为什么tanX-sinX不能直接等价于X-X？ 高数问题：为什么此时tanx不能等价x了？
tan(sinx)\u80fd\u4e0d\u80fd\u76f4\u63a5\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u7b49\u4e8ex\u6709\u95ee\u9898\u5c31\u95ee,\u522b\u6015\u522b\u4eba\u7b11\u8bdd.\u6015\u4eba\u7b11\u8bdd\u800c\u628a\u95ee\u9898\u618b\u5728\u5fc3\u91cc\u624d\u662f\u9519\u7684.\u5bf9\u4f60\u7684\u95ee\u9898\u7684\u8ba8\u8bba\uff1a\u4f60\u95ee\u9898\u7684\u8868\u8fbe\u4e0d\u662f\u5f88\u4e25\u8c28,\u4f8b\u5982\u90a3\u4e9b\u4e0d\u662f\u516c\u5f0f,\u800c\u662f\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u4ee3\u6362,\u518d\u8005,\u4f60\u7684\u8bf4\u6cd5\u6709\u6b67\u4e49\u2014\u2014\u9664\u4e86\u5927\u5bb6\u4e00\u822c\u90fd\u4f1a\u8ba4\u4e3a\u4f60\u662f\u5728\u95ee\u662f\u4e0d\u662f\u53ef\u4ee5\u76f4\u63a5\u7528sinx \u66ff\u6362 tanx,\u8fd8\u6709\u6781\u4e2a\u522b\u8c61\u6211\u8fd9\u79cd\u7231\u6263\u5b57\u773c\u7684\u4eba\u53ef\u80fd\u4f1a\u7406\u89e3\u4e3a\u4f60\u5728\u95eesinx-tanx\uff08\u51cf\u53f7\u4e0d\u662f\u6ce2\u6d6a\u53f7\uff09\u662f\u4e0d\u662f\u53ef\u4ee5\u7528x-tan x\u4e4b\u7c7b\u6765\u4ee3\u6362.\u4e0b\u9762\u7684\u56de\u7b54\u57fa\u4e8e\u7b2c\u4e00\u79cd\u7406\u89e3.\u53ef\u4ee5\u4f7f\u7528,\u800c\u4e14\u5efa\u8bae\u6c42\u6781\u9650\u65f6\u4f18\u5148\u8003\u8651\u6052\u7b49\u53d8\u5f62\u548c\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u4ee3\u6362.\u5176\u5b83\u76f8\u5173\u8ba8\u8bba\uff1a1.\u628a\u5176\u4e2d\u7684x\u6362\u6210f(x),\u53ea\u8981\u7b26\u5408\u6761\u4ef6\uff08\u5373f(x)\u8d8b\u4e8e\u96f6\uff09,\u4e5f\u80fd\u7c7b\u4f3c\u66ff\u4ee3.\u4f8b\u5982\u7528 sin f(x) \u66ff\u4ee3tan f(x)\uff1b 2.\u4e00\u822c\u662f\u4e58\u79ef\u56e0\u5b50\u7684\u7b49\u4ef7\u4ee3\u6362,\u800c\u548c\u5dee\u5f0f\u4e2d\u7684\u52a0\u51cf\u6cd5\u56e0\u5b50\u662f\u4e0d\u80fd\u5355\u72ec\u201c\u62ff\u201d\u51fa\u6765\u66ff\u4ee3\u7684,\u8fd9\u4e00\u70b9\u697c\u4e0a\u6709\u4eba\u8bf4\u8fc7\u4e86\uff1b 3.\u8fd9\u79cd\u7b49\u4ef7\u4ee3\u6362\u662f\u53ef\u4f20\u9012\u7684,\u5373A\u53ef\u4ee3\u6362B,B\u53ef\u4ee3\u6362C,\u5219C\u53ef\u4ee3\u6362A.
