洛必达定理条件
\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\uff0c\u5b9a\u7406\u5185\u5bb9\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219(L'Hôpital's rule\uff09\u662f\u5728\u4e00\u5b9a\u6761\u4ef6\u4e0b\u901a\u8fc7\u5206\u5b50\u5206\u6bcd\u5206\u522b\u6c42\u5bfc\u518d\u6c42\u6781\u9650\u6765\u786e\u5b9a\u672a\u5b9a\u5f0f\u503c\u7684\u65b9\u6cd5\u3002lim f\uff08x\uff09\u7684\u610f\u601d\u5c31\u662f\uff0cx\u8d8b\u8fd1\u4e8e\u67d0\u4e2a\u6570\uff08\u4f8b\u5982\u8d8b\u8fd1\u4e8ea\uff0c\u8d8b\u8fd1\u4e8e\u65e0\u7a77\uff09\u65f6\u5019\uff0cf\uff08x\uff09\u7684\u503c
a\u53bb\u5fc3\u9886\u57df\u5c31\u662f\u4e00\u4e2a\u533a\u95f4\uff0c\uff08a-b\uff0ca+b\uff09\uff0cb\u4e3a\u4efb\u610f\u6570\uff0c\u7136\u540e\u8fd9\u4e2a\u533a\u95f4\u4e0d\u5305\u62ec\u70b9a
\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\u7b80\u5355\u70b9\u5c31\u662f\u8bf4\uff0c\u96f6\u6bd4\u96f6\u578b\u7684\uff0c\u6216\u8005\u65e0\u7a77\u6bd4\u65e0\u7a77\u578b\u7684\uff0c\u53ef\u4ee5\u4e0a\u4e0b\u6c42\u5bfc\uff0c\u7136\u540e\u628ax\u8d8b\u8fd1\u4e8e\u7684\u90a3\u4e2a\u6570\u4ee3\u8fdb\u53bb\u7b97\uff0c\u5f53\u7136\u53ef\u4ee5\u518d\u6c42\u5bfc\uff0c\u518d\u6c42\u5bfc\u3002\u3002\u3002
\u89e3\uff1a
\u6839\u636e\u591a\u9879\u5f0f\u6c42\u6781\u9650\u539f\u7406\uff1a\u5206\u5b50\u5206\u6bcd\u90fd\u4e3a\u540c\u5143\u591a\u9879\u5f0f\uff0c\u90a3\u4e48\u6781\u9650\u53ea\u4e0e\u6700\u9ad8\u9879\u7cfb\u6570\u76f8\u5173
\u56e0\u6b64\uff0c\u53e3\u7b97\u5c31\u80fd\u77e5\u9053\uff1a
\u539f\u6781\u9650= 4
\u8fd8\u7f57\u4ec0\u4e48\u6bd4\u4ec0\u4e48\u8fbe\u4ec0\u4e48\u5b9a\u7406\u554a
个人感觉这种情况相对常见, 不过保险起见还是参考上下文.
对前一个例子, 为使比值f'(x)/F'(x)在a的某个去心邻域上处处有定义(这是极限存在的前提),
就要求F'(x)在a的某个去心邻域上恒不等于0.
对后一个例子, ψ'(t)恒不等于0在ψ(t)单调的前提下保证了ψ(t)反函数存在且处处可导.
这应该会在证明中用到.
"不恒等于0"作为条件是相当弱的, 不止可以有有限个点得0, 还可以在部分区间上恒为0.
例如函数sin(1/x)+|sin(1/x)|就在0的任意去心邻域内不恒等于0,
但同时又在其中的某些区间上恒为0.
所以如果不清楚如何理解, 可以用在某区间上得0的例子尝试一下.
对于后一个例子ψ(t)就会出现局部常值, 不可逆从而使等式失去意义.
一般来说, 要用f(x) ≠ 0来表示不恒等于0需要一个背景.
首先是要把函数整体作为研究对象, 而不是只关心函数值.
其次这里0表示的是恒为0的常数函数, 而不只是一个数.
此时这里的(不)等式表示的是函数的(不)相等.
有的地方会写f ≠ 0来表达这个意思, 可以更明显的理解为作为映射的不等.
没有这样的背景的话还是写f(x)不恒为0比较常见.
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