简单微积分题目 一个简单的微积分题目
\u7b80\u5355\u7684\u5fae\u79ef\u5206\u9898\u76eev(t)\u662f\u7a7a\u6c14\u6d41\u901f\u5173\u4e8e\u65f6\u95f4\u7684\u51fd\u6570\uff0c\u7b80\u5199\u4e3av\u3002
dv/dt=g-kv \u4e2d\uff0c\u7b49\u53f7\u5de6\u53f3\u4e24\u7aef\u7684v\u662f\u540c\u4e00\u4e2a\u53d8\u91cf\uff0c\u90fd\u8868\u793a\u4fee\u6b63\u4e86\u7a7a\u6c14\u7c98\u6ede\u963b\u529b\u60c5\u51b5\u4e0b\u7684\u901f\u5ea6\u51fd\u6570\u3002
\u56e0\u6b64v(t)\u7b97\u9519\u4e86\uff0c\u8be6\u89e3\uff1a
dv/dt = g-kv
dv/(g-kv)=dt
\u222bdv/(g-kv)=\u222bdt
-1/k*ln(g-kv)=t+C
\u4ee3\u5165t=0,v=0\u5f97 C=-1/k*ln(g)
g-kv=g*exp(-kt)
v=g/k-g/k*exp(-kt)
\u540c\u7406s(t)\u662f\u8def\u7a0b\u5173\u4e8e\u65f6\u95f4\u7684\u51fd\u6570\uff0c\u7b80\u5199\u4e3as\u3002
\u5176\u4ed6\u90e8\u5206\u81ea\u5df1\u6539\u8fc7\u6765\u5427\uff0c\u4e0d\u61c2\u518d\u8ffd\u95ee
\u5e94\u8be5\u662f\u8fd9\u6837
\u770b\u4e00\u4e0b
物体受到合外力F(t)=mg-f(t)=mg-kv(t)，方向竖直向下。
物体运动加速度a(t)=F(t)/m=g-kv(t)/m，方向竖直向下。
v(t)=∫a(t)dt=∫[g-kv(t)/m]dt
方程两边对t求导，v'=g-kv/m ...(*)
用常数变异法求解此常微分方程：
v'=-kv/m，解得v=C*exp(-kt/m)
设v(t)=C(t)*exp(-kt/m)，则v'(t)=C'(t)*exp(-kt/m)-(k/m)C(t)*exp(-kt/m)
将v(t)与v'(t)代入(*)式，得C'(t)=g*exp(kt/m)
积分解得C(t)=C-(mg/k)*exp(-kt/m)
所以v(t)=[C-(mg/k)*exp(-kt/m)]*exp(-kt/m)
又v(0)=0，得C=mg/k
故v(t)=(mg/k)[exp(kt/m)-1]/exp(2kt/m)。
绛旓細杩欓噷灏辨槸瀹绉垎鐨勫畾涔夊紡瀛 f(x)鍦╗a,b]涓婂拰x杞村舰鎴愮殑鍥惧舰闈㈢Н杩戜技鏄 鈭慬f(x)螖x]褰撐攛->0鐨勬椂锛屽嵆瀹氱Н鍒=lim螖x->0鈭慬f(x)螖x]鐜板湪鏄尯闂碵1锛5]閭ｄ箞绉垎涓婁笅闄恇=5锛宎=1 绉垎鍑芥暟灏辨槸f(x)e^x /x
绛旓細lim(x->0) [鈭(1+tanx)- 鈭(1+sinx)] / x^3 =lim(x->0) [(1+tanx)- (1+sinx)] / { x^3. [鈭(1+tanx)+ 鈭(1+sinx)] } =(1/2)lim(x->0) (tanx-sinx) / x^3 =(1/2)lim(x->0) tanx.(1-cosx) / x^3 =(1/2)lim(x->0) x.[(1/2)x^2]...
