求教圆锥曲线的各种简便的公式 求圆锥曲线公式！！！快~~~~~~~~~
\u6709\u6ca1\u6709\u6c42\u5706\u9525\u66f2\u7ebf\u5f26\u957f\u7684\u6700\u7b80\u4fbf\u7684\u65b9\u6cd5\u6c42\u5706\u9525\u66f2\u7ebf\u5f26\u957f\u7684\u6700\u7b80\u4fbf\u7684\u65b9\u6cd5
\u5176\u4e2dK\u4e3a\u76f4\u7ebf\u659c\u7387\uff0c
\u4e3a\u76f4\u7ebf\u4e0e\u66f2\u7ebf\u7684\u4e24\u4ea4\u70b9
\u8bc1\u660e\u65b9\u6cd5\u5982\u4e0b\uff1a
\u5f26\u957f\u516c\u5f0f\uff0c\u5728\u8fd9\u91cc\u6307\u76f4\u7ebf\u4e0e\u5706\u9525\u66f2\u7ebf\u76f8\u4ea4\u6240\u5f97\u5f26\u957fd\u7684\u516c\u5f0f\u3002
PS\uff1a\u5706\u9525\u66f2\u7ebf\uff0c \u662f\u6570\u5b66\u3001\u51e0\u4f55\u5b66\u4e2d\u901a\u8fc7\u5e73\u5207\u5706\u9525\uff08\u4e25\u683c\u4e3a\u4e00\u4e2a\u6b63\u5706\u9525\u9762\u548c\u4e00\u4e2a\u5e73\u9762\u5b8c\u6574\u76f8\u5207\uff09\u5f97\u5230\u7684\u4e00\u4e9b\u66f2\u7ebf\uff0c\u5982\uff1a\u692d\u5706\uff0c\u53cc\u66f2\u7ebf\uff0c\u629b\u7269\u7ebf\u7b49\u3002
\u5706\u9525\u66f2\u7ebf\u5305\u62ec\u692d\u5706\uff0c\u53cc\u66f2\u7ebf\uff0c\u629b\u7269\u7ebf
1. \u692d\u5706\uff1a\u5230\u4e24\u4e2a\u5b9a\u70b9\u7684\u8ddd\u79bb\u4e4b\u548c\u7b49\u4e8e\u5b9a\u957f\uff08\u5b9a\u957f\u5927\u4e8e\u4e24\u4e2a\u5b9a\u70b9\u95f4\u7684\u8ddd\u79bb\uff09\u7684\u52a8\u70b9\u7684\u8f68\u8ff9\u53eb\u505a\u692d\u5706\u3002\u5373\uff1a{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}\u3002
2. \u53cc\u66f2\u7ebf\uff1a\u5230\u4e24\u4e2a\u5b9a\u70b9\u7684\u8ddd\u79bb\u7684\u5dee\u7684\u7edd\u5bf9\u503c\u4e3a\u5b9a\u503c\uff08\u5b9a\u503c\u5c0f\u4e8e\u4e24\u4e2a\u5b9a\u70b9\u7684\u8ddd\u79bb\uff09\u7684\u52a8\u70b9\u8f68\u8ff9\u53eb\u505a\u53cc\u66f2\u7ebf\u3002\u5373{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}\u3002
3. \u629b\u7269\u7ebf\uff1a\u5230\u4e00\u4e2a\u5b9a\u70b9\u548c\u4e00\u6761\u5b9a\u76f4\u7ebf\u7684\u8ddd\u79bb\u76f8\u7b49\u7684\u52a8\u70b9\u8f68\u8ff9\u53eb\u505a\u629b\u7269\u7ebf\u3002
4. \u5706\u9525\u66f2\u7ebf\u7684\u7edf\u4e00\u5b9a\u4e49\uff1a\u5230\u5b9a\u70b9\u7684\u8ddd\u79bb\u4e0e\u5230\u5b9a\u76f4\u7ebf\u7684\u8ddd\u79bb\u7684\u6bd4e\u662f\u5e38\u6570\u7684\u70b9\u7684\u8f68\u8ff9\u53eb\u505a\u5706\u9525\u66f2\u7ebf\u3002\u5f5301\u65f6\u4e3a\u53cc\u66f2\u7ebf\u3002
