓細1+2+3+4+5+6+鈥+n =(1+n)脳n梅2 =n(n+1)/2 绫讳技浜庢褰㈢殑闈㈢Н鍏紡锛岃繖鏍风殑寮忓瓙缁撴灉=(绗1涓暟+鏈鍚1涓暟)脳涓暟(澶氬皯涓暟)梅2
绛旓細鏁存暟骞虫柟鏁板垪 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 鏁板垪鏄竴绉嶇壒娈婄殑鍑芥暟銆傚叾鐗规畩鎬т富瑕佽〃鐜板湪鍏跺畾涔夊煙鍜屽煎煙涓娿傛暟鍒楀彲浠ョ湅浣滀竴涓畾涔夊煙涓烘鏁存暟闆N*鎴栧叾鏈夐檺瀛愰泦{1锛2锛3锛屸︼紝n}鐨勫嚱鏁帮紝鍏朵腑鐨剓1锛2锛3锛屸︼紝n}涓嶈兘鐪佺暐銆傚嚱鏁颁笉涓瀹氭湁瑙ｆ瀽寮忥紝鍚屾牱鏁板垪涔熷苟闈為兘鏈夐氶」鍏紡...
绛旓細缁间笂鎵杩,瑙傚療寰楃煡:1^3+2^3+3^3+鈥︹+n^3=(1+2+3+鈥︹+n)^2=n^2(n+1)^2/4 褰搉=1鏃,缁撹鏄剧劧鎴愮珛 鑻=k鏃,缁撹鍋囪涔熸垚绔 1^3+2^3+3^3+鈥︹+k^3=k^2(k+1)^2/4 鍒檔=k+1鏃舵湁 1^3+2^3+3^3+鈥︹+k^3+(k+1)^3 =k^2(k+1)^2/4+(k+1)^3 =(...
绛旓細1骞虫柟+2骞虫柟+3骞虫柟+...N骞虫柟=n(n+1)(2n+1)/6 1鐨勭珛鏂+2鐨勭珛鏂+3鐨勭珛鏂光︹+N鐨勭珛鏂=(1+2+3...+N)�0�5
绛旓細n(n+1)(n+2)/6
绛旓細1²+2²+3²+4²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6 鍙敤鏁板褰掔撼娉曡瘉鏄庛
绛旓細1鐨勫钩鏂瑰姞鍒皀鐨勫钩鏂圭殑鎺ㄥ鍏紡濡備笅锛1²+2²+3²+鈥︹+n²=n(n+1)(2n+1)/6銆傛牴鎹珛鏂瑰樊鍏紡(a+1)³-a³=3a²+3a+1鍙緱锛宎=1鏃讹細2³-1³=3脳bai1²+3脳1+1锛宎=n鏃讹細(n+1)³-n³=3脳n²+3脳n+1...
