1的平方加2的平方加上3的平方一直加到N的平方等于多少 1的平方加2的平方加上3的平方一直加到N的平方等于多少
1\u7684\u5e73\u65b9\u52a02\u7684\u5e73\u65b9\u52a03\u7684\u5e73\u65b9\u4e00\u76f4\u52a0\u5230N\u7684\u5e73\u65b9\u7b49\u4e8e\u591a\u5c11\u554a10
\u6c42\u8bc1\u7684\u65b9\u6cd5\u6709\u5f88\u591a\uff0c\u6211\u4ee5\u524d\u662f\u901a\u8fc7\u7ec4\u5408\u6570\u7684\u89c4\u5f8b\u6765\u601d\u8003\u7684\uff082n+1\uff09\uff08n+1\uff09n/6
\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u901a\u8fc7\u7ec4\u5408\u6570\u7684\u4e00\u5171\u516c\u5f0f\u6765\u8003\u8651\uff1a\uff08n,k\uff09+(n,k+1)=(n+1,k+1),\u8fd9\u91cc\u7528\u5230\u7684\u662fk=2\u7684\u60c5\u51b5\uff0c\u5373\uff08n,2\uff09+(n,3)=(n+1,3)\u7b97\u4e00\u4e0b\u5c31\u77e5\u9053\u8fd9\u516c\u5f0f\u662f\u5426\u6b63\u786e\u4e86\u3002
\u4e0b\u9762\u53ef\u4ee5\u8ba1\u7b97\u4e86\u3002n^2=2(n+1,2)-n,\u6240\u4ee51^2+2^2+3^2+\u2026+n^2\u6c42\u548c\u53ef\u4ee5\u5206\u4e3a\u4e24\u90e8\u5206\uff0c
\u7b80\u5355\u7684"n"\u6c42\u548c\u5c31\u662f1+2+\u2026\u2026+n=(n+1)n/2
"2(n+1,2)"\u6c42\u548c\u7684\u8bdd\uff0c\u6211\u4eec\u5148\u601d\u8003\u201c\uff08n+1\uff0c2\uff09\u201d\u7684\u6c42\u548c\uff0c\u5373\u4e3a\uff082\uff0c2\uff09+\uff083\uff0c2\uff09+\uff084\uff0c2\uff09+\u2026\u2026+\uff08n+1,2\uff09,\u8fd9\u65f6\u5229\u7528\u516c\u5f0f\uff08n,2\uff09+(n,3)=(n+1,3)\uff0c\u4ee4n=3,\u6709\uff083,2\uff09+(3,3)=(4,3),\u56e0\u4e3a\uff082,2\uff09=(3,3),\u6240\u4ee5\uff0c\uff082\uff0c2\uff09+\uff083\uff0c2\uff09=\uff083\uff0c3\uff09+\uff083\uff0c2\uff09=\uff084\uff0c3\uff09\uff0c\u7ee7\u7eed\u52a0\uff0c\uff084\uff0c3\uff09+\uff084\uff0c2\uff09=\uff085\uff0c3\uff09\uff0c\uff085\uff0c3\uff09+\uff085\uff0c2\uff09=\uff086\uff0c3\uff09\u2026\u2026\u53ef\u4ee5\u4e00\u76f4\u52a0\u4e0b\u53bb\uff0c\u6700\u540e\u5f97\u5230\uff08n+2,3\uff09,\u6240\u4ee5\u201c\uff08n+1\uff0c2\uff09\u201d\u7684\u6c42\u548c\u7b54\u6848\u5c31\u662f\uff08n+2,3\uff09=(n+2)(n+1)n/6,\u4e58\u4ee5\u524d\u9762\u76842\uff0c\u5c31\u662f(n+2)(n+1)n/3\uff0c\u518d\u51cf\u53bb(n+1)n/2\uff0c\u5c31\u7b49\u4e8e\uff082n+1\uff09\uff08n+1\uff09n/6
我们可以通过组合数的一共公式来考虑：（n,k）+(n,k+1)=(n+1,k+1),这里用到的是k=2的情况，即（n,2）+(n,3)=(n+1,3)算一下就知道这公式是否正确了。
下面可以计算了。n^2=2(n+1,2)-n,所以1^2+2^2+3^2+…+n^2求和可以分为两部分，
简单的"n"求和就是1+2+……+n=(n+1)n/2
"2(n+1,2)"求和的话，我们先思考“（n+1，2）”的求和，即为（2，2）+（3，2）+（4，2）+……+（n+1,2）,这时利用公式（n,2）+(n,3)=(n+1,3)，令n=3,有（3,2）+(3,3)=(4,3),因为（2,2）=(3,3),所以，（2，2）+（3，2）=（3，3）+（3，2）=（4，3），继续加，（4，3）+（4，2）=（5，3），（5，3）+（5，2）=（6，3）……可以一直加下去，最后得到（n+2,3）,所以“（n+1，2）”的求和答案就是（n+2,3）=(n+2)(n+1)n/6,乘以前面的2，就是(n+2)(n+1)n/3，再减去(n+1)n/2，就等于（2n+1）（n+1）n/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
另外一个很好玩的做法
想像一个有圆圈构成的正三角形，
第一行1个圈，圈内的数字为1
第二行2个圈，圈内的数字都为2，
以此类推
第n行n个圈，圈内的数字都为n，
我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r
下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形
再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形
然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，
我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和
1+2+……+n=n(n+1)/2
于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6
[n(n+1)(2n+1)]/6
绛旓細涓鐨勫钩鏂瑰姞浜岀殑骞虫柟鍔犱笁鐨勫钩鏂路路路涓鐩村姞鍒皀鐨勫钩鏂 =n(n+1)(2n+1)/6
绛旓細1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
绛旓細1²+2²+3²+4²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6 鍙敤鏁板褰掔撼娉曡瘉鏄庛
绛旓細n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+...
绛旓細鑷劧鏁骞虫柟鍜屽叕寮:1²+2²+3²+鈥︹+n²=n(n+1)(2n+1)/6 鍘熷紡=100*(100+1)(200+1)/6=338350
绛旓細瑕佸垪鍑1鐨勫钩鏂瑰姞2鐨勫钩鏂瑰姞3鐨勫钩鏂涓鐩村姞鍒10鐨勫钩鏂圭殑椤癸紝鎴戜滑鍙互浣跨敤鏁板绗﹀彿鏉ヨ〃绀恒傝繖涓簭鍒楀彲浠ヨ〃绀轰负锛1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7² + 8² + 9² + 10²绠鍖栦竴涓嬶紝鎴戜滑鍙互鍐欐垚锛氣垜(n²), n浠1鍒10...
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