\u00b7\u5706\u9525\u66f2\u7ebf\u7531\u6765\uff1a\u5706\uff0c\u692d\u5706\uff0c\u53cc\u66f2\u7ebf\uff0c\u629b\u7269\u7ebf\u540c\u5c5e\u4e8e\u5706\u9525\u66f2\u7ebf\u3002\u65e9\u5728\u4e24\u5343\u591a\u5e74\u524d\uff0c\u53e4\u5e0c\u814a\u6570\u5b66\u5bb6\u5bf9\u5b83\u4eec\u5df2\u7ecf\u5f88\u719f\u6089\u4e86\u3002\u53e4\u5e0c\u814a\u6570\u5b66\u5bb6\u963f\u6ce2\u7f57\u5c3c\u91c7\u7528\u5e73\u9762\u5207\u5272\u5706\u9525\u7684\u65b9\u6cd5\u6765\u7814\u7a76\u8fd9\u51e0\u79cd\u66f2\u7ebf\u3002\u7528\u5782\u76f4\u4e0e\u9525\u8f74\u7684\u5e73\u9762\u53bb\u622a\u5706\u9525\uff0c\u5f97\u5230\u7684\u662f\u5706\uff1b\u628a\u5e73\u9762\u6e10\u6e10\u503e\u659c\uff0c\u5f97\u5230\u692d\u5706\uff1b\u5f53\u5e73\u9762\u548c\u5706\u9525\u7684\u4e00\u6761\u6bcd\u7ebf\u5e73\u884c\u65f6\uff0c\u5f97\u5230\u629b\u7269\u7ebf\uff1b\u5f53\u5e73\u9762\u518d\u503e\u659c\u4e00\u4e9b\u5c31\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230\u53cc\u66f2\u7ebf\u3002\u963f\u6ce2\u7f57\u5c3c\u66fe\u628a\u692d\u5706\u53eb\u201c\u4e8f\u66f2\u7ebf\u201d\uff0c\u628a\u53cc\u66f2\u7ebf\u53eb\u505a\u201c\u8d85\u66f2\u7ebf\u201d\uff0c\u628a\u629b\u7269\u7ebf\u53eb\u505a\u201c\u9f50\u66f2\u7ebf\u201d\u3002
\u00b7\u5706\u9525\u66f2\u7ebf\u7684\u53c2\u6570\u65b9\u7a0b\u548c\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u65b9\u7a0b\uff1a
1\uff09\u76f4\u7ebf
\u53c2\u6570\u65b9\u7a0b\uff1ax=X+tcos\u03b8 y=Y+tsin\u03b8 (t\u4e3a\u53c2\u6570\uff09
\u76f4\u89d2\u5750\u6807\uff1ay=ax+b
2\uff09\u5706
\u53c2\u6570\u65b9\u7a0b\uff1ax=X+rcos\u03b8 y=Y+rsin\u03b8 (\u03b8\u4e3a\u53c2\u6570 )
\u76f4\u89d2\u5750\u6807\uff1ax^2+y^2=r^2 (r \u4e3a\u534a\u5f84\uff09
3\uff09\u692d\u5706
\u53c2\u6570\u65b9\u7a0b\uff1ax=X+acos\u03b8 y=Y+bsin\u03b8 (\u03b8\u4e3a\u53c2\u6570 )
\u76f4\u89d2\u5750\u6807\uff08\u4e2d\u5fc3\u4e3a\u539f\u70b9\uff09\uff1ax^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
4\uff09\u53cc\u66f2\u7ebf
\u53c2\u6570\u65b9\u7a0b\uff1ax=X+asec\u03b8 y=Y+btan\u03b8 (\u03b8\u4e3a\u53c2\u6570 )
\u76f4\u89d2\u5750\u6807\uff08\u4e2d\u5fc3\u4e3a\u539f\u70b9\uff09\uff1ax^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (\u5f00\u53e3\u65b9\u5411\u4e3ax\u8f74\uff09 y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (\u5f00\u53e3\u65b9\u5411\u4e3ay\u8f74\uff09
5\uff09\u629b\u7269\u7ebf
\u53c2\u6570\u65b9\u7a0b\uff1ax=2pt^2 y=2pt (t\u4e3a\u53c2\u6570)
