证明：如果数列收敛，则它的极限是唯一聚点。 如何证明“收敛数列的极限是唯一的”？
\u8bc1\u660e\u6536\u655b\u6570\u5217\u53ea\u6709\u4e00\u4e2a\u805a\u70b9\u6570\u5217\u6536\u655b\u7684\u5b9a\u4e49\uff1a
\u82e5\u6570\u5217{Xn}\u7684\u6781\u9650\u4e3aa\uff0c\u7b49\u4ef7\u4e8e
\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u5c0f\u7684\u91cf\u03b5\uff0c\u4e00\u5b9a\u5b58\u5728\u8fd9\u6837\u7684\u6b63\u6574\u6570N\uff0c\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u7684n>N \u6709|Xn-a|<\u03b5
\u6570\u5217\u6536\u655b\u7684\u552f\u4e00\u6027\uff0c\u5373\u6536\u655b\u70b9\u552f\u4e00\uff1a
\u7528\u53cd\u8bc1\u6cd5\uff0c\u82e5\u6570\u5217{Xn}\u6709\u4e24\u4e2a\u6536\u655b\u70b9a,b\uff0c\u5219\u8bbed=|a-b|
\u7531\u6570\u5217\u6536\u655b\u7684\u5b9a\u4e49\u53ef\u4ee5\u77e5\u9053\uff0c\u4e00\u5b9a\u5b58\u5728\u8fd9\u6837\u7684N\uff0c\u5f53n>N\u65f6\uff0c\u6709
|Xn-a|<d/2 |Xn-b|<d/2 \u540c\u65f6\u6ee1\u8db3
\u800cd=|a-b|=|(a-Xn)-(b-Xn)|\u2264|a-Xn|+|b-Xn|<d
\u4e5f\u5c31\u662f\u9000\u51fa\u4e86d<d\u7684\u77db\u76fe \u6240\u4ee5\u5047\u8bbe\u9519\u8bef\uff0c\u6570\u5217\u6536\u655b\u70b9\u53ea\u80fd\u552f\u4e00
\u672c\u89c6\u9891\u662f\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u7cfb\u5217\u6559\u5b66\u89c6\u9891\u4e4b\u4e00\uff0c\u8be5\u7cfb\u5217\u6559\u5b66\u89c6\u9891\u662f\u7cfb\u7edf\u7684\u6559\u5b66\u89c6\u9891\uff0c\u6709\u52a9\u4e8e\u975e\u6570\u5b66\u4e13\u4e1a\u5b66\u751f\u66f4\u597d\u5730\u5b66\u4e60\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u53ca\u8003\u7814\u3002\u6bcf\u5468\u5468\u4e8c\u56db\u516d\u66f4\u65b0\u3002
由极限定义，因为xn收敛到x
令εm=1/2^m>0
所以对于任意εm>0,
总存在Nm,使得当n>Nm时
有|xn-x|<εm
任取δ>0
只需要取m=max{1,log2(1/δ)}+1
就有|xNm-x|<δ
所以x的领域O(x,δ)包含了指标是Nm以后的所有点，有无限个
所以极限x是一个聚点
2.下证唯一性
假设存在除了x以外的另一个聚点y
即x≠y，|x-y|>0
由聚点定义
所以对于任意δ
在领域O(y,δ)中包含数列xn的无穷多个点
因为xn收敛到x
取ε=|x-y|/3>0
δ=|x-y|/3>0
有N,使得当n>N时
|xn-x|<ε
利用三角不等式
|x-y|
=|(x-xn)-(y-xn)|
<=|xn-x|+|xn-y|
因为|xn-x|<ε=|x-y|/3
所以|xn-y|>=|x-y|-|x-y|/3
=2|x-y|/3>|x-y|/3=δ
所以当n>N后，xn都不在y的领域O(y,δ)内。
所以领域O(y,δ)内最多只有有限个xn(个数小于N+1),与y是聚点的定义相矛盾
所以假设错误，即不存在其它聚点。
综上，聚点为极限x，且此极限唯一
设a,b是数列{an}的两个聚点,a0,存在N1,当n>N1时,有:an-aN1.于是:am-a
设a,b是数列{an}的两个聚点,a<b,a是极限.
对£=(b-a)/2>0,存在N1,当n>N1时，有:
an-a<£.因为b是聚点，故b的£邻域内必定有数列an的无穷多个点。由于N1是有限值，因此,b的£邻域必然存在am,m>N1.于是:
am-a<£,-£<am-b
am<a+£=(b+a)/2
am>b-£=(b+a)/2.矛盾。故聚点就是极限。
数列收敛的定义：
若数列{Xn}的极限为a，等价于
对于任意小的量ε，一定存在这样的正整数N，对于任意的n>N 有|Xn-a|<ε
数列收敛的唯一性，即收敛点唯一：
用反证法，若数列{Xn}有两个收敛点a,b，则设d=|a-b|
由数列收敛的定义可以知道，一定存在这样的N，当n>N时，有
|Xn-a|<d/2 |Xn-b|<d/2 同时满足
而d=|a-b|=|(a-Xn)-(b-Xn)|≤|a-Xn|+|b-Xn|<d
也就是退出了d<d的矛盾 所以假设错误，数列收敛点只能唯一
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