如何求二维连续随机变量的期望和方差?
设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为p(x,y),并且p(x,y)=2-x-y,p(x,y)=0。首先,由于p(x,y)是联合密度函数,因此对于任意的x,y,都有p(x,y)≥0。因此,对于任意的x,y,都有2-x-y≥0。
接下来,我们可以列出方程组:
2-x-y≥0 p(x,y)=0
将第一个方程带入第二个方程中,得到:
0=2-x-y => x+y=2
由于X和Y是连续型随机变量,因此它们的取值范围是(-∞,+∞)。根据x+y=2这个方程,我们可以得到X和Y的取值范围是(-∞,2]。
接下来,我们可以利用X和Y的取值范围来计算它们的期望值:
E(X)=∫(-∞,2]xp(x)dx E(Y)=∫(-∞,2]yp(y)dy
继续计算期望值,我们需要求出p(x)和p(y)。
设p(x)为X的边缘密度函数,p(y)为Y的边缘密度函数。则有:
p(x)=∫(-∞,2]p(x,y)dy p(y)=∫(-∞,2]p(x,y)dx
将p(x,y)=2-x-y带入,得到:
p(x)=∫(-∞,2](2-x-y)dy p(y)=∫(-∞,2](2-x-y)dx
设x=a为常数,则有:
p(x)=∫(-∞,2](2-a-y)dy p(y)=∫(-∞,2](2-x-a)dx
积分得到:
p(x)=2-a p(y)=2-a
因此,有:
E(X)=∫(-∞,2]xp(x)dx=∫(-∞,2]x(2-x)dx E(Y)=∫(-∞,2]yp(y)dy=∫(-∞,2]y(2-y)dy
继续积分,得到:
E(X)=∫(-∞,2]xp(x)dx=∫(-∞,2]x(2-x)dx=2∫(-∞,2]xdx-∫(-∞,2]x²dx E(Y)=∫(-∞,2]yp(y)dy=∫(-∞,2]y(2-y)dy=2∫(-∞,2]ydy-∫(-∞,2]y²dy
继续积分,得到:
E(X)=2∫(-∞,2]xdx-∫(-∞,2]x²dx=2[x²/2]^2-(x³/3)^2=4-8=-4 E(Y)=2∫(-∞,2]ydy-∫(-∞,2]y²dy=2[y²/2]^2-(y³/3)^2=4-8=-4
因此,X的期望值为-4,Y的期望值也为-4。
综上所述,二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为p(x,y)=2-x-y,p(x,y)=0时,X的期望值为-4,Y的期望值也为-4。
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