数列收敛，极限一定是a吗？
不对，看数列极限的一个定义：任给ε>0,若在U(a;ε)之外数列❴an❵中的项至多只有有限个，则称数列❴an❵收敛于a。
如果在邻域内，该数列的项有无穷多个，能否说明该数列极限是a，答案是不能，比如数列an＝（－1）＾n。
两个数的接近可以用两个数的绝对值之差来衡量，即｜b－a｜越小，b越接近a。
于是只要证明：对∀ ε>0, |Xn-0|<ε>
即无论ε是一个多么小的值，数列｛Xn｝总能给出一个比ε还要小的值。
设数列{Xn}为一数列，如果存在常数a，对任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时， 不等式|Xn-a|<>。
扩展资料
求数列极限可以归纳为以下三种形式。
1．抽象数列求极限
这类题一般以选择题的形式出现，因此可以通过举反例来排除。此外，也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证。
2．求具体数列的极限，可以参考以下几种方法：
利用单调有界必收敛准则求数列极限。首先，用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性，进而确定极限存在性；其次，通过递推关系中取极限，解方程，从而得到数列的极限值。
利用函数极限求数列极限。如果数列极限能看成某函数极限的特例，形如，则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限，此时再用洛必达法则求解。
3．项和或项积数列的极限，主要有以下几种方法：
利用特殊级数求和法。如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式，那么通过整理可以直接得出极限结果。
利用幂级数求和法。若可以找到这个级数所对应的幂级数，则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出，再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值。
利用定积分定义求极限。若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项可用一个通项表示，则可以考虑用定积分定义求解数列极限。
利用夹逼定理求极限。若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项不能用一个通项表示，但是其余项是按递增或递减排列的，则可以考虑用夹逼定理求解。
求项数列的积的极限，一般先取对数化为项和的形式，然后利用求解项和数列极限的方法进行计算。
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