已知二维连续随机变量的分布函数,如何求其密度函数? 已知二维随机变量的概率密度怎么求分布函数

\u5df2\u77e5\u5206\u5e03\u51fd\u6570\u600e\u4e48\u6c42\u4e8c\u7ef4\u968f\u673a\u53d8\u91cf\u5bc6\u5ea6\u51fd\u6570

\u4f60\u597d\uff01\u5c06\u4e8c\u5143\u8054\u5408\u5206\u5e03\u51fd\u6570F(x,y)\u5bf9x\u4e0ey\u5404\u6c42\u4e00\u6b21\u504f\u5bfc\u6570\u5c31\u5f97\u5230\u8054\u5408\u6982\u7387\u5bc6\u5ea6\u51fd\u6570\u3002\u7ecf\u6d4e\u6570\u5b66\u56e2\u961f\u5e2e\u4f60\u89e3\u7b54\uff0c\u8bf7\u53ca\u65f6\u91c7\u7eb3\u3002\u8c22\u8c22\uff01

\u5bf9\u4e8e\u4e8c\u7ef4\u8fde\u7eed\u53d8\u91cf\u7684\u5206\u5e03\u51fd\u6570F(x\uff0cy)\uff0c\u4e00\u822c\u5e94\u7528\u5176\u6982\u7387\u5bc6\u5ea6\u51fd\u6570f(x\uff0cy)\u7684\u5b9a\u79ef\u5206\u6c42\u89e3\uff1b\u5bf9\u4e8e\u975e\u8fde\u7eed\u53d8\u91cf\uff0c\u9700\u8981\u5206\u522b\u7d2f\u52a0\u6c42\u5f97\u3010\u4e0e\u4e00\u7ef4\u968f\u673a\u53d8\u91cf\u7684\u6c42\u6cd5\u76f8\u4eff\u3011\u3002
\u2234\u672c\u9898\u4e2d\uff0c\u5f53x\u2208(0,\u221e)\u3001y\u2208(0\uff0c\u221e)\u65f6\uff0c\u5206\u5e03\u51fd\u6570F(x\uff0cy)=\u222b(-\u221e\uff0cx)du\u222b(-\u221e,y)f(u\uff0cv)dv=\u222b(0\uff0cx)du\u222b(-0\uff0cy)2e^(-2u-v)dv=\u222b(0\uff0cx)2e^(-2u)du\u222b(-0\uff0cy)e^(-v)dv=[1-e^(-2x)][1-e^(-y)]\u3002
\u5f53x∉(0\uff0c\u221e)\u3001y∉(0\uff0c\u221e)\u65f6\uff0c\u5206\u5e03\u51fd\u6570F(x,y)=\u222b(-\u221e\uff0c0)du\u222b(-\u221e\uff0c0)f(u\uff0cv)dv=0\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u968f\u673a\u53d8\u91cf\u5728\u4e0d\u540c\u7684\u6761\u4ef6\u4e0b\u7531\u4e8e\u5076\u7136\u56e0\u7d20\u5f71\u54cd\uff0c\u53ef\u80fd\u53d6\u5404\u79cd\u4e0d\u540c\u7684\u503c\uff0c\u6545\u5176\u5177\u6709\u4e0d\u786e\u5b9a\u6027\u548c\u968f\u673a\u6027\uff0c\u4f46\u8fd9\u4e9b\u53d6\u503c\u843d\u5728\u67d0\u4e2a\u8303\u56f4\u7684\u6982\u7387\u662f\u4e00\u5b9a\u7684\uff0c\u6b64\u79cd\u53d8\u91cf\u79f0\u4e3a\u968f\u673a\u53d8\u91cf\u3002\u968f\u673a\u53d8\u91cf\u53ef\u4ee5\u662f\u79bb\u6563\u578b\u7684\uff0c\u4e5f\u53ef\u4ee5\u662f\u8fde\u7eed\u578b\u7684\u3002
\u4e8b\u4ef6\u968f\u673a\u53d1\u751f\u7684\u673a\u7387\uff0c\u5bf9\u4e8e\u5747\u5300\u5206\u5e03\u51fd\u6570\uff0c\u6982\u7387\u5bc6\u5ea6\u7b49\u4e8e\u4e00\u6bb5\u533a\u95f4(\u4e8b\u4ef6\u7684\u53d6\u503c\u8303\u56f4)\u7684\u6982\u7387\u9664\u4ee5\u8be5\u6bb5\u533a\u95f4\u7684\u957f\u5ea6\uff0c\u5b83\u7684\u503c\u662f\u975e\u8d1f\u7684\uff0c\u53ef\u4ee5\u5f88\u5927\u4e5f\u53ef\u4ee5\u5f88\u5c0f\u3002
\u53ef\u4ee5\u628a\u6982\u7387\u5bc6\u5ea6\u770b\u6210\u662f\u7eb5\u5750\u6807\uff0c\u533a\u95f4\u770b\u6210\u662f\u6a2a\u5750\u6807\uff0c\u6982\u7387\u5bc6\u5ea6\u5bf9\u533a\u95f4\u7684\u79ef\u5206\u5c31\u662f\u9762\u79ef\uff0c\u800c\u8fd9\u4e2a\u9762\u79ef\u5c31\u662f\u4e8b\u4ef6\u5728\u8fd9\u4e2a\u533a\u95f4\u53d1\u751f\u7684\u6982\u7387\uff0c\u6240\u6709\u9762\u79ef\u7684\u548c\u4e3a1\u3002\u6240\u4ee5\u5355\u72ec\u5206\u6790\u4e00\u4e2a\u70b9\u7684\u6982\u7387\u5bc6\u5ea6\u662f\u6ca1\u6709\u4efb\u4f55\u610f\u4e49\u7684\uff0c\u5b83\u5fc5\u987b\u8981\u6709\u533a\u95f4\u4f5c\u4e3a\u53c2\u8003\u548c\u5bf9\u6bd4\u3002
\u79bb\u6563\u578b\u968f\u673a\u53d8\u91cf\u7684\u5206\u5e03\u5f8b\u548c\u5b83\u7684\u5206\u5e03\u51fd\u6570\u662f\u76f8\u4e92\u552f\u4e00\u51b3\u5b9a\u7684\u3002\u5b83\u4eec\u7686\u53ef\u4ee5\u7528\u6765\u63cf\u8ff0\u79bb\u6563\u578b\u968f\u673a\u53d8\u91cf\u7684\u7edf\u8ba1\u89c4\u5f8b\u6027\uff0c\u4f46\u5206\u5e03\u5f8b\u6bd4\u5206\u5e03\u51fd\u6570\u66f4\u76f4\u89c2\u7b80\u660e\uff0c\u5904\u7406\u66f4\u65b9\u4fbf\u3002\u56e0\u6b64\uff0c\u4e00\u822c\u662f\u7528\u5206\u5e03\u5f8b(\u6982\u7387\u51fd\u6570)\u800c\u4e0d\u662f\u5206\u5e03\u51fd\u6570\u6765\u63cf\u8ff0\u79bb\u6563\u578b\u968f\u673a\u53d8\u91cf\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1\u2014\u2014\u4e8c\u7ef4\u968f\u673a\u53d8\u91cf

将二维分布函数求混合二阶偏导,就得到密度函数。如下图:



求其边沿密度函数,然后相乘就可以了

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