\u76f4\u89d2\u5750\u6807\uff1ay=ax^2+bx+c (\u5f00\u53e3\u65b9\u5411\u4e3ay\u8f74, a0 \uff09 x=ay^2+by+c \uff08\u5f00\u53e3\u65b9\u5411\u4e3ax\u8f74, a0 )
\u5706\u9525\u66f2\u7ebf\uff08\u4e8c\u6b21\u975e\u5706\u66f2\u7ebf\uff09\u7684\u7edf\u4e00\u6781\u5750\u6807\u65b9\u7a0b\u4e3a
\u03c1=ep/(1-e\u00b7cos\u03b8)
\u5176\u4e2de\u8868\u793a\u79bb\u5fc3\u7387\uff0cp\u4e3a\u7126\u70b9\u5230\u51c6\u7ebf\u7684\u8ddd\u79bb\u3002
\u6211\u662f\u9ad8\u8003\u8fc7\u6765\u7684\uff0c\u4e00\u822c\u6211\u4eec\u7701\u662f\u81ea\u4e3b\u547d\u9898\uff0c\u6700\u540e\u4e00\u9053\u5927\u9898\u901a\u5e38\u5c31\u662f\u5706\u9525\u66f2\u7ebf\u7684\u7efc\u5408\u578b\u9898\u76ee\uff0c\u8fd9\u79cd\u9898\u76ee\u7684\u5206\u503c\u5927\u7ea618\u5206\u5de6\u53f3\u4f46\u662f\u8ba1\u7b97\u91cf\u76f8\u5f53\u7684\u5de8\u5927\uff0c\u4e00\u822c\u4f1a\u8bbe\u51e0\u4e2a\u5c0f\u95ee\u9898\uff0c\u5efa\u8bae\u697c\u4e3b\u89c6\u81ea\u5df1\u7684\u60c5\u51b5\u800c\u5b9a\uff0c\u6709\u53d6\u820d\u7684\u505a\u8fd9\u4e9b\u9898\u76ee\uff0c\u800c\u6240\u8c13\u7684\u91cd\u70b9\u5c31\u662f\u5e73\u5e38\u7ec3\u4e60\u4e2d\u7684\u719f\u7ec3\u7a0b\u5ea6\u4e86\uff0c\u9ad8\u8003\u7684\u6570\u5b66\u8fd8\u662f\u8003\u5bdf\u4e2a\u4eba\u7684\u89e3\u9898\u719f\u7ec3\u7a0b\u5ea6\uff0c\u6240\u4ee5\u60f3\u8981\u53d6\u5f97\u9ad8\u5206\u8fd8\u662f\u8981\u505a\u4e00\u4e9b\u6709\u4ee3\u8868\u6027\u7684\u9898\u76ee\u5728\u6ce8\u610f\u603b\u7ed3\u8003120\u4ee5\u4e0a\u5e94\u8be5\u6ca1\u6709\u95ee\u9898\uff0c\u6700\u540e\u795d\u4f60\u91d1\u699c\u9898\u540d\u54c8\uff01
一、圆
[圆的方程、圆心与半径]
方程x²+ y²= R²
圆心与半径
圆心 G(0,0)
半径 r = R
(x -a)²+(y - b)²= R²
圆心 G(a, b)
半径 r = R
x²+y²+2mx + 2ny + q = 0
m²+ n²> q
圆心 G(-m,-n)
半径
r2-2rr0cos(j-j0)+r02 = R2 (极坐标方程)
圆心 G(r0,j0)
半径 r = R
x2 + y2 = 2Rx
或r= 2Rcosj
(极坐标方程)
圆心 G(R, 0)
半径 r = R
[圆的切线]
圆 x²+ y²= R²上一点M(x0, y0)的切线方程为
x0x + y0y = R²
圆 x2 + y2 + 2mx + 2ny + q = 0 上一点M(x0, y0)的切线方程为
x0x + y0y + m(x + x0) + n(y + y0) + q = 0
[两个圆的交角、圆束与根轴]
方程与图形
公式与说明
两个圆的交角
C1 x²+y²+2m1x +2n1y +q1 = 0
C2 x²+y²+2m2x +2n2y +q2 = 0
两个圆的交角是指它们在交点的两条切线的夹角
式中q表示两个圆C1和C2的交角，因为公式中不包含交点的坐标，所以在两交点的两交角必相等.
两个圆C1和C2正交条件为
2m1m2 + 2n1n2 - q1 - q2 = 0
圆束× 两个圆的根轴
C1+ lC2 = 0 (l为参数)
或 (l+1)(x2+y2) +2(m1+lm2)x
+(n1+ln2)y + (q1 +lq2) = 0
根轴方程为2(m1 - m2)x + 2(n1 - n2)y + (q1 - q2) = 0
对l(l¹-1)的一个确定值，表示一个圆.当l取一切值(l¹-1)时，所表示的圆的全体，称为圆束.l = -1时，为一直线，称为两个圆C1和C2的根轴.根轴与C1和C2的连心线垂直，束中任一圆的圆心在C1和C2的连心线上，且分连心线的比等于l.
