快速傅里叶变换——理论
离散信号傅里叶变换的公式如下所示：
离散傅里叶变换的原理是将原本非周期的信号复制扩展为周期信号，在实际的数字电路处理中，处理的信号是有限长的，取长度为N，即N为信号 的周期，对于有限长周期信号，其离散傅里叶变换有如下性质：
其中 为周期信号的傅里叶级数，而 表示当且仅当 时有 ，因此可以将傅里叶变换转为离散表达，如下所示：
考虑 以N为周期，因此仅需要计算k从0到N-1即可，取 此公式写成矩阵乘法模式如下所示：
W为一个 的方阵，该计算的复杂度为
对于系数矩阵中的元素 ，其公式如下所示：
考虑 ，推导公式如下所示：
再考虑 和 的情况：
再考虑 和 的情况：
最后考虑 且 或 的情况：
根据上述推导，可以得出系数W具有以下四条性质，这三条性质会在后续推导中用到：
基n快速傅里叶变换用于一个长度N为 的序列，例如基2快速傅里叶作用在 的序列上，基4快速傅里叶作用在 的序列上。现在考虑基2FFT的推导（硬件实现一般使用基4或基8FFT实现），首先写出有限长离散序列的傅里叶变换，记一个信号 的FFT变换为 ：
快速傅里叶变换的核心思想为 分而治之 ，即 分治法 ，该思想的核心是将一个长度为N的问题，分级为两个长度为 的问题，应用在这里即是需要将一个序列长度为N的FFT变换问题分解为两个序列长度为 的FFT变换。首先进行如下变换：
矩阵的形式如下所示：
根据W的性质 ，代入后有：
矩阵形式的表达如下所示，现在的矩阵为两个个高度为N，长度为N/2的矩阵。
代入 ，根据W的性质 有：
矩阵表达如下所示：
代入 ，根据W的性质 有：
矩阵表达如下所示：
根据上述推导，一个长度为N点的离散傅里叶变换被变为一个长度为 的离散傅里叶变换，取 公式如下所示：
根据频域抽取基2FFT的算法，除了按前后分类外，还可以直接按奇偶进行分类，公式如下所示：
对应的矩阵表示为：
取序列 ， 代入上述表达式，取 再代入W的变换性质可得：
其对应的矩阵为：
即将对F[k]的上半部分结果分解为两个FFT结果的和，即：
现在考虑F[k]的下半部分，公式如下所示：
取 ，代入有：
代入W的性质 和 ，有：
将变量i更换为k，其矩阵形式为：
最终可以将结果汇总为：
蝶形运算的公式如下，蝶形运算输入为 和 ，输出为 和 ，系数为 ：
其转换为矩阵表达为：
蝶形公式对应着2点FFT的计算，2点FFT的计算如下所示：
转换为矩阵表达为：
对应到蝶形运算有：
首先列出基2频域抽取FFT的分治公式：
以一个8点FFT为例，输入序列为：
进行第一次分治，分为两个4点FFT，序列为：
示意图如下所示，偶数标号的结果由第一个FFT生成，奇数标号的结果由第二个FFT生成：
随后进行第二次分治，将每个4点FFT分解为两个2点FFT，每个序列为：
示意图如下所示：
最终通过2点FFT计算出结果，但如上图所示，计算出的结果位置与标号并不对应，例如计算输出的标号为2的数据（Y10[1]）应当位于输出序列（X）的标号4（X[4]）。其变换规律为计算输出的标号为n的数据（第n+1个数据）对应到输出序列标号为m的数据，n为m的二进制反序。以计算输出标号为6（第七个数据）的数据Y13[0]为例，6的二进制为110，反序为011，对应十进制数为3，即有 。
首先列出时域抽取FFT的分治公式：
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