韩信点兵法的算法是什么意思？要详细！ “韩信点兵法”的算法是什么意思？

\u97e9\u4fe1\u70b9\u5175\u6cd5\u7684\u7b97\u6cd5\u662f\u4ec0\u4e48\u610f\u601d\uff1f\u8981\u8be6\u7ec6\uff01

\u56fa\u5b9a\u7684\u89e3\u6cd5\u662f\u8fd9\u6837\u7684\uff1a
\u3010\u89e3\u3011
\u5148\u968f\u4fbf\u6c42\u4e00\u4e2a\u80fd\u88ab7\u548c8\u6574\u9664\u4e14\u9664\u4ee59\u4f593\u7684\u6570\u3002\u6709\u56fa\u5b9a\u7684\u65b9\u6cd5\uff1a
56m-9n=3\uff08\u8ba1\u7b97\u524d\u8981\u5148\u628a\u5f0f\u5b50\u4e24\u8fb9\u7ea6\u4e00\u4e0b\uff0c\u8fd9\u65f6\u5019\u6ca1\u6709\u516c\u56e0\u5b50\uff0c\u4e0d\u7528\u7ea6\uff09
\u4e24\u4e2a\u7cfb\u657056\u548c9\uff0c56\u5927\uff0c\u5c31\u8ba956\u9664\u4ee59\uff0c\u55466\u4f592\uff0c\u4e8e\u662f\u53ef\u4ee5\u5316\u7b80\u4e3a(6*9+2)m-9n=3\uff0c2m-9(n-6m)=3\uff0c\u4ee4k=n-6m\uff0c\u6709
2m-9k=3
\u4e24\u4e2a\u7cfb\u65702\u548c9\uff0c9\u5927\uff0c9\u9664\u4ee52\u55464\u4f591\uff0c\u4e8e\u662f
\u53c8\u53ef\u4ee5\u540c\u6837\u5316\u7b802m-(4*2+1)k=3\uff0c2(m-4k)-k=3\uff0c\u4ee4i=m-4k\uff0c\u6709
2i-k=3
\u8fd9\u65f6\u5019\uff0c\u6709\u4e00\u4e2a\u7cfb\u6570\u662f1\uff0c\u9047\u5230\u7cfb\u6570\u662f1\u7684\u65f6\u5019\uff0c\u8981\u7559\u4e00\u4e2a1\uff0c\u53732=1*1+1\uff0c\u800c\u4e0d\u662f2=2*1+0\u3002\u540c\u6837\u4ee4j=k-i\uff0c\u6709
i-j=3
\u8fd9\u65f6\u5019\uff0c\u4e24\u8fb9\u7cfb\u6570\u90fd\u662f1\uff0c\u5c31\u4e0d\u80fd\u5316\u7b80\u4e86\uff0c\u4ee4j=0\uff0c\u6709i=3
\u4ee3\u56de\u53bb\uff0c\u7b97\u51fak=j+i=3\uff0cm=i+4k=15\u4ee4a=56m=280*3\uff0c\u52197|a,8|a,\u4e14a\u9664\u4ee59\u4f593\u3002
\u6309\u7167\u540c\u6837\u7684\u65b9\u6cd5\uff0c\u627e\u5230\uff1a
b=441*4\uff0c7|b,9|b,\u4e14b\u9664\u4ee58\u4f594
c=288*2\uff0c8|c,9|c,\u4e14c\u9664\u4ee57\u4f592
\u7136\u540e\u628a\u4e09\u4e2a\u6570\u52a0\u8d77\u6765
a+b+c=3180\uff0c\u663e\u7136\u8fd9

\u5bd3\u610f\u8d8a\u591a\u8d8a\u597d\u3002
\u5b83\u7684\u7b97\u6cd5,\u5728\u300a\u5b59\u5b50\u7b97\u7ecf\u300b\u4e0a\u5c31\u5df2\u7ecf\u6709\u4e86\u8bf4\u660e,\u800c\u4e14\u540e\u6765\u8fd8\u6d41\u4f20\u7740\u8fd9\u4e48\u4e00\u9053\u6b4c\u8bc0\uff1a
\u4e09\u4eba\u540c\u884c\u4e03\u5341\u7a00,
\u4e94\u6811\u6885\u82b1\u5eff\u4e00\u679d,
\u4e03\u5b50\u56e2\u5706\u6b63\u534a\u6708,
\u9664\u767e\u96f6\u4e94\u4fbf\u5f97\u77e5.
\u8fd9\u5c31\u662f\u97e9\u4fe1\u70b9\u5175\u7684\u8ba1\u7b97\u65b9\u6cd5,\u5b83\u7684\u610f\u601d\u662f\uff1a\u51e1\u662f\u75283\u4e2a\u4e00\u6570\u5269\u4e0b\u7684\u4f59\u6570,\u5c06\u5b83\u752870\u53bb\u4e58\uff08\u56e0\u4e3a70\u662f5\u4e0e7\u7684\u500d\u6570,\u800c\u53c8\u662f\u4ee53\u53bb\u9664\u4f591\u7684\u6570\uff09\uff1b5\u4e2a\u4e00\u6570\u5269\u4e0b\u7684\u4f59\u6570,\u5c06\u5b83\u752821\u53bb\u4e58\uff08\u56e0\u4e3a21\u662f3\u4e0e7\u7684\u500d\u6570,\u53c8\u662f\u4ee55\u53bb\u9664\u4f591\u7684\u6570\uff09\uff1b7\u4e2a\u4e00\u6570\u5269\u4e0b\u7684\u4f59\u6570,\u5c06\u5b83
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1\u00d770\uff0b2\u00d721\uff0b2\u00d715\uff0d105
\uff1d142\uff0d105
\uff1d37
\u56e0\u6b64,\u4f60\u53ef\u4ee5\u77e5\u9053,\u539f\u6765\u8fd9\u4e00\u5806\u8695\u8c46\u670937\u7c92.