\u7406\u89e3\u5b83\u9700\u8981\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u5b9a\u4e49\uff1a
\u5f53\u5b58\u5728 A + o(A) = B \uff0c\u5176\u4e2dA\u3001B\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\uff0co(A) \u4e3a\u6bd4A\u66f4\u9ad8\u9636\u7684\u65e0\u7a77\u5c0f\u65f6\uff0c\u79f0A\u4e0eB\u4e3a\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\uff1b
\u6839\u636e\u5b9a\u4e49
\u5f53x\u8d8b\u8fd1\u4e8e0\u65f6\uff0ctanx + o(tanx) = x , tanx = x - o(tanx)
\u5f53x\u8d8b\u8fd1\u4e8e0\u65f6\uff0csinx + o(sinx) = x , sinx = x - o(sinx)
\u6545 tanx - sinx = x - o(tanx) - x + o(sinx) = o(sinx) - o(tanx)
o(sinx) - o(tanx) \u4e0d\u662f0\uff0c\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4tanx-sinx\u5e76\u4e0d\u7b49\u4e8e0\uff0c\u800c\u662f\u7b49\u4e24\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u76f8\u51cf\uff0c\u8fd9\u4e2a\u5206\u5f0f\u8fd8\u662f\u4e00\u4e2a\u672a\u5b9a\u5f0f\uff0c\u5206\u5b50\u5206\u6bcd\u9700\u8981\u7ee7\u7eed\u6bd4\u9636\uff0c\u8981\u5224\u65ado(sinx) - o(tanx) \u548c\u5206\u6bcd\u7684sin3x\u8c01\u5c0f\u3002
\u8fd9\u5c31\u662f\u4e3a\u4ec0\u4e48\u4e24\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u76f8\u51cf\u7b49\u4e8e0\u65f6\u4e0d\u80fd\u76f4\u63a5\u7b49\u4ef7\u66ff\u6362\u3002\u7b49\u4ef7\u66ff\u6362\u5b9e\u9645\u4e0a\u5e76\u4e0d\u662f\u4e00\u4e2a\u6b63\u5f0f\u7684\u5b9a\u7406\uff0c\u5b83\u53ea\u662f\u6cf0\u52d2\u5c55\u5f00\u7684\u4e00\u4e2a\u7b80\u5316\u7248\uff0c\u5f53\u4f60\u4eec\u5b66\u4e86\u6cf0\u52d2\u5c55\u5f00\uff0c\u4ee5\u540e\u89e3\u51b3\u6781\u9650\u95ee\u9898\u57fa\u672c\u53ef\u4ee5\u4e00\u62db\u9c9c\u5403\u904d\u5929\u4e86\uff0c\u6bd4\u5982\u6839\u636e\u6cf0\u52d2\u5c55\u5f00\u5f0f\uff1a
\u8fd9\u91cc\u5c06sinx\u5c55\u5f00\u4e24\u9636\uff0c\u5176\u4f59\u7684\u7528o()\u4ee3\u66ff\uff08o\u7684\u6b63\u7ecf\u540d\u5b57\u662f\u53eb\u4f69\u4e9a\u8bfa\u4f59\u9879\uff09\uff1asinx = x - 1/6x^3 + o(x^3),
\u4e14\uff1asinx + o(sinx) = x,
\u5219\uff1ao(sinx) = sinx - x = x - 1/6x^3 + o(x^3) -x = -1/6x^3 + o(x^3)
o(tanx)\u6c42\u6cd5\u76f8\u540c\uff0c
\u53ef\u4ee5\u6700\u7ec8\u6c42\u51fa\uff0co(sinx) - o(tanx) \u548cx^3\u662f\u540c\u9636\u7684\u3002
\u8fd8\u6709\u4e0d\u61c2\u7684\uff0c\u6b22\u8fce\u8ffd\u95ee
\u95ee\u9898\u89e3\u51b3\uff0c\u8bf7\u91c7\u7eb3\uff0c\u8c22\u8c22
如图
等价无穷小其实是简略的泰勒展开，加减运算会将低阶部分消掉，导致结果不精确，也就是运算错误。而乘除法不会
0-0是不定式
求极限必须确定函数的单调性，而你说的函数没有单调性，所以不能
形式为0/0的时候不能直接替换
绛旓細鍖栭毦涓烘槗銆傛眰鏋侀檺鏃讹紝浣跨敤绛変环鏃犵┓灏忕殑鏉′欢锛1.琚唬鎹㈢殑閲忥紝鍦ㄥ彇鏋侀檺鐨勬椂鍊欐瀬闄愬间负0锛2.琚唬鎹㈢殑閲忥紝浣滀负琚箻鎴栬呰闄ょ殑鍏冪礌鏃跺彲浠ョ敤绛変环鏃犵┓灏忎唬鎹紝浣嗘槸浣滀负鍔犲噺鐨勫厓绱犳椂灏涓嶅彲浠銆傜瓑浠锋棤绌峰皬鏇挎崲鍏紡锛歺锛峚rcsinx锝(x^3)/6 tanx锛峴inx锝(x^3)/2 e^x锛1锝瀤 tanx锛峹锝(x^3)/3 ...
绛旓細lim(tanx-sinx)/sin³x =lim(sinx/cosx -sinx)/sin³x =lim(1/cosx -1)/sin²x =lim(1-cosx)/[cosx路(1-cos²x)]=lim(1-cosx)/[cosx路(1+cosx)(1-cosx)]=lim1/[cosx(1+cosx)]=1/[1脳(1+1)]=1/2 鏈闈炲父绠鍗曪紝杩炵瓑浠锋棤绌峰皬閮芥病鏈夌敤鍒帮紝閫氳繃...
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绛旓細鍙互鏇存崲涓涓紝涔熷彲浠ユ洿鎹袱涓紝杩欏彇鍐充簬鏂逛究銆備絾鏄 lim (sinx -tanx )/ [鈭(1+x鈭2) -1)鈭(1+sinx) -1 ] 鍙互鐢 x 鏇挎崲 sinx 鍚楋紵涓嶏紝璇锋敞鎰忓畠鏄垎瀛愭垨鍒嗘瘝锛岃屼笉鏄垎瀛愬拰鍒嗘瘝涓殑涓涓垨澶氫釜銆傝繖鏄竴涓畬鍏ㄤ笉鍚岀殑姒傚康銆備緥濡俿inx鍜寈鏄瓑浠风殑锛屼絾鏄(sinx-tanx)=-sinx(1-cosx)=-2...
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