(a)如果C1和C2相交于两点M1，M2，则束中一切圆都通过两交点M1，M2，它们的根轴就是它们的公共弦.这时圆束称为共轴圆系(图(a)).
(b)如果C1和C2切于一点M，则束中一切圆都在一点M相切，根轴就是在点M的公切线(图(b)).
(c)如果C1和C2不相交，则束中一切圆都不相交，根轴也与圆束中一切圆都不相交(图(c)).
从点P作两个圆C1和C2的切线，具有相等切线长的点P的轨迹就是根轴.两个同心圆的根轴是从公共圆心到无穷远处的直线.三个圆中每对圆的根轴(共三个)交于一点，它称为根心.若三个圆心共线，则其根心在无穷远处.
[反演] 设C为一定圆，O为圆心，r为半径(图7.1)，对平面上任一点M，有一点M¢与它对应.使得满足下列两个条件：
（i）O, M, M¢共线，
（ii）OM× OM¢= r2，
这种点M¢称为点M关于定圆C的反演点，C称为反演圆，O称为反演中心，r称为反演半径.
由于M和M¢的关系是对称的，所以M也是M¢的反演点.因r2 > 0，所以M和M¢都在O的同侧.M和M¢之间的对应称为关于定圆C的反演.
取O为原点，则一切反演点M(x, y)和M¢(x¢,y¢)的对应方程为
反演具有性质：
1° 不通过反演中心的一条直线变为通过反演中心的一个圆.
2° 通过反演中心的圆变为不通过反演中心的直线.
3° 通过反演中心的一条直线变为它自己.
4° 不通过反演中心的圆变为不通过反演中心的圆.
5° 反演圆变为它自己.
6° 与反演圆正交的圆变为它自己，其逆也真.
7° 如果两条曲线C1，C2交于一点M，则经过反演后的曲线C1¢, C2¢必交于M的反演点M¢.
8° 如果两条曲线C1, C2在一点M相切，则经过反演后的曲线C1¢, C2¢必在M的反演点M¢相切.
9° 两条曲线的交角在反演下是不变的.由此可见，反演是一个保角变换。
焦点弦长公式:r=ep/(1-ecosθ）,e是离心率,p是焦点到准线的距离,θ是与极轴的夹角,是极坐标中的表达式,根据e与1的大小关系分为椭圆,抛物线,双曲线.可以用第二定义证.双曲线焦半径公式:设双曲线为：(x/a)² -(y/b)²=1 焦点为f(c,0) ,准线为：x= ±a²/c 设a(x ,y)是双曲线右支上的任一点 则a到准线的距离为：|x±a²/c|=x±a²/c 由双曲线的第二定义得：fa/|c±a²/c| = e 所以 fa = e*(x ±a²/c)= (c/a) *(x ±a²/c) = ex ± a 椭圆焦半径：f1为左焦点,f2为右焦点.（这个可以从增减性看出来,所以符号不用背啦）|pf1|=a+ex0.|pf2|＝a-ex0． 即当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的左、右焦半径分别是 |pf1|=a+ey0,|pf2|=a－ey0
双曲线各量计算公式
双曲线各量
计 算 公 式
[曲率半径]R
式中r1, r2为焦点半径，p为焦点参数，a为点M(x, y)的焦点半径与切线的夹角，特别，顶点A, B的曲率半径
[弧长]=
式中e为离心率
[面积] S
弓形(AMN)的面积：
OAMI的面积：
这里OI, OJ为渐近线，MI // OJ
一、圆
[圆的方程、圆心与半径]
方程x²+ y²= R²
圆心与半径
圆心 G(0,0)
半径 r = R
(x -a)²+(y - b)²= R²
圆心 G(a, b)
半径 r = R
x²+y²+2mx + 2ny + q = 0
m²+ n²> q
圆心 G(-m,-n)
半径
r2-2rr0cos(j-j0)+r02 = R2 (极坐标方程)
圆心 G(r0,j0)
半径 r = R
x2 + y2 = 2Rx
或r= 2Rcosj
(极坐标方程)
圆心 G(R, 0)
半径 r = R
[圆的切线]
圆 x²+ y²= R²上一点M(x0, y0)的切线方程为
x0x + y0y = R²
圆 x2 + y2 + 2mx + 2ny + q = 0 上一点M(x0, y0)的切线方程为
x0x + y0y + m(x + x0) + n(y + y0) + q = 0
[两个圆的交角、圆束与根轴]
方程与图形
公式与说明
两个圆的交角
C1 x²+y²+2m1x +2n1y +q1 = 0
C2 x²+y²+2m2x +2n2y +q2 = 0
两个圆的交角是指它们在交点的两条切线的夹角
式中q表示两个圆C1和C2的交角，因为公式中不包含交点的坐标，所以在两交点的两交角必相等.