汉高祖刘邦曾问大将韩信：“你看我能带多少兵？”韩信斜了刘邦一眼说：“你顶多能带十万兵吧！”汉高祖心中有三分不悦，心想：你竟敢小看我！“那你呢？”韩信傲气十足地说：“我呀，当然是多多益善啰！”刘邦心中又添了三分不高兴，勉强说：“将军如此大才，我很佩服。现在，我有一个小小的问题向将军请教，凭将军的大才，答起来一定不费吹灰之力的。”韩信满不在乎地说：“可以可以。”刘邦狡黠地一笑，传令叫来一小队士兵隔墙站队，刘邦发令：“每三人站成一排。”队站好后，小队长进来报告：“最后一排只有二人。”“刘邦又传令：“每五人站成一排。”小队长报告：“最后一排只有三人。”刘邦再传令：“每七人站成一排。”小队长报告：“最后一排只有二人。”刘邦转脸问韩信：“敢问将军，这队士兵有多少人？”韩信脱口而出：“二十三人。”刘邦大惊，心中的不快已增至十分，心想：“此人本事太大，我得想法找个岔子把他杀掉，免生后患。”一面则佯装笑脸夸了几句，并问：“你是怎样算的？”韩信说：“臣幼得黄石公传授《孙子算经》，这孙子乃鬼谷子的弟子，算经中载有此题之算法，口诀是：

三人同行七十稀，

五树梅花开一枝，

七子团圆正月半，

除百零五便得知。”

刘邦出的这道题，可用现代语言这样表述：

“一个正整数，被3除时余2，被5除时余3，被7除时余2，如果这数不超过100，求这个数。”

《孙子算经》中给出这类问题的解法：“三三数之剩二，则置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十；并之得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五，一百六以上，以一百五减之，即得。”用现代语言说明这个解法就是：

首先找出能被5与7整除而被3除余1的数70，被3与7整除而被5除余1的数21，被3与5整除而被7除余1的数15。

所求数被3除余2，则取数70×2＝140，140是被5与7整除而被3除余2的数。

所求数被5除余3，则取数21×3＝63，63是被3与7整除而被5除余3的数。

所求数被7除余2，则取数15×2=30，30是被3与5整除而被7除余2的数。

又，140＋63＋30=233，由于63与30都能被3整除，故233与140这两数被3除的余数相同，都是余2，同理233与63这两数被5除的余数相同，都是3，233与30被7除的余数相同，都是2。所以233是满足题目要求的一个数。

而3、5、7的最小公倍数是105，故233加减105的整数倍后被3、5、7除的余数不会变，从而所得的数都能满足题目的要求。由于所求仅是一小队士兵的人数，这意味着人数不超过100，所以用233减去105的2倍得23即是所求。

这个算法在我国有许多名称，如“韩信点兵”，“鬼谷算”，“隔墙算”，“剪管术”，“神奇妙算”等等，题目与解法都载于我国古代重要的数学著作《孙子算经》中。一般认为这是三国或晋时的著作，比刘邦生活的年代要晚近五百年，算法口诀诗则载于明朝程大位的《算法统宗》，诗中数字隐含的口诀前面已经解释了。宋朝的数学家秦九韶把这个问题推广，并把解法称之为“大衍求一术”，这个解法传到西方后，被称为“孙子定理”或“中国剩余定理”。而韩信，则终于被刘邦的妻子吕后诛杀于未央宫。

请你试一试，用刚才的方法解下面这题：

一个数在200与400之间，它被3除余2，被7除余3，被8除余5，求该数。

（解：112×2＋120×3＋105×5＋168k，取k＝-5得该数为269。）

什么叫做“韩信点兵”？

韩信点兵是一个有趣的猜数游戏。如果你随便拿一把蚕豆（数目约在100粒左右），先3粒3粒地数，直到不满3粒时，把余数记下来；第二次再5粒5粒地数，最后把余数记下来；第三次是7粒一数，把余数记下来。然后根据每次的余数，就可以知道你原来拿了多少粒蚕豆了。不信的话，你还可以实地试验一下。例如，假如3粒一数余1粒，5粒一数余2粒，7粒一数余2粒，那么，原有蚕豆有多少粒呢？