绛旓細鍥.棰樼洰鏈夐棶棰橈紝鍚硦涓嶆竻锛岃帿鍚嶅叾濡欏湴璺冲嚭鍑犱釜鍙傛暟锛屼綘鏈鎶婇鐩紕娓呮鍐嶆潵闂備互涓婃湁濂藉棰橀兘鏄湁闂鐨勶紝鐗瑰埆鏄绉垎鍩燂紝渚嬪鈶糕埆21[1+sin(x)]锛廩1-sin(x)]dx銆備竴鑸儏鍐典笅澹笉浼氳繖鏍峰嚭棰樼殑锛屾垜寰堟鐤戝嚭棰樿呯殑姘村钩銆傛敞锛歝os^2x琛ㄧずcos锛坸锛夌殑骞虫柟锛宻in^2x琛ㄧずsin锛坸锛夌殑骞虫柟锛 e^(2t)琛ㄧず...
绛旓細瀵绉垎鍋氬垎閮ㄧН鍒嗘湁 F(x)=(x^2--t^2)f(t)|涓婇檺x涓嬮檺0--绉垎锛堜粠0鍒皒锛塮(t)(--2t)dt =--x^2f(0)+2绉垎锛堜粠0鍒皒锛塼f(t)dt锛屽洜姝'(x)=2xf(x)--2xf(0)锛岀敱鏉′欢寰 1=lim 銆2xf(x)--2xf(0)銆/x^2=2lim 銆恌(x)--f(0)銆/x 锛岀敱瀵兼暟瀹氫箟鐭ラ亾f'(0)=1/2銆
绛旓細缁欎釜濂借瘎
绛旓細x+1)²=[(x+1)²-4x]/[x(x+1)²=(x-1)²/(x+1)²>0 鏁協(x)鍦▁>1鏃舵槸鍗曡皟澧炲姞鐨勫嚱鏁帮紝鑰宖(1)=0锛屾晠褰搙>1鏃跺繀鏈塮(x)=lnx-2(x-1)/(x+1)>0锛涘嵆鍘熷懡 棰樻垚绔嬨傘愪负浠涔堜笉鑳界敤[(x+1)/2(x-1)]lnx>1绠?涓嶆槸涓嶈兘鐢紝鑰屾槸涓嶅ソ鐢紒銆...
绛旓細ln|u|+C =(1/2)ln|1+x²|+C 5.鈭玿/鈭(4-x²) dx,浠=4-x²,du=-2xdx,鈭磀x=-du/(2x)=-鈭玿/鈭歶*1/(2x)du =-(1/2)鈭玼^(-1/2)du =-(1/2)*2鈭歶+C =-鈭(4-x²)+C 鏃㈢劧绗簩棰樺浣犳墍璇存病閿欑殑璇,閭ｆ垜鍔犺ˉ鍏呬簡,鍙槸鎴戝鏉傚寲鑰屽凡 ...
绛旓細鏁呮湁绉垎鍥犲瓙渭(x)=e^鈭獹(x)dx=e^鈭玔(1/x)-(1/x²)]dx=e^(lnx+1/x)=xe^(1/x)锛涘皢渭(x)涔(1)寮忎袱杈瑰緱[(3xy-y)xe^(1/x)]dx+[x³e^(1/x)]dy=0...(2)姝ゆ椂P=(3xy-y)xe^(1/x)锛決=x³e^(1/x)锛∂P/∂y=(3x-1)xe^(1/x...
绛旓細y=tanx锛屾枩鐜囧嵆y'=sec²x 鍦(蟺/4锛1)澶勶紝y'(蟺/4)=2 鍒囩嚎锛氬嵆杩(蟺/4锛1)鐐逛笖鏂滅巼涓2鐨勭洿绾匡紝鏂圭▼涓猴細(y-1)/(x-蟺/4)=2 娉曠嚎锛氬嵆杩(蟺/4锛1)鐐逛笖鏂滅巼涓1/2鐨勭洿绾匡紝鏂圭▼涓猴細(y-1)/(x-蟺/4)=1/2
绛旓細=(蟺/2){lim(x鈫掆垶)(-x^2+x^2-lnx+lnx)+lim(x鈫0)(-lnx+lnx)+0+(1-0)-(4+ln2)} =(蟺/2)(-3+ln2)3 y'=2x/(1-x^2)鍒欏姬绾跨殑闀垮害= 鈭(绉垎闄愪粠-鈭炲埌0.5) 鈭(1+(y')^2)dx+鈭(绉垎闄愪粠0鍒+鈭)鈭(1+(y')^2)dx 涓嬮潰鐨勬楠ゅ弬鐓х浜岄灏辫兘浣滃嚭鏉ヤ簡....