两个圆C1和C2正交条件为
2m1m2 + 2n1n2 - q1 - q2 = 0
圆束× 两个圆的根轴
C1+ lC2 = 0 (l为参数)
或 (l+1)(x2+y2) +2(m1+lm2)x
+(n1+ln2)y + (q1 +lq2) = 0
根轴方程为2(m1 - m2)x + 2(n1 - n2)y + (q1 - q2) = 0
对l(l¹-1)的一个确定值，表示一个圆.当l取一切值(l¹-1)时，所表示的圆的全体，称为圆束.l = -1时，为一直线，称为两个圆C1和C2的根轴.根轴与C1和C2的连心线垂直，束中任一圆的圆心在C1和C2的连心线上，且分连心线的比等于l.
(a)如果C1和C2相交于两点M1，M2，则束中一切圆都通过两交点M1，M2，它们的根轴就是它们的公共弦.这时圆束称为共轴圆系(图(a)).
(b)如果C1和C2切于一点M，则束中一切圆都在一点M相切，根轴就是在点M的公切线(图(b)).
(c)如果C1和C2不相交，则束中一切圆都不相交，根轴也与圆束中一切圆都不相交(图(c)).
从点P作两个圆C1和C2的切线，具有相等切线长的点P的轨迹就是根轴.两个同心圆的根轴是从公共圆心到无穷远处的直线.三个圆中每对圆的根轴(共三个)交于一点，它称为根心.若三个圆心共线，则其根心在无穷远处.
[反演] 设C为一定圆，O为圆心，r为半径(图7.1)，对平面上任一点M，有一点M¢与它对应.使得满足下列两个条件：
（i）O, M, M¢共线，
（ii）OM× OM¢= r2，
这种点M¢称为点M关于定圆C的反演点，C称为反演圆，O称为反演中心，r称为反演半径.
由于M和M¢的关系是对称的，所以M也是M¢的反演点.因r2 > 0，所以M和M¢都在O的同侧.M和M¢之间的对应称为关于定圆C的反演.
取O为原点，则一切反演点M(x, y)和M¢(x¢,y¢)的对应方程为
反演具有性质：
1° 不通过反演中心的一条直线变为通过反演中心的一个圆.
2° 通过反演中心的圆变为不通过反演中心的直线.
3° 通过反演中心的一条直线变为它自己.
4° 不通过反演中心的圆变为不通过反演中心的圆.
5° 反演圆变为它自己.
6° 与反演圆正交的圆变为它自己，其逆也真.
7° 如果两条曲线C1，C2交于一点M，则经过反演后的曲线C1¢, C2¢必交于M的反演点M¢.
8° 如果两条曲线C1, C2在一点M相切，则经过反演后的曲线C1¢, C2¢必在M的反演点M¢相切.
9° 两条曲线的交角在反演下是不变的.由此可见，反演是一个保角变换。
焦点弦长公式:r=ep/(1-ecosθ）,e是离心率,p是焦点到准线的距离,θ是与极轴的夹角,是极坐标中的表达式,根据e与1的大小关系分为椭圆,抛物线,双曲线.可以用第二定义证.双曲线焦半径公式:设双曲线为：(x/a)² -(y/b)²=1 焦点为f(c,0) ,准线为：x= ±a²/c 设a(x ,y)是双曲线右支上的任一点 则a到准线的距离为：|x±a²/c|=x±a²/c 由双曲线的第二定义得：fa/|c±a²/c| = e 所以 fa = e*(x ±a²/c)= (c/a) *(x ±a²/c) = ex ± a 椭圆焦半径：f1为左焦点,f2为右焦点.（这个可以从增减性看出来,所以符号不用背啦）|pf1|=a+ex0.|pf2|＝a-ex0． 即当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的左、右焦半径分别是 |pf1|=a+ey0,|pf2|=a－ey0
双曲线各量计算公式
双曲线各量
计 算 公 式
[曲率半径]R
式中r1, r2为焦点半径，p为焦点参数，a为点M(x, y)的焦点半径与切线的夹角，特别，顶点A, B的曲率半径
[弧长]=
式中e为离心率
[面积] S
弓形(AMN)的面积：
OAMI的面积：
这里OI, OJ为渐近线，MI // OJ
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