二、1.从二元函数的角度理解导(函)数左右极限和左右导数
理解导数的左右极限和左右导数，我们不妨从二元函数的视角深入探讨。首先，明确导数与导函数的区分，导数初看是一个关于某点x0的极限值，而导函数则是对f(x)在单点上的导数扩展到所有点的函数。以f(x) = sinx为例，其导函数f'(x) = cosx，是x的函数，其在x0的函数值f'(x0)正是导数的体现。导(函)数的左右极限和左右导数的差异在于，前者反映了函数整体特性，若极限相等且等于函数值，意味着函数在该点连续；而后者关注的是函数在某点的局部变化率，即导数的定义。虽然两者都是x0的极限，但导数的左右极限涉及导函数在整个x0点的极限，而右导数则是这个极限在x0附近的具体表现。
以图1中的例子来解析，导(函)数的右极限是通过导数定义式导出的，h趋于0的过程使得表达式变为仅与x相关。例如，从f(x)的求导公式出发，导函数右极限表达式会呈现出来。相比之下，右导数则关注增量h的极限，当x0视为常数时，极限结果简化为与x0相关的部分，这正是导数作为单一数值的体现。
从二元函数角度看，当对x求极限时，h被视为常数，形成一元函数g(h)。但需要注意的是，为了确保右导数的定义，需要满足右连续性，即x→(x0)+时，极限操作中的h要求不等于0。在此基础上，若f(x)在x0附近是可导的，我们能得出关于x0的极限表达，这就是右导数的实质。
以经典案例展示，当x=0时，f(x)在x=0的右导数存在，表示局部变化率有定义；然而，由于特定函数特性，导函数f'(x)在x=0的右极限可能不存在，这说明了两者在特定点上的不同行为。
总之，导数的左右极限和左右导数的区别在于它们关注的侧重点和应用环境。理解了这一点，我们就能更准确地分析函数在不同情况下的行为和性质。
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