这类题目看起来是很难计算的，可是我国有时候却流传着一种算法，综的名称也很多，宋朝周密叫它“鬼谷算”，又名“隔墙算”；杨辉叫它“剪管术”；而比较通行的名称是“韩信点兵”。最初记述这类算法的是一本名叫《孙子算经》的书，后来在宋朝经过数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做“大衍求一术”。这在数学史上是极有名的问题，外国人一般把它称为“中国剩余定理”。至于它的算法，在《孙子算经》上就已经有了说明，而且后来还流传着这么一道歌诀：
三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝，
七子团圆正半月，
除百零五便得知。

这就是韩信点兵的计算方法，它的意思是：凡是用3个一数剩下的余数，将它用70去乘（因为70是5与7的倍数，而又是以3去除余1的数）；5个一数剩下的余数，将它用21去乘（因为21是3与7的倍数，又是以5去除余1的数）；7个一数剩下的余数，将它用15去乘（因为15是3与5的倍数，又是以7去除余1的数），将这些数加起来，若超过105，就减掉105，如果剩下来的数目还是比105大，就再减去105，直到得数比105小为止。这样，所得的数就是原来的数了。根据这个道理，你可以很容易地把前面的五个题目列成算式：
1×70＋2×21＋2×15－105
＝142－105
＝37
因此，你可以知道，原来这一堆蚕豆有37粒。

1900年，德国大数学家大卫·希尔伯特归纳了当时世界上尚未解决的最困难的23个难题。后来，其中的第十问题在70年代被解决了，这是近代数学的五个重大成就。据证明人说，在解决问题的过程中，他是受到了“中国剩余定理”的启发的。

背景：韩信带1500名兵士打仗，战死四五百人，站3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人。韩信马上说出人数：1049。
韩信已经知道死了四五百了，具体多少不知道/
古代时候有个《孙子算经》有几句乘法口诀：三人同行七十稀， 五树梅花廿一枝， 七子团圆正半月， 除百零五便得知。 意思是 3人一数剩下余数*70。5人一数剩下余数*21。七人一数剩下余数*15。然后+105.加到你感觉对啦就知道了。因为已知死了四五百了。
所以算法是这样的：2*70+4*21+6*15=314人

314+105+105+105+105+105+105+105=1049人。因为已知死了四五百人嘛。

寓意越多越好。

固定的解法是这样的： 【解】 先随便求一个能被7和8整除且除以9余3的数。有固定的方法： 56m-9n=3（计算前要先把式子两边约一下，这时候没有公因子，不用约） 两个系数56和9，56大，就让56除以9，商6余2，于是可以化简为(6*9+2)m-9n=3，2m-9(n-6m)=3，令k=n-6m，有 2m-9k=3 两个系数2和9，9大，9除以2商4余1，于是 又可以同样化简2m-(4*2+1)k=3，2(m-4k)-k=3，令i=m-4k，有 2i-k=3 这时候，有一个系数是1，遇到系数是1的时候，要留一个1，即2=1*1+1，而不是2=2*1+0。同样令j=k-i，有 i-j=3 这时候，两边系数都是1，就不能化简了，令j=0，有i=3 代回去，算出k=j+i=3，m=i+4k=15令a=56m=280*3，则7|a,8|a,且a除以9余3。 按照同样的方法，找到： b=441*4，7|b,9|b,且b除以8余4 c=288*2，8|c,9|c,且c除以7余2 然后把三个数加起来 a+b+c=3180，显然这

定理1 如a被n除所得的余数等b被n除所得的余数，c被n除所得的余数等于d被n除所得的余数， 则ac被n除所得的余数等于b d被n除所得的余数。
用同余式叙述就是：
如a≡b（mod n ），c≡d（mod n ）
则ac≡b d（mod n ）

定理2 被除数a加上或减去除数b的倍数，再除以b，余数r不变。即
如a ≡ r（mod b ），则a ± b n≡r（mod b ）
例如70≡1（mod 3 ）可得70±10×3≡1（mod 3 ）

【韩信点兵法口诀的原理】
①能被5,7除尽数是35k,其中k=2，即70除3正好余1，70a 除3正好余a。
②能被3,7除尽数是21k,其中k=1，即21除5正好余1，21b 除5正好余b。
③能被3,5除尽数是15k,其中k=1，即15除7正好余1，15c 除7正好余c。

这样——
根据①可知 70a+21b+15c 除3正好余a。
根据②可知 70a+21b+15c 除5正好余b。
根据③可知 70a+21b+15c 除7正好余c。

（70a+21b+15c）%（3*5*7）为最小值，然后再判断最小值是否满足条件。

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